6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 课件（共15张PPT）

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6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时
武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？
导入：
A
B
C
500m
120°
300m
b
a
c=？
1.能借助向量的运算，推导余弦定理
2.掌握余弦定理及其推论，能用余弦定理解三角形
知识点1：余弦定理
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么？
b
c
a
思考：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
思考：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
b
c
a
设
那么
所以
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
同理可得
余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即
概念生成
思考：还有其他方法证明余弦定理吗？
思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
知识点2：余弦定理的推论
余弦定理的推论
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系．这两个定理之间有什么关系？
余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，即勾股定理.
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形.
例1：在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm).
解：由余弦定理，得
由余弦定理的推论，得
利用计算器，可得B≈106°.
归纳总结
余弦定理适用于：已知两边和夹角，求第三边(SAS型)；
余弦定理的推论适用于：已知三边求任意一个角(SSS型).
例2： 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求B (精确到1°).
解： 且C为锐角，
由余弦定理，得
利用计算器，可得B≈98°.
回到情境中的问题：在△ABC中，已知a=300m，b=500m，C=120°，求c．
练一练
解：由余弦定理，得
c = a +b -2abcosC
=300 +500 －2×300×500×cos120°
=490000，
所以 c=700(m)．
A
B
C
500m
120°
300m
b
a
c=？
要点概括整合
余弦定理
余弦定理的概念及公式
解三角形
余弦定理的推论