6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是30m，∠B=45°，∠C=60°，根据这些数据能解决这个问题吗？
课堂导入：
C
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理
2.能用正弦定理解三角形
问题1：直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a，b，c表示，怎样用a，b，c表示角A，B，C的正弦？
知识点：正弦定理
问题2：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？
锐角三角形：
在锐角 ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 则 与 的夹角为
与 的夹角为
B
A
C
因为
所以
得
即
思考：向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
化简得
所以
过点C作 与垂直的单位向量 可得
因此
钝角三角形：
在钝角 ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 则 与 的夹角为
与 的夹角为
B
A
C
同理可得
概念生成
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
即
思考：设 那么这个比值有什么特殊含义？
c是Rt△ABC，△ABC'外接圆的直径.
所以对任意△ABC，均有
c
O
A
B
C
a
b
B'
(R为△ABC外接圆的半径).
无论怎么移动B'，都有
所以在△ABC'中
(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；
(2)
(3)a：b=sinA：sinB，a：c=sinA：sinC，b：c=sinB：sinC
正弦定理的变形：
归纳总结
思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？
（1）已知两个角一边；
（2）已知两边与其中一边的对角.
例1：在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=3+ 解这个三角形.
由正弦定理，得
由三角形内角和定理得C=120°.
解：
例2：在△ABC中，已知B=30°，b= c=2，解这个三角形.
解：由正弦定理，得
(1)当C=45°时，A=105°
且
或
例2：在△ABC中，已知B=30°，b= c=2，解这个三角形.
(2)当C=135°时，A=15°
问题：为什么角C 有两个值？
在区间(0,π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦函数求角，只有一解；正弦函数在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以利用正弦函数求角，可能有两解.
C
回到情境中的问题：已知△ABC中∠B=45°，∠C=75°，和长度BC=30m,求距离AB.
练一练
解：∠A=180°-75°-45°=60°
所以 AB≈33.4(m)．
b
c
a
由正弦定理，得
而a=30，
要点概括整合
正弦定理
正弦定理
应用
正弦定理的变形