8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时
1.理解直线与平面垂直的定义
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直
3.理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角
问题1：将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
知识点1：直线与平面垂直的定义
直线垂直于平面内的任意一条直线
问题2：一条直线与一平面垂直的特征是什么？
一般地，如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直.记作l⊥α
α
P
l
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
直线l的垂面
平面α的垂线
垂足
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做点到该平面的距离．
α
P
l
当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直．
知识点2：直线与平面垂直的判定定理
问题1：过纸片△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
即直线AD 与平面α内的两条相交直线BC ，AD 都垂直
问题2:为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？
由基本事实的推论2，两条相交直线可以确定一个平面；
当一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面．
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
α
P
l
m
n
直线与平面垂直的判定定理
符号语言
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
直线与平面垂直
直线与直线垂直
思考:两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
如图,已知a//b，a⊥α,求证:b⊥α．
证明：在平面α内取两条相交直线m，n．
还有不同的证明方法吗？
∴ b⊥α．
又m，n是平面α内的两条相交直线，
∴ b⊥m， b⊥n．
∵ a//b，
∴ a⊥m， a⊥n，
∵ a⊥α，
归纳总结
要判断一条已知直线与一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点这是无关紧要的.
问题：直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？
知识点3：直线与平面所成的角
α
l
P
A
θ
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°；
若直线l在平面α内，则称它们所成的角为0°．
直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°．
斜线
斜足
射影
(直线)
α
P
l
A
θ
斜线与平面所成的角是它与该平面内所有直线所成的角中最小的角
思考：如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
解：连接BC1．BC1与B1C相交于点O，连接A1O．设正方体的棱长为a．
∵ A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩ B1B＝B，
∴ A1B1⊥平面BCC1B1．
又 BC1⊥B1C， ∴ BC1⊥平面A1DCB1．
∴ A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝ ，BO＝ ，
∴BO＝ A1B．
∴ ∠BA1O＝30°．
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
归纳总结
求线面角的步骤：
1.作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键
2.证：证明所找到的角为直线与平面的角，证明的主要依据为直线与平面所成角的定义
3.求：一般借助三角形的知识求解
4.结论：将求出的角转化为线面角
要点概括整合
直线与平面垂直
线面垂直的定义
直线与平面所成的角
判定定理