9.2.4 总体离散程度的估计 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
9.2.4 总体离散程度的估计
1.理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义
2.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法
问题：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
知识点：极差、方差和标准差
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别.
借助条形图可以直观看出，甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.
10 环数
频率
4
5
6
7
8
9
（甲）
10 环数
频率
4
5
6
7
8
9
（乙）
他们的射击成绩是存在差异的.
如何度量成绩的这种差异
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.
根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
极差越大，数据越分散，越不稳定
极差越小，数据越集中，越稳定
可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
若射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；
相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.
思考：还有哪些特征量可以描述数据离散程度？
如何定义？
为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即
假设一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即
可以得到这组数据x1, x2,…, xn到 的“平均距离”为
作为xi到 的“距离”.
一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数，
标准差为
这组数据的方差为
思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数
为 则称
为总体方差，
为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，
Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…， k），则总体方差为
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 则称
为样本标准差．
为样本方差，
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度．
思考：标准差与数据的离散程度或波动幅度有怎样的关系？
在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
标准差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
标准差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；
1.某同学5天上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为12,8,10,9,11，则这组数据的方差为（ ）
A.4 B.2
C.9 D.3
练一练
B
2.甲、乙两名运动员射击成绩的标准差分别是多少？
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
解：
s甲=
s乙=
例1：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解:把男生样本记为x1, x2,…, x23，其平均数记为 方差记为 把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为 方差记为 把总样本数据
的平均数记为 方差记为
根据方差的定义，总样本方差为
因此，
由
可得
同理可得
①
由 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得
总样本的方差为51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
平均数反映数据的集中势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小,平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.
以100户居民用户的月均用水量数据为例，
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.61 3.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.02 4.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
样本平均数
标准差s≈6.20
100个数据中大部分落在区间
在区间
外的只有7个.
也就是说，绝大部分数据落在
内
要点概括整合
总体离散程度的估计
极差、方差和标准差的概念
样本方差、标准差的计算公式