《探索相似三角形的条件》案例
文档属性
| 名称 | 《探索相似三角形的条件》案例 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 17.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-12-22 20:39:00 | ||
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文档简介
《探索三角形相似的条件》的案例
本节课是在学生已有的生活经验、初步的数学活动经历及已经掌握的有关数学内容的基础上进行教学的. 力图引导学生观察、分析数学现实中的相似现象，总结三角形相似的有关特征，并自觉地应用到现实之中，逐步加强逻辑推理的力度，为以后进一步学习几何证明打下基础.
新课程标准强调：教师的有效教学应指向学生有意义的数学学习，有意义的数学学习又必须建立在学生的主观愿望和意识经验基础之上. 我按此要求，本节课教学主要模式为问题式教学与探索性学习. 从简单的问题引入，以三角形全等判定条件为情形，过渡到三角形相似的判定条件的探索. 学生按教师所提出的问题进行思考，并在教师的启发下进行自主探索与合作交流. 最后总结得出：两角对应相等的两个三角形相似的判定条件. 通过练习，学会用此结论去解决简的实际问题.
教学实录：
师：同学们，我们在学习全等三角形的内容时知道，三角对应相等，三边对应相等的两个三角形全等. 你们还记得三角形全等的判定条件吗？
生1：知道. 有角边角、边角边、边边边、角角边等判定方法.
生2：（补充）如果是直角三角形还有“斜边、直角边”判定方法.
师：以上两位同学回答的很全面. 同学们上节课我们学习了相似三角形的定义，你们能把它口述出来吗？
生：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
[反思：情境导入的目的是设疑激趣.这里从学生已有的体验开始，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情景之中.]
师：根据这个定义，判定两个三角形相似，要求三个角对应相等，三边对应成比例，这个过程显然较复杂. 请同学们类比一下，我们能不能像判定两个三角形全等的条件那样，用较少的条件去判定两个三角形相似呢？若能，你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件呢？
生1：（用迟疑的口语）可能是有三角对应相等就满足了吧？
生2：至少需要有三边对应成比例吧
……
[反思：在这里，我依据学生的心理特点，培养学生的问题意识，不把结论过早的告诉学生，引起学生去发现问题、提出问题、解决问题，做到多问多思，主动参与.]
师：刚才同学们不能作出肯定地回答是很正常的，因为这个内容我们还没学到. 这也就是我们这节课所要探究的问题（板书：探索三角形相似的条件）. 我们首先从角开始探索，请每位同学在准备好的一张纸上，画出一个△ABC，使得∠BAC=600，并与同伴交流一下，你们所画的三角形相似吗？
生：（通过观察自己和同学画的）不一定相似，因为我们之间画出的一个角对应相等的两个三角形形状明显不相同.
师：那我们由此可得出一个什么样的结论？
生1：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件.
生2：我认为一个角对应相等的两个三角形不一定相似.
[反思：在这里我降低了探索问题的难度，尽量让有不同意见的学生发表见解，这样可以避免不动脑筋被动听课的现象.]
师：通过刚才的操作和探索，我们发现：仅有一个角对应相等不能判定两个三角形相似. 请同桌的两位同学分工，一人画△ABC，使∠A=300，∠B=700，另一人画△，使∠=300，∠=700，然后比较你们画的两个三角形，∠C与∠相等吗？
生：相等. ∵∠C=1800-300-700=800，∠=1800-∠-∠=1800-300-700=800.
师：请各小组成员合作一下，用刻度尺测量一下各线段的长度，并计算对应边的比，，的值.
生：（在操作中发现）老师，我们度量的线段的长度的值是近似的，对应边的比值计算出来也是近似值.
师：用刻度尺测量线段长度存在误差是正常的，所以你们小组计算出来的比值也只是近似的其他小组情况如何？
生：我们的结果与前面小组的结果一样.
[反思：这里，学生在合作学习交流过程中，通过相互表达与倾听，不仅使自己的想法、思路更好的表现出来，而且还可以了解他人对问题的不同理解，使学生的理解逐步加深.]
师：同学们，你们在计算对应边，，的值后发现了什么？
生：经过测量和计算，发现它们这些线段的比是近似相等的.
师：通过刚才探究、合作交流的过程，你们能得出△ABC与△相似吗？
生：能得出△ABC∽△，这是因为它们满足三角对应相等，三边对应成比例的条件.
师：这个探索过程得到的结果说明了什么问题？
生：有两个角对应相等的两个三角形相似.
师：上面的结论是否成立呢？还是按前面的分组：请一位同学再画一个△ABC使∠A=150，∠B=950，另一位同学画△，使∠=150，∠=950，画完后再互相比较一下.
生：（学生操作后）同上面的结论一样.
[反思：这里通过动手操作来验证结论，比较直观和比较形象，既加深了学生对两角对应相等的两个三角相似的结论的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣，同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程.]
师：今天因时间关系，我们不能再继续操作下去，请你们课后把∠A与∠、∠B与∠ 的度数再改变一下试一试.通过上面的反复操作，发现判定△ABC∽△只需要有两个角对应相等即可.从此以后我们可以把这个结论作为判定两个三角形相似的一个条件了. 结合图形可以写成如下的
推理过程(板书)：
∵∠A=∠，∠B=∠，
∴△ABC∽△.
下面我们看一组题目，（出示投影，呈现课本P119例题）
如图所示：D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.
（1）图中有哪些相等的角？
（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段.
生1：（学生思考后请三位学生板演）
（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
生2：（2）△ADE∽△ABC，理由是：
∵∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
∴△ADE∽△ABC.（两角对应相等的两个三角形相似）
生3：（3）∵△ADE∽△ABC，
∴.（相似三角形的对应边成比例）
[反思：这里教师把教科书作为学生数学学习的素材，引导学生主动的观察、猜测、推理、合作与交流，使学生有机会在对教科书内容的处理过程中获得发展，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.]
师：同学们回答的很好. 请再想一想，在上面题目的条件下，吗？
吗？（以分组讨论形式进行）
生1：成立，理由是：（学生板演）
∵，
∴AB·AE=AD·AC，
∴.
生2：也成立，理由是：（板演）
∵， ∴，
∴.
[反思：这样安排既让学生在数学活动中体会证明的必要性，又让学生逐步学会证明，从理性上认识有关数学结论的正确性.]
师：这两位同学板演得非常漂亮. 让我们再看一个题目（投影显示）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
生：（探索后）相似. 因为两个直角三角形都有一个角是900，还有一组锐角对应相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似.
师：顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？
生：也相似. 因为两个三角形的两个顶角相等，因此它们的两个底角也分别相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似.
[反思：以上几个问题体现了对学生说理的教学，培养学生逻辑思维能力.]
师：请看下面的一道题（出示投影）:
如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，你可以计算出梯子的长度吗？
生：（思考后）可以，我们先把这个实际问题可以转化成数学问题来研究，这里实际就是研究△ABC∽△ADE，利用相似三角形的定义中体现的性质，就可以求出AB的长，也就是梯子的长.
师：这位同学分析得非常透彻，引起了我们的丰富的想像力，给人以身临其境的感觉，这里真能得到△ABC与△ADE相似吗？
生：能（请该生演示）.
∵BC⊥AC DE⊥AC，
∴∠ACB=∠AED=900.
又∠A为公共角，
∴△ABC∽△ADE（两角对应相等的两个三角形相似）.
∴ （相似三角形的对应边成比例）.
又AB=AD+BD=AD+55，BC=80，DE=70，
∴.
解之得，AD=385.
∴AB=AD+55=440（cm）.
∴梯子的长度为440cm.
[反思：在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼.]
师：哇，板演的好规范啦！计算得也很正确. 请同学们以掌声鼓励. 现在让我们回顾一下本节课主要学习了哪些内容？
生：学习了探索三角形相似的条件的判定方法之一：两个角对应相等的两个三角形相似.
师：通过这节课的学习，请同学们用一句话说出自己的最大收获.
生1：我的收获是根据一定条件制作三角形的办法去探索三角形相似的条件.
生2：我的收获是学会了用直观手段探索三角形相似的判定条件的方法.
生3：我的收获是用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法去判定两个三角形相似.
……
[反思：这里教师通过提问的方式小结本节知识，使学生悟出得到结论的过程，积累数学活动经验，使学生逐渐养成学习、总结的好习惯.]
师：今天这节课同学们的参与意识很强，能积极动口、动手、动脑，学习收获很大. 希望你们课后把今天的内容复习一下，从中吸取经验和方法，为下一节课进一步探索三角形相似的条件做好准备.
课后反思：
1．根据数学新课标的要求，本节课内容不要求进行严格的推理论证. 因此，我利用学生熟悉的“探索三角形全等的条件”的方法，通过类比的学习方法，在学生动手操作合作交流后，自主探索发现结论，鲜明的体现了知识发生、形成和发展过程.
2．这节课的教学中，教师的角色由过去的那种课堂教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人. 本节课作了一个有益的尝试：从一个角开始探索，然后引导到两个角对应相等的三角形的探究. 提出问题，创设情境，引起学生的兴趣，形成探究的动机，从事操作，验证假设、得出结论.
3．从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩偏下的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可. 看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的，从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，利用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法去解决简单的应用掌握得还有点困难. 看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来.
李忠林
2008年12月20日星期六
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本节课是在学生已有的生活经验、初步的数学活动经历及已经掌握的有关数学内容的基础上进行教学的. 力图引导学生观察、分析数学现实中的相似现象，总结三角形相似的有关特征，并自觉地应用到现实之中，逐步加强逻辑推理的力度，为以后进一步学习几何证明打下基础.
新课程标准强调：教师的有效教学应指向学生有意义的数学学习，有意义的数学学习又必须建立在学生的主观愿望和意识经验基础之上. 我按此要求，本节课教学主要模式为问题式教学与探索性学习. 从简单的问题引入，以三角形全等判定条件为情形，过渡到三角形相似的判定条件的探索. 学生按教师所提出的问题进行思考，并在教师的启发下进行自主探索与合作交流. 最后总结得出：两角对应相等的两个三角形相似的判定条件. 通过练习，学会用此结论去解决简的实际问题.
教学实录：
师：同学们，我们在学习全等三角形的内容时知道，三角对应相等，三边对应相等的两个三角形全等. 你们还记得三角形全等的判定条件吗？
生1：知道. 有角边角、边角边、边边边、角角边等判定方法.
生2：（补充）如果是直角三角形还有“斜边、直角边”判定方法.
师：以上两位同学回答的很全面. 同学们上节课我们学习了相似三角形的定义，你们能把它口述出来吗？
生：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
[反思：情境导入的目的是设疑激趣.这里从学生已有的体验开始，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情景之中.]
师：根据这个定义，判定两个三角形相似，要求三个角对应相等，三边对应成比例，这个过程显然较复杂. 请同学们类比一下，我们能不能像判定两个三角形全等的条件那样，用较少的条件去判定两个三角形相似呢？若能，你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件呢？
生1：（用迟疑的口语）可能是有三角对应相等就满足了吧？
生2：至少需要有三边对应成比例吧
……
[反思：在这里，我依据学生的心理特点，培养学生的问题意识，不把结论过早的告诉学生，引起学生去发现问题、提出问题、解决问题，做到多问多思，主动参与.]
师：刚才同学们不能作出肯定地回答是很正常的，因为这个内容我们还没学到. 这也就是我们这节课所要探究的问题（板书：探索三角形相似的条件）. 我们首先从角开始探索，请每位同学在准备好的一张纸上，画出一个△ABC，使得∠BAC=600，并与同伴交流一下，你们所画的三角形相似吗？
生：（通过观察自己和同学画的）不一定相似，因为我们之间画出的一个角对应相等的两个三角形形状明显不相同.
师：那我们由此可得出一个什么样的结论？
生1：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件.
生2：我认为一个角对应相等的两个三角形不一定相似.
[反思：在这里我降低了探索问题的难度，尽量让有不同意见的学生发表见解，这样可以避免不动脑筋被动听课的现象.]
师：通过刚才的操作和探索，我们发现：仅有一个角对应相等不能判定两个三角形相似. 请同桌的两位同学分工，一人画△ABC，使∠A=300，∠B=700，另一人画△，使∠=300，∠=700，然后比较你们画的两个三角形，∠C与∠相等吗？
生：相等. ∵∠C=1800-300-700=800，∠=1800-∠-∠=1800-300-700=800.
师：请各小组成员合作一下，用刻度尺测量一下各线段的长度，并计算对应边的比，，的值.
生：（在操作中发现）老师，我们度量的线段的长度的值是近似的，对应边的比值计算出来也是近似值.
师：用刻度尺测量线段长度存在误差是正常的，所以你们小组计算出来的比值也只是近似的其他小组情况如何？
生：我们的结果与前面小组的结果一样.
[反思：这里，学生在合作学习交流过程中，通过相互表达与倾听，不仅使自己的想法、思路更好的表现出来，而且还可以了解他人对问题的不同理解，使学生的理解逐步加深.]
师：同学们，你们在计算对应边，，的值后发现了什么？
生：经过测量和计算，发现它们这些线段的比是近似相等的.
师：通过刚才探究、合作交流的过程，你们能得出△ABC与△相似吗？
生：能得出△ABC∽△，这是因为它们满足三角对应相等，三边对应成比例的条件.
师：这个探索过程得到的结果说明了什么问题？
生：有两个角对应相等的两个三角形相似.
师：上面的结论是否成立呢？还是按前面的分组：请一位同学再画一个△ABC使∠A=150，∠B=950，另一位同学画△，使∠=150，∠=950，画完后再互相比较一下.
生：（学生操作后）同上面的结论一样.
[反思：这里通过动手操作来验证结论，比较直观和比较形象，既加深了学生对两角对应相等的两个三角相似的结论的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣，同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程.]
师：今天因时间关系，我们不能再继续操作下去，请你们课后把∠A与∠、∠B与∠ 的度数再改变一下试一试.通过上面的反复操作，发现判定△ABC∽△只需要有两个角对应相等即可.从此以后我们可以把这个结论作为判定两个三角形相似的一个条件了. 结合图形可以写成如下的
推理过程(板书)：
∵∠A=∠，∠B=∠，
∴△ABC∽△.
下面我们看一组题目，（出示投影，呈现课本P119例题）
如图所示：D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.
（1）图中有哪些相等的角？
（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段.
生1：（学生思考后请三位学生板演）
（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
生2：（2）△ADE∽△ABC，理由是：
∵∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
∴△ADE∽△ABC.（两角对应相等的两个三角形相似）
生3：（3）∵△ADE∽△ABC，
∴.（相似三角形的对应边成比例）
[反思：这里教师把教科书作为学生数学学习的素材，引导学生主动的观察、猜测、推理、合作与交流，使学生有机会在对教科书内容的处理过程中获得发展，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.]
师：同学们回答的很好. 请再想一想，在上面题目的条件下，吗？
吗？（以分组讨论形式进行）
生1：成立，理由是：（学生板演）
∵，
∴AB·AE=AD·AC，
∴.
生2：也成立，理由是：（板演）
∵， ∴，
∴.
[反思：这样安排既让学生在数学活动中体会证明的必要性，又让学生逐步学会证明，从理性上认识有关数学结论的正确性.]
师：这两位同学板演得非常漂亮. 让我们再看一个题目（投影显示）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
生：（探索后）相似. 因为两个直角三角形都有一个角是900，还有一组锐角对应相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似.
师：顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？
生：也相似. 因为两个三角形的两个顶角相等，因此它们的两个底角也分别相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似.
[反思：以上几个问题体现了对学生说理的教学，培养学生逻辑思维能力.]
师：请看下面的一道题（出示投影）:
如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，你可以计算出梯子的长度吗？
生：（思考后）可以，我们先把这个实际问题可以转化成数学问题来研究，这里实际就是研究△ABC∽△ADE，利用相似三角形的定义中体现的性质，就可以求出AB的长，也就是梯子的长.
师：这位同学分析得非常透彻，引起了我们的丰富的想像力，给人以身临其境的感觉，这里真能得到△ABC与△ADE相似吗？
生：能（请该生演示）.
∵BC⊥AC DE⊥AC，
∴∠ACB=∠AED=900.
又∠A为公共角，
∴△ABC∽△ADE（两角对应相等的两个三角形相似）.
∴ （相似三角形的对应边成比例）.
又AB=AD+BD=AD+55，BC=80，DE=70，
∴.
解之得，AD=385.
∴AB=AD+55=440（cm）.
∴梯子的长度为440cm.
[反思：在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼.]
师：哇，板演的好规范啦！计算得也很正确. 请同学们以掌声鼓励. 现在让我们回顾一下本节课主要学习了哪些内容？
生：学习了探索三角形相似的条件的判定方法之一：两个角对应相等的两个三角形相似.
师：通过这节课的学习，请同学们用一句话说出自己的最大收获.
生1：我的收获是根据一定条件制作三角形的办法去探索三角形相似的条件.
生2：我的收获是学会了用直观手段探索三角形相似的判定条件的方法.
生3：我的收获是用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法去判定两个三角形相似.
……
[反思：这里教师通过提问的方式小结本节知识，使学生悟出得到结论的过程，积累数学活动经验，使学生逐渐养成学习、总结的好习惯.]
师：今天这节课同学们的参与意识很强，能积极动口、动手、动脑，学习收获很大. 希望你们课后把今天的内容复习一下，从中吸取经验和方法，为下一节课进一步探索三角形相似的条件做好准备.
课后反思：
1．根据数学新课标的要求，本节课内容不要求进行严格的推理论证. 因此，我利用学生熟悉的“探索三角形全等的条件”的方法，通过类比的学习方法，在学生动手操作合作交流后，自主探索发现结论，鲜明的体现了知识发生、形成和发展过程.
2．这节课的教学中，教师的角色由过去的那种课堂教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人. 本节课作了一个有益的尝试：从一个角开始探索，然后引导到两个角对应相等的三角形的探究. 提出问题，创设情境，引起学生的兴趣，形成探究的动机，从事操作，验证假设、得出结论.
3．从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩偏下的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可. 看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的，从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，利用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法去解决简单的应用掌握得还有点困难. 看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来.
李忠林
2008年12月20日星期六
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