河南省部分高中2023-2024学年高二上学期1月联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省部分高中2023-2024学年高二上学期1月联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 999.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-11 19:42:41 | ||
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文档简介
河南省部分高中2023-2024学年高二上学期1月联考
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.-3
2.若椭圆的离心率为，则（ ）
A.2 B.2或 C. D.2或
3.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A. B.1 C.2 D.1
4.某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）参考数据：
A.455 B.1359 C.3346 D.1045
5.如图，在四面体中，点分别是的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A. B.
C. D.
6.2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A.18种 B.24种 C.30种 D.36种
7.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，已知点的坐标为，则的最小值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
8.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知为两个不相等的非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，正方体中，分别是棱的中点，若正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（ ）
A.点到平面的距离为
B.直线与平面垂直
C.直线与平面所成的角的正弦值为
D.平面与平面的夹角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设随机变量的分布列为，则常数__________.
14.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为__________.
15.已知直线过双曲线的左焦点，与左支交于两点，双曲线的右焦点为，若，则双曲线的离心率为__________.
16.孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文 数学 英语 物理 化学 地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有__________种.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知圆，圆.
（1）当时，求圆和圆的公共弦长；
（2）是否存在实数，使得圆和圆内含？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
18.（12分）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.
（1）试估计该机器生产的零件的平均尺寸；
（2）如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.
19.（12分）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
20.（12分）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.
21.（12分）学校羽毛球社团中的甲 乙 丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲 乙 丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.
（1）若甲 乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列；
（2）求甲成为优胜者的概率.
22.（12分）在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程.
（1）试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程；
（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值.
河南省部分高中2023-2024学年高二上学期1月联考
数学参考答案及评分意见
1.C 【解析】直线，即，所以直线的斜率为.故选C.
2.B 【解析】当时，离心率为，解得；当时，离心率为，解得.综上所述，或，故选B.
3.C 【解析】直线过定点，由圆的方程可知圆心为，半径为.圆心到直线的最大距离为点的距离，即，所以所截得的最短弦长为，故选C.
4.B 【解析】，则数学成绩位于的人数约为.故选B.
5.A 【解析】由题意得，而，，故选A.
6.C 【解析】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；当丙不站在左端时，有种站法.由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.故选C.
7.B 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点为，准线方程为，当时，，所以点在抛物线内部，如图.过作准线的垂线，垂足为，交抛物线于.由抛物线的定义，可知，故.即当三点共线时，距离之和最小值为10，故选B.
8.D 【解析】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，则，故随机变量的概率分布列为
0 1 2 3
则数学期望为，方差为.
②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，则，故，.故.故选D.
9.BCD 【解析】把曲线方程整理成的形式，整理直线方程得.对于选项，若直线的斜率，截距，则曲线方程为双曲线，焦点在轴，故可能.对于选项，由直线斜率，在轴上截距，由曲线不符合，C不可能.对于选项，由直线斜率，则曲线一定不是椭圆，故项符合题意.故选BCD.
10.BCD 【解析】取，则，则错误；取，则，则，故B正确；的展开式通项为，所以，C正确；取，则，将其与作差，得，所以，故D正确.故选BCD.
11.ACD 【解析】由抛物线的定义知，故A正确；不妨设过焦点的直线方程为，直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选ACD.
12.ACD 【解析】如图所示，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的一个法向量为，则则可取，得点到平面的距离，故正确.，故不存在实数，使得，即与不共线，与平面不垂直，故不正确.，设直线与平面所成的角为，则，故C正确.易知为平面的一个法向量，为锐角，，故D正确.故选ACD.
13. 【解析】，解得.
14.8 【解析】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，因此.，当且仅当取等号，故的最小值为8.
15.2 【解析】因为，设，则，由双曲线的定义可得.即①，②，③.将①②代入③，可得，于是.在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理，因为与互为补角，所以，即，整理可得，解得.故答案为2.
16.5040 【解析】由题意可分三种情况讨论：三天复习科目的数量为或或.①若三天复习数量为，所有的安排方法种数为，语文与数学安排在同一天，有，则三天复习数量为的安排方法种数为.②若三天复习数量为，所有的安排方法数为种，语文与数学安排在“3”这一天，有种，语文与数学安排在“2”这一天，有种，则三天复习数量为的安排方法数为168.③若三天复习数量为，所有的安排方法数为，语文与数学安排在同一天，有种，则三天复习数量为的安排方法数为.综上，不同的复习方法共有种.
17.解：（1）当时，圆的一般式方程为.
圆的一般式方程为.
所以圆与圆的公共弦方程为.
圆的圆心为，半径为2，则到公共弦的距离为.
故圆和圆的公共弦长为.
（2）不存在.理由如下：圆的方程可化为.
则，半径.而，半径.
假设存在实数，使得圆和圆内含，
则两圆的圆心距，即，此不等式无解.
故不存在实数，使得圆和圆内含.
18.解：（1）生产线生产的产品平均尺寸为：.
（2）次品的尺寸范围，
故生产线生产的产品次品率为.
设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，
故，则.
设生产一箱零件获利为元，
则，
则（元），
所以这箱零件的期望利润为40元.
19.（1）证明：取中点，连接.
因为分别为中点，则.
即四边形为平行四边形，则.
又平面平面，则平面.
（2）解：存在点.证明如下：取中点，因为，则.
又平面平面，平面平面平面，
则平面.
过点作平行线，交于.因为平面，
则.过点作的平行线.
则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
注意到，则，故，
则.
设，则.
设为平面的一个法向量，
则即
令，则，则平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
即令，则.
则平面的一个法向量.
因为二面角余弦值为，
则.
解得.
故当为中点时，满足题意.
20.解：（1）由题意得，其中，由题得，所以，即
又焦点到渐近线的距离为3，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）显然直线的斜率存在.设其方程为.
联立直线与的方程，得消去得.
因为直线与的两支分别交于点，所以
得.
设，则.
综上，的取值范围是.
21.解：（1）比赛局数的可能取值为.
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，
比赛三局结束，则第二局 第三局丙连胜，所以，
比赛四局结束，所以，
所以的分布列为：
2 3 4
0.44 0.35 0.21
（2）记甲 乙比赛第一局为事件，甲 丙比赛第一局为事件，乙 丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件.第一局比赛双方可能是甲乙 甲丙 乙丙共三种情况，则，
所以，
.
所以
.
所以甲成为优胜者的概率为0.132.
22.解：（1），表示点到点与到点的距离之和为8.据椭圆的定义，可知的轨迹为椭圆.
因此，故.
故动点的轨迹方程为.
（2）因为，所以的面积等于的面积，
即的面积为.
不妨设直线的方程为，
联立消去并整理得，
由韦达定理得，
所以.
不妨令，此时，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
综上，当时，的面积取得最大值为.
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.-3
2.若椭圆的离心率为，则（ ）
A.2 B.2或 C. D.2或
3.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A. B.1 C.2 D.1
4.某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）参考数据：
A.455 B.1359 C.3346 D.1045
5.如图，在四面体中，点分别是的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A. B.
C. D.
6.2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A.18种 B.24种 C.30种 D.36种
7.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，已知点的坐标为，则的最小值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
8.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知为两个不相等的非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，正方体中，分别是棱的中点，若正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（ ）
A.点到平面的距离为
B.直线与平面垂直
C.直线与平面所成的角的正弦值为
D.平面与平面的夹角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设随机变量的分布列为，则常数__________.
14.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为__________.
15.已知直线过双曲线的左焦点，与左支交于两点，双曲线的右焦点为，若，则双曲线的离心率为__________.
16.孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文 数学 英语 物理 化学 地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有__________种.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知圆，圆.
（1）当时，求圆和圆的公共弦长；
（2）是否存在实数，使得圆和圆内含？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
18.（12分）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.
（1）试估计该机器生产的零件的平均尺寸；
（2）如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.
19.（12分）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
20.（12分）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.
21.（12分）学校羽毛球社团中的甲 乙 丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲 乙 丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.
（1）若甲 乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列；
（2）求甲成为优胜者的概率.
22.（12分）在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程.
（1）试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程；
（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值.
河南省部分高中2023-2024学年高二上学期1月联考
数学参考答案及评分意见
1.C 【解析】直线，即，所以直线的斜率为.故选C.
2.B 【解析】当时，离心率为，解得；当时，离心率为，解得.综上所述，或，故选B.
3.C 【解析】直线过定点，由圆的方程可知圆心为，半径为.圆心到直线的最大距离为点的距离，即，所以所截得的最短弦长为，故选C.
4.B 【解析】，则数学成绩位于的人数约为.故选B.
5.A 【解析】由题意得，而，，故选A.
6.C 【解析】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；当丙不站在左端时，有种站法.由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.故选C.
7.B 【解析】因为抛物线方程为，所以焦点为，准线方程为，当时，，所以点在抛物线内部，如图.过作准线的垂线，垂足为，交抛物线于.由抛物线的定义，可知，故.即当三点共线时，距离之和最小值为10，故选B.
8.D 【解析】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，则，故随机变量的概率分布列为
0 1 2 3
则数学期望为，方差为.
②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，则，故，.故.故选D.
9.BCD 【解析】把曲线方程整理成的形式，整理直线方程得.对于选项，若直线的斜率，截距，则曲线方程为双曲线，焦点在轴，故可能.对于选项，由直线斜率，在轴上截距，由曲线不符合，C不可能.对于选项，由直线斜率，则曲线一定不是椭圆，故项符合题意.故选BCD.
10.BCD 【解析】取，则，则错误；取，则，则，故B正确；的展开式通项为，所以，C正确；取，则，将其与作差，得，所以，故D正确.故选BCD.
11.ACD 【解析】由抛物线的定义知，故A正确；不妨设过焦点的直线方程为，直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选ACD.
12.ACD 【解析】如图所示，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的一个法向量为，则则可取，得点到平面的距离，故正确.，故不存在实数，使得，即与不共线，与平面不垂直，故不正确.，设直线与平面所成的角为，则，故C正确.易知为平面的一个法向量，为锐角，，故D正确.故选ACD.
13. 【解析】，解得.
14.8 【解析】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，因此.，当且仅当取等号，故的最小值为8.
15.2 【解析】因为，设，则，由双曲线的定义可得.即①，②，③.将①②代入③，可得，于是.在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理，因为与互为补角，所以，即，整理可得，解得.故答案为2.
16.5040 【解析】由题意可分三种情况讨论：三天复习科目的数量为或或.①若三天复习数量为，所有的安排方法种数为，语文与数学安排在同一天，有，则三天复习数量为的安排方法种数为.②若三天复习数量为，所有的安排方法数为种，语文与数学安排在“3”这一天，有种，语文与数学安排在“2”这一天，有种，则三天复习数量为的安排方法数为168.③若三天复习数量为，所有的安排方法数为，语文与数学安排在同一天，有种，则三天复习数量为的安排方法数为.综上，不同的复习方法共有种.
17.解：（1）当时，圆的一般式方程为.
圆的一般式方程为.
所以圆与圆的公共弦方程为.
圆的圆心为，半径为2，则到公共弦的距离为.
故圆和圆的公共弦长为.
（2）不存在.理由如下：圆的方程可化为.
则，半径.而，半径.
假设存在实数，使得圆和圆内含，
则两圆的圆心距，即，此不等式无解.
故不存在实数，使得圆和圆内含.
18.解：（1）生产线生产的产品平均尺寸为：.
（2）次品的尺寸范围，
故生产线生产的产品次品率为.
设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，
故，则.
设生产一箱零件获利为元，
则，
则（元），
所以这箱零件的期望利润为40元.
19.（1）证明：取中点，连接.
因为分别为中点，则.
即四边形为平行四边形，则.
又平面平面，则平面.
（2）解：存在点.证明如下：取中点，因为，则.
又平面平面，平面平面平面，
则平面.
过点作平行线，交于.因为平面，
则.过点作的平行线.
则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
注意到，则，故，
则.
设，则.
设为平面的一个法向量，
则即
令，则，则平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
即令，则.
则平面的一个法向量.
因为二面角余弦值为，
则.
解得.
故当为中点时，满足题意.
20.解：（1）由题意得，其中，由题得，所以，即
又焦点到渐近线的距离为3，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）显然直线的斜率存在.设其方程为.
联立直线与的方程，得消去得.
因为直线与的两支分别交于点，所以
得.
设，则.
综上，的取值范围是.
21.解：（1）比赛局数的可能取值为.
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，
比赛三局结束，则第二局 第三局丙连胜，所以，
比赛四局结束，所以，
所以的分布列为：
2 3 4
0.44 0.35 0.21
（2）记甲 乙比赛第一局为事件，甲 丙比赛第一局为事件，乙 丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件.第一局比赛双方可能是甲乙 甲丙 乙丙共三种情况，则，
所以，
.
所以
.
所以甲成为优胜者的概率为0.132.
22.解：（1），表示点到点与到点的距离之和为8.据椭圆的定义，可知的轨迹为椭圆.
因此，故.
故动点的轨迹方程为.
（2）因为，所以的面积等于的面积，
即的面积为.
不妨设直线的方程为，
联立消去并整理得，
由韦达定理得，
所以.
不妨令，此时，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
综上，当时，的面积取得最大值为.
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