2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 （含答案解析）

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明
1．如图，是的直径，弦于点，在的切线上取一点，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
2．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求AE的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝，求⊙O的半径．
4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．
(1)求证：DE是半圆⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
5．如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．
6．已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若为的中点，求证：直线是的切线．
7．如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC．
（1）求证：EF是圆O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在斜边AB上取一点D，使CD=CB，圆心在AC上的⊙O过A、D两点，交AC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，且AE=2，求CE的长．
9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
10．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为5，，求的长．
11．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
12．如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，过上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．
（1）求证：直线CD是的切线；
（2）求证：
13．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．

14．如图，为半的直径，弦的延长线与过点的切线交于点，为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，，，求的半径．
15．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F .
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD=，求线段AD的长．
16．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与、分别交于点、，与的另一个交点为.过点作，垂足为.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求弦的长.
17．如图，已知AB是的直径，CD与相切于点D，且．
（1）求证：BC是的切线；
（2）延长CO交于点 E．若，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）
18．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图2，当时
①求的度数；
②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据切线的性质得到，求得，推出，求得，于是得到结论；
（2）连接，根据已知条件得到，得到，根据三角函数的定义得到，根据切线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)
【分析】(1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论；
(2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得．
【详解】（1）证明：如图：连接OD，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
又是⊙O的半径
DE是⊙O的切线；
（2）解：如图：过点O作于点F，
，
，
，
四边形OFED是矩形，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
3．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC//AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
【详解】（1）连接OC，如图，
∵，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC//AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠BOC=×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=，
∴AC=2CD=，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，
即（）2+（AB）2=AB2，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，熟练掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
4．(1)证明见解析
(2)AD=6
【分析】(1)连接OD，BD，证明BDC为直角三角形，由点E为BC的中点可得BE=DE=CE，所以，证明出后，可以得出+，所以DE是半圆⊙O的切线．
（2）求出BC的长度后，由直角三角形的性质可求出AC的长度，证明DCE是等边三角形后，可得到CD的长度，由即可求出AD的长度．
【详解】（1）连接OD，BD，如图，
是直径，
，
，
E是BC的中点，
，
即
是半径，
DE是半圆⊙O的切线．
（2）
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，还用到了等边对等角的性质及勾股定理，牢固掌握切线的判定方法和准确计算是做出本题的关键．
5．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，通过，即可证明；
（2）连接，通过证明OD是的中位线得到，进而根据题意可知，即可证得直线是的切线．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）证明：连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键．
6．（1）55°；（2）见解析
【分析】（1）根据AP是⊙O的切线，可得∠BAP=90°，∠P=35°，即可求得∠ABP的度数；
（2）连接AC，OC，根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ACP=90°，再根据D为AP的中点，得DC=AD=DP，∠DAC=∠DCA，进而可以证明直线CD是⊙O的切线．
【详解】解：（1）是的直径，是的切线，
，
；
．
（2）如图，连接AC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACP=90°，
∵D为AP的中点，
∴DC=AD=DP，
∴∠DAC=∠DCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠DAC=∠OCA+∠DCA，
∵∠OAC+∠DAC=∠BAP=90°，
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．
∵OC是半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
7．(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解；
(2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长．
【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°
又EC=EF，∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE,
又∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圆O的切线．
(2)如下图所示，
∵D是OA的中点，且AB=4，
∴DO=1，BD=BO+DO=3，
又AB=CD=4，
∴在Rt△BCD中，BC =BD +CD =3 +4 =5 ，
∴BC=5，
又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，
∴，代入数据后得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键．
8．（1）详见解析；（2）CE=．
【分析】（1）连接OD，由CD=CB， OA=OD，可以推出∠B=∠CDB，∠A=∠ODA，再根据∠ACB=90°，推出∠A+∠B=90°，证明∠ODC=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接DE，证明△CDE∽△CAD，得到，结合已知条件，设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，列出方程，求出x，即可求出CE的长度．
【详解】解：（1）连接OD．
∵CD=CB， OA=OD，
∴∠B=∠CDB，∠A=∠ODA．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODC=180°-（∠ODA+∠CDB）=90°，
即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接DE．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=90°，
又∵∠ODC=∠CDE+∠ODE =90°，
∴∠ADO=∠CDE．
又∵∠DCE=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD，
∴
∵，AE=2，
∴可设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，
即
解得，
∴CE=3x-2=
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明以及圆与相似综合问题，能够合理的作出辅助线以及找出相似三角形，列出比例式是解决本题的关键．
9．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．
【点睛】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN．
（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，，
是的切线．
（2）连接，易知，
由（1）可知，故M为的中点，
，
，
在中，，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
11．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）连接，

是的直径，
，即，
，
连接，
∵点C为劣弧的中点，
，
∵，
∵OC是的半径，
∴CE是的切线；
（2）连接
，，
∵点C为劣弧的中点，
，
，
，
，
∴S扇形FOC=，
即阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
12．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD是切线；
（2）连接OC，得AM∥BN，得，再证明，进而得出结论．
【详解】解(1)如图,连接
是的切线，
在和中,
是的切线.
(2)连接是的切线，
又是的切线，
平分平分
又
又,
又
【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．
13．（1）见解析；（2）⊙O的半径为4
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半径为4．

【点睛】本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接、、，通过证明得出即可；
（2）连接，设圆的半径为，在中应用勾股定理列出方程求解即得．
【详解】（1）证明：连接、、
∵是的切线，BO是半径
∴
∵是直径
∴
∵在中，是的中点
∴
∵，
∴
∴，
∵点在圆上
∴是的切线；
（2）如题，过点作，垂足为点，连接
∵在中，，
∴
设圆的半径为
∴
∴在中，，即
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质及判定、圆的直径所对圆周角为直角、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理，解题关键是熟练掌握证明切线的方法，能利用勾股定理结合方程思想求解半径．
15．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由垂径定理可证AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，则BF是⊙O的切线；
（2）连接BD，根据同弧所对圆周角相等得到∠BCD =∠BAD，再利用圆的性质得到∠ADB=90°， tan∠BCD= tan∠BAD= ，得到BD与AD的关系，再利用解直角三角形可以得到BD、AD与半径的关系，进一步求解即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵ ⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点
∴ AB ⊥CD, ∠AED =90°
∵ CD // BF
∴ ∠ABF =∠AED =90°
∴ AB⊥BF
∵ AB是⊙O的直径
∴ BF是⊙O的切线
（2）解：连接BD
∵∠BCD、∠BAD是同弧所对圆周角
∴∠BCD =∠BAD
∵ AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵ tan∠BCD= tan∠BAD=
∴
∴设BD=3x，AD=4x
∴AB=5x
∵ ⊙O的半径为2，AB=4
∴5x=4，x=
∴AD=4x=
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．
16．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接，ND，可知∠CND=90°，再证，即可证，最后根据切线的定义求得答案；
（2）根据勾股定理和，，可知，设半径为，根据勾股定理可求出r值，过作于，则，可知四边形是矩形，从而可知OH，再次根据勾股定理即可求出DH，最后即可求出答案.
【详解】证明：（1）
连接，，
在中，为斜边中线，
∴，
∵是的直径.
∴，
∴，
∵等腰三线合一，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）∵在中，且，，
∴，
设半径为，
则，
∴，
在中，，即，
在中，，即，
∵在等腰中，，
∴，
∴，
解得：，
过作于，
则，
由（1）可知∠ONF=∠NFH=90°
∴四边形是矩形，
则，
在中，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是圆的切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和勾股定理，是一道综合性较强的习题，能够充分调动所学知识多次利用勾股定理求解是解题的关键.
17．（1）见解析；（2）
【分析】(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得，得到，即可证得结论；
(2)根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求得即可．
【详解】(1)连接OD，
与相切于点D，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，
，
是的切线；
(2)，
，
，
，
的长：．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，正确添加辅助线，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）①；②存在，.
【分析】（1）由切线性质和直径AC可得，由可得，即可得：；
（2）①连接OD，由可得△OAD是等边三角形，由此可得，；
②作交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求可转化为求．
【详解】（1）∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图2，连接OD，
①∵ ，，
∴△是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②存在．如图2，过点B作交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，
由①得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵，
∴四边形ABQP是菱形，
∴
∴，
【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．