2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，已知点．
(1)若抛物线的对称轴为直线，
①求该抛物线的解析式和顶点的坐标；
②将抛物线向上平移（）个单位长度，使顶点落在点处，平移后的抛物线与轴交于点．若，求的值．
(2)当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
3．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，直线经过B，C两点，与对称轴交于点E．
(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)点M是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数最大值与最小值的差；
(3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标．
5．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
(3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值．
8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且OA＝OC，连接AC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
11．抛物线过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于C点．
图1 图2
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，过P点作PF⊥BC，交BC与F点，△PEF的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．
13．如图，抛物线经过点，和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作直线，点是线段上一个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于点，过点作直线的垂线，垂足为点，若设的周长为，的周长为，，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并计算当取何值时，取得最大值；
（3）点是抛物线对称轴上的一点，若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标．
14．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．
15．如图，的两直角边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，，两点的坐标分别为、，抛物线经过点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交于．设点的横坐标为，的长度为．求与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求取最大值时，点的坐标．
16．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
17．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)写出抛物线顶点D的坐标 ；
(2)点D1是点D关于y轴的对称点，判断点D1是否在直线AC上，并说明理由；
(3)若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．
18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)点的坐标为，的面积的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标；
（3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，
得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：存在点，使四边形为菱形，
设，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；

（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，

设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
2．(1)①，顶点的坐标为；②；
(2)
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式，由配方法可求出点的坐标；
②由题意得出，，由可得出关于的方程，解方程可得出答案；
（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当时，函数取最大值，再根据函数值的最大值满足，列出不等式组解答即可．
【详解】（1）解：①抛物线与轴交于，
，
抛物线的对称轴为直线，
若过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
②将抛物线向上平移（）个单位长度，使顶点落在点处，
，，
，
，
，
；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，
当时，取，有最大值，
，
函数值的最大值满足，
，
解得：，
又 ，
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，平移的性质，二次函数最值问题，二次函数增减性应用等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质、平移的性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、方程思想解决问题．
3．(1)抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为
(2)面积最大值为3，
(3)的值为3或2
【分析】（1）先求出C点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点B与点E之间的水平距离，再设出M点的坐标，表示出，再利用面积得到关于m的二次函数， 函数的最大值即可；
（3）先求出，得到一组对应角，再利用两个三角形相似分情况讨论，得到或，利用点的坐标得到对应线段的长度，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，，，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为，
∵直线经过B，C两点，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为．
（2）∵抛物线对称轴为直线即，
∴E点横坐标为1，
∵，
∴，
∴点B与点E之间的水平距离为，
∵点M是直线上方抛物线上的动点，
所以设，，
连接和，过M点向x轴作垂线，与交于点N，
∴，
∴，
∵面积，
设E点和B点到的距离分别为和，
∴，
该抛物线的对称轴为，图象开口向下，
∵，
∴当时，；
∵，
∴当时，；
综上可得：面积最大值为3，．
（3）将原抛物线的对称轴与x轴的交点记为T，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵以点O，B，H为顶点的三角形与相似，
∴或，
∵当时，，
∴，
∴，，
∵，
∴，或，
∵直线交线段于点H，
∴令，
解得：，
∴，
过H点向x轴作垂线，垂足为R，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
经检验，或均分别为这两个分式方程的解，且符合题意，
∴的值为3或2．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质、勾股定理、两点间距离公式、等角对等边和等边对等角等知识， 解题关键是理解题意，正确做出辅助线，本题综合性较强，且要求学生具备较高的运算能力．
4．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将二次函数化成顶点式为：，即抛物线的对称轴为：，即可得离抛物线对称轴越近的点的函数值越大，离抛物线对称轴越远的点的函数值越小，结合即可求出函数的最大值和最小值，问题随之得解；
（3）先求出C点坐标为：，即：，横坐标为，由点横坐标为：，可知，分情况讨论：作轴于点M，作轴于N，当M点在C点下方时，证明，即有，，即有，，可得，即有，解方程求出m的值，则Q点坐标相应可求；作轴于点M，作轴于N，当M点在C点上方时，同理可证明：，可得到，抛物线解析式化为顶点式为：，即此时二次函数的值最大为，根据，可知此时P点不存在；问题随之得解．
【详解】（1）将，代入中，
可得：，
解得：，
即二次函数解析式为：；
（2）将二次函数化成顶点式为：，
即抛物线的对称轴为：，
∵，
∴二次函数的图象开口朝下，
∴离抛物线对称轴越近的点的函数值越大，离抛物线对称轴越远的点的函数值越小，
∵，
∴当时，函数有最大值，最大值为：，
当时，函数有最小值，最小值为：，
∴函数的最大值与最小值的差为：；
（3）令时，，即C点坐标为：，
即：，
∵抛物线上点的横坐标为，
∴点坐标为，
∵点在二次函数图象的对称轴上，
∴点横坐标为：，即，
分情况讨论，
作轴于点M，作轴于N，当M点在C点下方时，如图，
∵等腰直角三角形，且，
∴，，
∵轴于点M，轴于N，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
当时，，如上图，
∴，
∴，
此时Q点坐标为：；
当时，，
如图，
∴，
∴，
此时Q点坐标为：；
作轴于点M，作轴于N，当M点在C点上方时，如图，
同理可证明：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线解析式化为顶点式为：，
∴此时二次函数的值最大为，
∵，
∴此时P点不存在；
综上所述：Q点坐标为：或．
【点睛】本题是一道压轴的二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的最值问题，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
5．(1)
(2)13.5
(3)存在，，或
【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式；
（2）过点作轴分别交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值；
（3）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．
【详解】（1）解：∵的坐标为，
∴，
∵，点在轴下方，
∴，
∵将代入抛物线的解析式，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1所示，过点作，交于点，
∵该抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∵将代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴的最大面积，
∴，
∴四边形的面积的最大值为13.5；
（3）存在，理由如下：
①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形，
∵，令，
∴，
∴；
②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形，
∵，
∴的纵坐标均为3，
令，可得，
解得，
∴．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
6．(1)
(2)存在最大值，最大值为
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值；
（3）存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求出的值及点的坐标．
【详解】（1）解：把、代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：有最大值．理由如下：
如图1，设直线的解析式为，
，
∴该抛物线的顶点坐标为，
把、代入，得，
解得，
∴，
，
∴；
由，
得；
∵当点与点重合时，不存在以、、为顶点的三角形，
∴，
∴不存在最小值；
，
∴当时，，
∴的最大值为．
（3）解：存在，理由如下：
若，如图2，则轴，
∴，且在直线上，
∴，
解得，
∴；
若，如图3，则，
∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）；
∴，；
若，则，
∴，
整理，得，
解得，
此时不存在以，，为顶点的三角形，
∴舍去．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第（3）题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合条件的点的坐标．
7．(1)A（-4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线
(2)M（1，5），N（4，1）
(3)当P的坐标为（1，0）或时，的值最大，此时最大值为
【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x=0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
【详解】（1）解：∵，
令x=0，则y=3，
令y=0，则，
解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），
∵，
∴对称轴为直线x=-；
（2）解：如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，
∵∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠QBN，
又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，
∴OQ=1+3=4，
∴N（4，1）；
（3）解：设直线NB的解析式为y=kx+b.
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴，
解得：，
∴直线NB的解析式为：y=x-，
当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：，
解得：或，
∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法，旋转性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题的关键是数形相结合，以及正确讨论出当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大是解题的关键．
8．(1)
(2)当时，△ACP面积的最大值为，此时点；
(3)点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）
【分析】（1）利用抛物线的解析式令时，求得点的坐标，再利用OA＝OC，求得点的坐标，代入抛物线的解析式即可求解；
（2）过点P作轴交AC于点H，利用即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴（0，-3）
故OC＝3＝OA，
∴A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为；
（2）设直线AC的表达式为，
∵直线AC过点（0，-3），A（﹣3，0），
∴，解得
∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作轴交AC于点H，
设点P（x，），则点H（x，﹣x﹣3），
∴，
则
，
∵＜0，故△ACP面积有最大值，当时，△ACP面积的最大值为，
∴当时，
此时点P（，）；
（3）对于，令y＝0，
即，
解得x＝﹣3或1，
故点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，
设点F（m，n），即n＝m2+2m﹣3①，点E（﹣1，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位得到点B，同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F），
即m±4＝﹣1②，
联立①②并解得或，
故点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）；
②当AB是对角线时，A（﹣3，0），B（1，0），
由中点公式得：③，
联立①③并解得，
故点F的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上，点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、中点坐标公式的运用、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．(1)
(2)P（4，21），（﹣4，5）
(3)
【分析】（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D，根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
【详解】（1）令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
根据题意得：，
解之：．
∴抛物线解析式．
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴，
设，
∴＝×3×|x|，
∵＝，
∴，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点，
∴，
∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键
10．(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
11．(1)，C(0，－3)
(2)M（4，5）或M（2，－3）
(3)有，P点的坐标为（，－）
【分析】(1)把点的坐标代入解析式，转化为方程组，确定a，b的值即可．
(2)分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可．
(3)根据垂直及对顶角相等易证△FPE∽△OBC，根据相似三角形的性质将题转化为与△OBC的周长有关的比例式；设直线BC的解析式为y=px+q，根据待定系数法求出直线BC的解析式，设P（n，），则E(n，n－3)，列出关于n的二次函数式，根据二次函数最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点C(0，－3)．
（2）①当M点在第一象限时，
设M（m，），
过M点作MN⊥x轴，
∵∠MAB＝45°，MN＝NA，
∴m＋1＝，
解方程得：m＝4或m＝－1，
m＝－1不合题意，舍去．
故m＝4 ，
∴M（4，5）；
当M点在第四象限时，同理可得：
m＋1＝－（）
解方程得：m＝2或m＝－1，
m＝－1不合题意，舍去．
故m＝2，
∴M（2，－3），
综上M（4，5）或M（2，－3）．
（3）△PEF的周长有最大值．理由如下：
∵PD⊥DB，
∴∠EBD＝90°－∠DEB，
∵PF⊥BC，
∴∠FPE＝90°－∠FEP，
∵∠DEB＝∠FEP，
∴∠EBD＝∠FPE，
又∵∠EFP＝∠BOC＝90°，
∴△FPE∽△OBC，
∴△PEF的周长：△OBC的周长＝PE：BC，
∵OB=OC=3，
∴BC=，
∴△PEF的周长为z，△OBC的周长＝，
∵直线BC过B（3，0）和C（0，－3），
设直线BC的解析式为y=px+q，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x－3，
设P（n，），则E(n，n－3)
PE＝n－3－（）＝，
∴z：（6＋3）＝()：3，
z＝－(＋1) ＋3(＋1）n，
∵－(＋1)＜0，
∴z有最大值，此时n＝，
当n＝时，＝－，
故P点的坐标为（，－）．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，解方程，三角形相似的判断和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
12．(1)
(2)S的最大值为4
(3)或或．
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设出M点的坐标，利用，即可进行解答；
（3）由，则，是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：连接 ，
∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为，
∴
，
∵，
当时，S有最大值为：．
（3）解：设，
根据平行四边形的性质知，且，则，为平行四边形的边，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为，
则，
由，得，
整理得：
所以或
解得或或（不符合题意，舍去），
∵，
∴不可能是对角线
∴由此可得：或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．
13．（1）抛物线的关系式为；（2），当时，取得最大值；（3）点的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A(，)，B(，)分别代入抛物线的关系式中，即可求解；
（2）先求得的周长，证得，，利用相似三角形的性质得到二次函数的关系式，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情形分别求解①当∠BCP=90°，②当∠CBP=90°，③当∠BPC=90°时，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】（1）将点，分别代入抛物线的关系式中，得
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）令 ,则，
∴点C的坐标为(，)，
∵点B的坐标为(，)，
∴OB=3，OC=4，BC=，
∴的周长为，
设直线的关系式为，
把点B的坐标为(，)代入得：，
∴直线的关系式为，
∵点的横坐标为，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∵，
∴当时，取得最大值；
（3）抛物线的关系式为，
∴抛物线的对称轴为：，
∴设点P的坐标为(1，m)，
∴，
，
，
①当∠BCP=90°时，
∵，即，
解得：，
∴点P的坐标为(1，)；
②当∠CBP=90°时，
∵，即，
解得：，
∴点P的坐标为(1，)；
③当∠BPC=90°时，
∵，即，
解得：或
∴点P的坐标为(1，)或(1，)；
综上，点的坐标为(1，)或(1，)或(1，)或(1，)．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
14．（1）y＝x2-4x＋3；（2）点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为；（3）能，点P的坐标为：(1，0)或（2，-1）．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）分情况讨论①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
【详解】（1）把点A(3，0)和点B(1，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，
得：
解得
∴y＝x2-4x＋3．
（2）把x＝0代入y＝x2-4x＋3，得y＝3．
∴C(0，3)．
又∵A(3，0)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋m，
把点A，C的坐标代入得：
∴直线AC的解析式为：y＝－x＋3．
PD＝-x＋3- (x2-4x＋3)＝-x2＋3x＝＋．
∵0∴x＝时，PD最大为．
即点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为．
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵A（3，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，
此时，点P（2，﹣1），
综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，直角三角形存在性问题时需要分类讨论.
15．（1）；（2）在，理由见解析；（3）s=，时，最大，点的坐标为．
【分析】（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
【详解】（1）∵的顶点在直线上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为，
∴点在此抛物线上，
∴，
∴，
∴所求函数关系式为：；
（2）在中，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵两点的坐标分别是、，
∴两点的坐标分别是、；
当时，；
当时，；
∴点和点在所求抛物线上；
（3）设直线对应的函数关系式为，
则，
解得：；
∴．
∵轴，点点的横坐标为，
∴点的横坐标也为；
则，，
∴
，
∵，
∴当时，最大，此时．
此时点的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式、菱形的性质、图象的平移变换，等知识．熟练掌握待定系数法是解题的关键.
16．（1）所求抛物线的解析式是；
（2）点的坐标为，或；
（3）如当时，有最大值．
【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，可得h值；点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
（2）先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值．
【详解】（1）由题意对称轴为直线，
设抛物线解析式为，把点代入得，
．
∴所求抛物线的解析式是．
（2）如图1．
，当时，．所以点，．
令，解得，或．点，．
设点．
此时．
．
由得．
解得或．
所以或．
所以点的坐标为，或．
（3）如图2．
设直线的解析式为：．
把，代入得，解得．
所以直线AC的解析式为．
设点，点．
所以．
所以当时，有最大值．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
17．(1) （﹣1，4）；(2)见解析;(3) 2.25.
【分析】（1）根据二次函数的解析式直接写出即可；
（2）先根据二次函数求出A、C的坐标，再用待定系数法确定直线AC的关系式，再求出
点D1，把它代入直线判断是否再直线上；
（3）设点E（x，﹣x2﹣2x+3），F（x，x+3），则EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25， 则可知x=-1.5时，EF的最大值2.25.
【详解】解：（1）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，4）．
故答案为（﹣1，4）；
（2）点D1在直线AC上，理由如下：
∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
∴当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝1或﹣3，A（﹣3，0），B（1，0），
当x＝0时，y＝﹣1+4＝3，C（0，3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
∵点D1是点D关于y轴的对称点，D（﹣1，4）．
∴D1（1，4），
∵x＝1时，y＝1+3＝4，
∴点D1在直线AC上；
（3）设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则F（x，x+3），
∵EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25，
∴线段EF的最大值是2.25．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像，根据题意求出与坐标轴的交点是解题的关键.
18．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．