2024年中考数学高频考点突破——二次函数与面积（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与面积
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值；
(3)若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
2．已知二次函数其图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），且点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如图1，已知将线段平移至线段（点C，B的对应点分别为N，M），使点M，N都在抛物线上．试判断直线l：是否将四边形分成面积相等的两部分，请说明理由；
(3)如图2，若直线与抛物线交于P，Q两点，求证：的内心在x轴上．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线解析式；
(2)当点在第四象限时，求的最大面积；
(3)若时，求出点的坐标．
4．抛物线交轴于两点，交轴于点，直线经过点两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点的坐标；
(3)连接，将绕点旋转一周，在旋转的过程中，点的对应点，直线分别与直线交于点，交轴于点，那么在转过程中，是否存在恰当的位置，使是以为腰的等腰三角形？请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．抛物线过，两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．

(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)在直线下方的抛物线上存在点P，使的面积最大，求出最大面积；
(3)当时，函数的最小值为5，求t的值．
6．综合与探究：
如图，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点E是抛物线上一点，若是以为底的等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
7．如图，抛物线的顶点为，对称轴是直线，与轴的交点为和．将抛物线绕点逆时针方向旋转，点为点旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于两点．
(1)写出点的坐标及求抛物线的解析式；
(2)求证：三点在同一直线上；
(3)设点是旋转后抛物线上之间的一动点．是否存在一点，使四边形的面积最大？如果存在，请求出四边形的面积；如果不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．综合与探究
已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为，
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．设的横坐标为．连接，，求的面积的最大值．
(3)如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左边）．
(1)请直接写出A、B、C三点的坐标；
(2)点P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标；
(3)如图①，已知点M在抛物线上，点N在x轴上，且四边形为平行四边形，求M点的横坐标．
11．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．

(1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标；
(2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由；
(3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
(3)试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形面积最大，若存在请求出最大面积和点坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线的图象过点，顶点为，点在轴正半轴上，线段．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有点，使得是以为斜边的直角三角形，请求出点的坐标；
(3)将直线绕点逆时针方向旋转所得直线与抛物线相交于另一点，若点是直线上的动点，是否存在点，使，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形的周长和面积；若不存在，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，点E是直线的图像与二次函数图像在第一象限内的交点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)如图①，若点M是二次函数图像上的点，且在直线的上方，连接，求四边形面积的最大值；
(3)如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
16．抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点P为x轴下方抛物线上一点．
(1)如图，抛物线顶点在第四象限，且；

①则m的值为 ；
②点P为第四象限抛物线上一点，直线交x轴于点D，若，求P点坐标；
(2)若，求面积的最小值．

17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（图（2）、图（3）为解答备用图）．

(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)设抛物线的顶点为，求四边形面积；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点为抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及周长最小值；
(3)如图2，点为直线上方抛物线上的一个动点，当面积最大时，求点的坐标．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)N的坐标为或或
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为；
（2）过P作轴交于Q，求出直线解析式为，设，则可得，故，根据二次函数性质可得面积的最大值为；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，设，分三种情况：①当为对角线时，的中点重合，，②当为对角线时，，③当为对角线时，，分别解方程组可得答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：过P作轴交于Q，如图：
由得直线解析式为，
设，其中，则
，
，
∵，
∴当时，取最大值，
面积的最大值为；
（3）解：抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
又，
①当为对角线时，的中点重合，
∴，
解得，
；
②当为对角线时，
，
解得，
；
③当为对角线时，
，
解得，
；
综上所述，N的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
2．(1)
(2)直线l：将四边形分成面积相等的两部分，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）将点代入，求出a，即可；
（2）先求出的长，在根据对称性求得，的坐标，从而求得平行四边形的中心坐标，再判定直线经过平行四边形的中心，即可得出结论；
（3）联立一次函数和二次函数解析式，求得、坐标，再求得设直线、的解析式，得到交轴于，与轴交于，从而得出直线和直线关于轴对称，即得出结论．
【详解】（1）解：把代入，得
解得：
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：直线l：将四边形分成面积相等的两部分．
理由：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴
∵将线段平移至线段（点C，B的对应点分别为N，M），
∴，，
∴M、N关于直线对称，
∴M横坐标为6，N的横坐标为，
当时，，
∴，，
∴，
平行四边形的对称中心是，
把代入，得，
∴直线经过平行四边形的对称中心是，
∴直线l：将四边形分成面积相等的两部分．
（3）解：证明：如图2，

作于，于，
由得，
，，
设，
，，
，，
设直线的解析式为：，
，
，
，
同理可得：直线的解析式为，
交轴于，与轴交于，
直线和直线关于轴对称，
的内心在轴上．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数及其图象性质，二次函数图象与一次函数的交点与方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式和二次函数及其图象性质．
3．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出点的坐标为，把，代入解析式，求解即可；
（2）过点作轴交于点，令，得，求解得；再用待定系数法求出的解析式为，设点，则点，所以，由三角莆面积公式得，然后根据二次函数最值求法求解即可；
（3）当在第一象限时，设交轴于点，根据等腰三角形的判定与勾股定理，从而求出点．再用待定系数法救是直线解析式为，然后求出直线与抛物线交点坐标即可得解，当在第四象限时，得轴，进而令二次函数的，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴点的坐标为，
把，代入解析式，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，如图：

令，则
解得，，
∴
设的解析式为，把，代入得
解得，
∴的解析式为，
设点，则点，
∴，
∴，
，
∴当时，取最大值，最大值为4；
（3）解：①当点在第一象限，
∴设交轴于点，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点．
设直线解析式为，
将点，点代入得
，解得，
∴直线解析式为，
联立解析式得，
解得：或，
∴点在第一象限，
∴点坐标为．
②当点在第四象限时，如图所示，
∵
∴轴，则的纵坐标为,
∴
解得：
∴，
综上所述，或
【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键．
4．(1)；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再把代入抛物线的解析式，即可确定抛物线的解析式；
（2）先设出点的坐标，过点作轴，交于点，然后写出点的坐标，表示出的面积，然后利用二次函数的性质即可求解；
（3）先设出直线的解析式，然后表示出和的坐标，分，，两种情况讨论，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：直线经过点两点，
当时，，
,
当时，，解得，
，
把点代入得：，
解得，
；
（2）解：设点的坐标为，
过点作轴，交于点，
，
则点的坐标为，
，
，
当时，的面积取最大值，
此时；
（3）解：设直线的解析式为，
在中，当时，，
则，
联立直线和直线得，
解得： ，
，
，，，
若，即，
解得或，
当时，无意义，故舍去，
当时，，此时，不合题意，故舍去，
若，即，
解得或，
当时，，
当时，，
综上，的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，等腰三角形的性质，关键是要能利用点的横坐标表示出三角形的面积，利用二次函数的性质求出面积最大值时点的坐标，当出现等腰三角形时，一般分情况讨论，要考虑全面．
5．(1)，
(2)的面积为
(3)或时，函数的最小值为5
【分析】（1）利用交点式直接写出解析式，根据C，D两点关于二次函数的对称轴对称写出D点坐标即可；
（2）过P作轴，交直线于点F，根据，将面积转化为二次函数求最值即可；
（3）根据二次函数的性质，将x的取值范围分为在对称轴的同侧和两侧进行分类讨论求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：；
，对称轴为：，
点C，D关于抛物线的对称轴对称，
；
（2）解：如图，过P作轴，交直线于点F，连接，，

设直线的解析式为：，
则，
解得：，
，
设，则，
当时，的面积最大：；
（3）解：，
当时，函数值最小：；
时，函数的最小值为5，
在对称轴的同侧．
当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
当时，函数值最小：，解得：或（舍）；
当，即时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当时，函数值最小：，解得：或（舍）；
综上，或时，函数的最小值为5；
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
6．(1)
(2)最大值为，
(3)点E的坐标为或．
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质、二次函数的应用—面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法抛物线与x轴交于点和点，代入坐标列方程组，然后解方程组即可；
（2）先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，设，则点，即可利用求出面积最大值时点的坐标；
（3）由是以为底的等腰三角形，知点E在直线上，联立两函数解析式，解之即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解方程组得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把和代入得：，
解得，
∴，
如图，过点作轴交于点，
设 ．
∴点，
∴，
∴当时，最大，且最大值为，此时，点的坐标为；
（3）解：∵和，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是以为底的等腰三角形，
∴点E在的角平分线的上，即点E在直线上，
联立得，
解得，，
∴点E的坐标为或．
7．(1)，
(2)见详解
(3)存在点使得四边形的面积最大，面积最大值为
【分析】（1）根据抛物线的对称性即可写出的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先求得点的坐标，根据旋转的性质求出、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法解得直线的解析式，根据以此函数图象上点的坐标特征确定点在直线上，即可得到结论；
（3）连接，由于是定值，则要使四边形的面积最大，只要最大，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，点与点重合，点与点重合，，利用旋转变换得出点的坐标，点的坐标为，设直线的解析式为，求得直线的解析式，再设直线上有一点，易得，故有当时，，可得，点的坐标为，结合，然后计算出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：根据题意，点与点关于直线对称，
∴，
将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）将代入抛物线，
可得，即，
根据旋转的性质可得，点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
将代入，可得，
即直线经过点，
∴三点在同一直线上；
（3）存在点使得四边形的面积最大，
连接，如下图，
∵是定值，
∴要使四边形的面积最大，只要最大即可，
将绕点顺时针旋转，则点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∵点与点均在抛物线上，
∴，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为，
设直线上有一点，
则，
∴当时，，
若时，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴四边形的面积，
∴存在点使得四边形的面积最大，面积最大值为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数与二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用、旋转的性质等知识，综合运行相关知识是解题关键．
8．(1)抛物线的解析式为
(2)面积的最大值为
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得解析式即可；
（2）过点作轴于点，交于点，先求得直线的解析式，设，则，利用三角形面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）由（2）得，，根据，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：把和代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
所以直线的解析式为，
设，则，
∴；
∵，，
∴，
∴当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（3）解：同（2）得，，
∵，
∴，
当时，即，
解得（舍去）或，
此时点的坐标为；
当时，即，
解得（舍去）或，
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
9．(1)，
(2)面积最大值为8
(3)存在，，
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）设的横坐标为，则，，根据列出关于m的二次函数关系式，化为顶点式即可求出最大值；
（3）设点Q的坐标为，根据勾股定理表示出，，，当时，，当时，，列方程求解即可．
【详解】（1）解：将，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为，
，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为8；
（3）解：存在，点Q的坐标为，，理由如下：
设点Q的坐标为，
，，
，，，
当中，当时，，
，
化简得，
解得或，
当时，点Q与点C重合，不合题意，舍去，
当时，，
点Q的坐标为；
同理，当时，，
，
化简得，
解得或，
当时，点Q与点B重合，不合题意，舍去，
当时，，
点Q的坐标为；
综上可知，点Q的坐标为，．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用数形结合及分类讨论思想．
10．(1)，，；
(2)；
(3)或．
【分析】（）令，列式求解即可得到答案；
（）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标；
（）分别求出两直线的解析式，再求出另一交点，得到的直线，当时求出点的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，；
（2）如图，过点P作轴于点，交于点，

则，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
设，，
∴，
∴当时，取最大值，即的面积最大，
∴；
（3）设点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，，
∴M点的横坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用题，解题的关键是根据平行四边形的性质及一次函数与二次函数的交点坐标结合函数性质求解．
11．(1)，点，；
(2)最大为，此时点；
(3)或或．
【分析】（）由题意得，，求出代入即可求解；
（）过点作于点，交于点， 则，则，从而即可求解；
（）分情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后由中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为，
令，解得：，，
∴点，；
（2）有，理由：
设的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作于点，交于点， 则，

则，则点，，
∴，
，
，
，
由，，则，
由，
∴当时，最大，为，此时点；
（3）由（）可知：，
∴设，由题意可知，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
综上：或或．
【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
12．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为．
(2)
(3)不存在，理由见解析．
【分析】（1）采用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）将抛物线的解析式变形为，则顶点的坐标为，顶点关于轴的对称点为，连接，线段与轴的交点即为点．
（3）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，分三种情况进行讨论：当时；当时；当时．
【详解】（1）抛物线的图象过，两点，可得，
解得：，
抛物线的解析式为．
可得点的坐标为．
设直线的解析式为．
直线的图象经过点，，可得，
解得，
直线的解析式为．
（2）将抛物线的解析式变形为，则顶点的坐标为．
顶点关于轴的对称点为．
连接，线段与轴的交点即为点．
根据轴对称图形的性质可知．
设直线的解析式为．
直线的图象经过点，，可得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则．
所以，点的坐标为．
（3）不存在，理由如下：
设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
①当时．
设直线：，它的图象经过点，，可得
，
解得，
直线的解析式为．
所以，直线与轴的交点的坐标为．
可得．
．
可知没有最大值．
②当时．
设直线：的图象经过点，，可得
，
解得：，
直线的解析式为．
所以，直线与轴的交点的坐标为．
可得．
．
可知没有最大值．
③当时．
与直线平行的直线与抛物线仅有一个交点时，该交点即为点，此时的面积最大，该最大值为一个固定值，但不是整个抛物线上面积的最大值．
综上所述，点，，为顶点的三角形面积不存在最大值．
【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，牢记二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
13．(1)
(2)四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得，即，由直线得出，将代入抛物线可得，解方程组即可得到答案；
（2）作轴于点，交于点，则，进而得到，则当时，，此时；
（3）先求得，设点的坐标为，分五种情况讨论：设直线与轴交于点，则，此题是等腰三角形；延长交直线于点，此时，但三点在同一条直线上，因此不存在以三点为顶点的等腰三角形；，且点在轴上方，由，列方程得，求得；，且点在轴下方，设直线与轴交于点，则，得到；，则，列得方程，可得 ．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
直线，当时，，
当时，，
解得，
，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：对于，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
又∵，
∴，
∴，
如图2，作轴于点，交于点，

点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，，即，此时，
∴四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；
（3）解：存在，
设点的坐标为，
则，
解得，
，
，
设点的坐标为，
如图3，设直线与轴交于点，

点点关于轴对称，
，
此题是等腰三角形，，
延长交直线于点，
，
，，
，
，
，
三点在同一条直线上，
不存在以三点为顶点的等腰三角形，
如图4，，且点在轴上方，

，
，
解得：，,
，
如图4，，且点在轴下方，
设直线与轴交于点，
，
，
，
如图4，，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
14．(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在点，使得，，，四点构成的四边形为平行四边形，此时四边形的周长为或；面积是．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）求得直线和直线的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，解方程即可得出出点的坐标；
（3）存在．求得点的坐标，证明，则当时，，，，四点构成的四边形为平行四边形．分两种情况计算：①当点在线段上时，平行四边形的周长为：，其面积为：；②当点在线段的延长线上时，平行四边形'的周长为：，其面积为：．
【详解】（1）解：顶点为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得
，
抛物线的解析式为；
（2），
设直线的解析式为，，
，则是等腰直角三角形， ，
，
把代入，得，
直线的解析式为，

是以为斜边的直角三角形，
，
设交轴于点，则是等腰直角三角形，则，
∴
设直线的解析式为，将，代入，可得，
直线的解析式为，
解得或
点的坐标为或
（3）存在．理由如下：
由已知及（1）、（2）可知，，
又顶点为，
点到直线的距离等于，即等于，
，
．
当时，，，，四点构成的四边形为平行四边形．

①当点在线段上时，
平行四边形的周长为：；
其面积为：；
②当点在线段的延长线上时，
平行四边形的周长为：；
其面积为：．
综上所述，存在点，使得，，，四点构成的四边形为平行四边形，此时四边形的周长为或；面积是．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、直线与抛物线的交点坐标及平行四边形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将二次函数与一次函数解析式联立，求出点E的坐标，过点M作轴，交直线于点H，用代数式表示出的长度，进而根据三角形面积公式及相关点的坐标表示出四边形的面积，即可求解；
（3）先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出和，再根据圆周角定理得出，进而证明，再根据相似三角形对应边成比例求出，即可得到点F的坐标．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：将二次函数与一次函数解析式联立，得：
，
消去y，得，
解得，，
当时，，
．
如图，过点M作轴，交直线于点H，

设，则，
，
，
当时，四边形面积取最大值，最大值为；
（3）解：如图所示，连接，

当时，
解得，
，
，，
，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是掌握上述知识点，熟练运用数形结合思想．
16．(1)；
(2)
【分析】（1）①将点代入可求得m；
②由图可知，，即可确定m的值；设，先根据抛物线表示出点C、D的坐标，进而求出直线的解析式，联立即可求解；
（2）分别过点A、P作x轴、y轴的垂线，两线交于点M，过点B作于I，设P点坐标为，A、B的坐标分别为，则，根据，证明，据此即可求解．
【详解】（1）①解：将点代入得：，
即，解得：或，
把代入得，
令，解得，
∴，
由图可知，，
∴；
②解：设，
由（1）得：，
∴，令，则，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P是直线与抛物线的交点，
∴ ，解得：，
∵点P为第四象限抛物线上一点，
∴；
（2）解：如图，分别过点A、P作x轴、y轴的垂线，两线交于点M，
则；过点B作于I，
设P点坐标为，A、B的坐标分别为，则，
∴，，
∵P为x轴下方抛物线上一点，
∴，
∴，，，；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
当最小时，最小；
∵，
而，
∴当时，有最小值，从而有最小值，
∴的最小值为：；
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，掌握抛物线性质，采用数形结合是解题关键．
17．(1)
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）分别令，由抛物线解析式求，，的坐标；
（2）根据、、、四点坐标，将四边形分割为两个三角形和一个梯形求面积；
（3）设，进而表示出，的面积，根据二次函数的性质，即可求点坐标.
【详解】（1）∵
当时，，
当时，，
解得：，
∴，
故答案为：．
（2）如图，

过点作，垂足为，
由，可知，
∴
；
（3）存在，如图(2)，

设，
过点作，垂足为，则
，
当时，最大，
∵
∴最大时，当取最大值，此时．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
18．(1)
(2)，的周长最小值为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求得然后求得求出的解析式，根据抛物线的解析式求得对称轴，根据对称性可得在上时，的周长最小，进而即可得点的坐标，根据的坐标，勾股定理，即可求解；
（3）过点作轴于，交于点，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵点，点在抛物线图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：
∴,
设直线的解析式为，代入、坐标得，
解得：，，
∴直线的解析式为，
∵
∴抛物线对称轴为直线
依题意，，当三点共线时，的周长最小
则当在直线上时，的周长最小
当时，，则
∵，，，
∴，，
∴此时，的周长为

（3）解：由（2）可得直线的解析式为，
过点作轴于点，交于点，如图，

设，则，
∴，
∴
；
∵，
∴时，最大，为．
此时；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键．