绝密★启用并使用完毕前 8．若数列 an 满足 nan n 2 an 1 n 2 ， a1 2，则满足不等式an 310的最大正整数n为
莱芜一中六十三级高二上学期核心素养测评 A．28 B．29 C．30 D．31
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
数学试题 2024年1月 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知曲线C :mx2 ny2 1，则
本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
A．若m n 0 ，则曲线C是圆 B．若m 0,n 0 ，则曲线C是椭圆
注意事项：
C．若mn 0，则曲线C是双曲线 D．若m 0,n 0 ，则曲线C是一条直线
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
a S S S2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 10．设数列 n 的前n项和为 ， n 1n n 1, Sn 1 n 1 12，则下列说法正确的是
涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写．在．本．试．卷．上．无．效．。 A． an 是等差数列 B．当n 6或n 7时， Sn取得最大值
| a | S ,S S ,S S
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 C．数列 n 的前10项和是30 D． 4 8 4 12 8 成等差数列，公差为 32
x2 y2 11．已知点 P在圆C : (x 4)2 (y 5)2 9 上，点 A(2,0)， B(0, 2)，则1．双曲线 1的渐近线方程是
4 2
A 7 2 7 2．点P到直线 AB的距离的取值范围是
1 [ 3, 3]
A． y x B． y 2 x C． y 2x D． y 2x 2 2
2 2 B．存在2个点P，使得 | PA |2 | PB |2 12
2．直线 l的方向向量 a (1,2,3)，平面 的一个法向量 n (k 1,k ,k 1) ，若 l ，则 k C．当 PAB最小时， | PA | 2 5
1
A． B．1 C．2 D．3
3 D．当 PAB最大时， | PA | 2 5
3．等比数列{an}中，若 a2 1， a6 81，则 a 12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1，P为线段 A1C1上任意一点，下列说法正确的是4
A．9 B． 9 C． 9 D． 27 A．PD BD1
4．直线 2x 3y 1 0 的一个方向向量是 B．动点P到线段BD的距离可以是 2
A． (2,3) B． (2, 3) C． (3, 2) D． (3, 2) C．P是 A1C1中点时，直线PD与平面 A1BD
2
所成的角的正弦值是
5．如右图所示的四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 3为正方形，且各棱长均相等，
E PB AE BD P A BD是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 D．三棱锥 1 体积最大时，若点M 满足OM xOA1 yOB zOD，
A 2 3．1 B． C． D 6． 其中 x y z 1
2 3
，则 | PM |的最小值是
2 3 6 3
6 x
2
．已知椭圆 y2 1，点P是椭圆上任意一点，则 P到直线 x y 5 0的距离最大值是
4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
A 10 B 10 10 10
13．若直线 l1 : ax 4y (a 1) 0与 l2 : 3x 4y 7 0平行，则它们之间的距离为___________．
． ． C． D．
2 3 4 14．如右图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1各条棱长均为2， BAA1 DAA1 60
， BAD 90 ，
7．一束光线从点M (1,2)出发经 x轴反射后经过点N ( 2,4) ，半径为 5 的圆C恰好与入射光线和反射光线都 则线段 AC1 的长度为________________．
相切，则圆C的标准方程是
A． (x 5)2 y2 5 B． (x 5)2 y2 5
C． x2 (y 5)2 5 D． x2 (y 5)2 5
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15．图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，这是一种分形图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915 20．（12分）
年提出．具体做法是：取一个实心等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四小三角形，去掉中间的 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BC， AB BC BB1 4，点 E在线段 A1C上．
那一个小三角形，对其余三个小三角形重复上述步骤 ．已知最初等边三角形的面积为1，则经过5 1
（1）当 A1E A1C时，求线段 B1C1的中点D到平面 ABE的距离；
次操作之后得到的图形中的阴影部分面积为____________． 4
π
（2）是否存在点 E，使得平面 ABE与平面 BCE的夹角为 ？若存在，请找出点 E的位置；若不存在，
3
请说明理由．
2 2
16 y x．已知双曲线 1 (a 0, b 0) 的两个焦点分别为F1(0, c), F2 (0,c) ， c 02 2 ，以F1F2 为直径的圆与a b
2
双曲线在第一象限的交点为P，若直线PF1与圆E : x2 (y
c
)2 b 相切，则双曲线的离心率是________．
3 9
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．（12分）
17．（10分）
已知抛物线C : y2 4x．
在等差数列 an 中， a1 a2 6 ，a5 10．
（1）过抛物线的焦点，且斜率为 3 的直线 l1交抛物线C于 A , B两点，求 | AB |；
（1）求 an 的通项公式；
（2）直线 l2过点 P(2,0)且与抛物线交于M ,N 两点，过M ,N 分别做抛物线的切线，这两条切线交于点
{ 4（2）设数列 }的前 n项和为Tn，证明：Tn 1． Q．证明：点Q在定直线上．anan 1
18．（12分）
已知方程 x2 y2 2x 6y m 0, m R ．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线 x y 2 0相交于M ,N 两点，且 MCN 120 （C为圆心），求m的值． 22．（12分）
2 2
已知椭圆C : x y 1 (a b 0)过点 (0,1) C 2，且 的离心率为 ．
a2 b2 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点 P(2,0)， A , B是椭圆上关于 x轴对称的两点， PB交椭圆C于另一点E，F1是椭圆的左焦点，
19．（12分）
求△ AEF1的内切圆半径的取值范围；
已知数列 an 满足 a1 1， an 1 2an 3， n N ． 3n
（3）若斜率为 (n N ) 的直线与椭圆C相交于M ,N 两点，且MN中点G恰在抛物线C : x2 2y
（1）证明：数列 an 3
2
是等比数列，并求出数列 an 的通项公式； n
2 b a log (a 3) 上．记N 的横坐标为
x ，求 x 的最大值．
（ ）令 n n 3 n ，求数列 b n nn 的前 n项和 Sn .
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数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D D A C A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ACD ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
243
13．1； 14．2 5； 15 65． ； 16． ．1024 7
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
a
17 1 a d 1
a2 2a1 d 6
．【解答】（ ）设等差数列 n 的公差为 ，由题意得 ，·· 2分
a5 a1 4d 10
a1 2
解得 ，·························································································· 4分
d 2
所以 an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n ， n N ．······································ 5分
4 4 1 1 1
（2）由（1）得 a a 2n 2(n 1) n(n 1) n n 1， n N ．············· 8分n n 1
T 1 1 1 1 1 1 1所以 n 1 1．···································10分1 2 2 3 n n 1 n 1
注：第（1）问中没写 n N 的，不扣分．19 题（1）也是；
4 1 1
第（2）问中的“ a a n n 1 ”没有单独写出，但在后面的求和过程中体现，不扣分．n n 1
数学试题答案 第 1 页 共 6页
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18．【解答】（1）题中方程可化为 (x 1)2 (y 3)2 10 m，·························· 2分
此方程若表示圆，只需要10 m 0，即m 10，
则m的取值范围是 ( ,10)．······································································4分
（3）在△MCN 中，取MN 中点 P，连接CP，
因为 MCN 120 ， |CM | |CN | r |CP | r 10 m，所以 ，················· 7分
2 2
|1 3 2 |
又因为 |CP |为圆心C(1,3)到直线 x y 2 0的距离 2 ，···········10分
12 12
10 m
所以 = 2 ，解得m 2．····························································· 12分
2
注：第（1）问用“ ( 2)2 ( 6)2 4m 0 ”求解m的取值范围也正确；
第（2）问求利用勾股定理或者韦达定理求弦长，再求m的值也可以．
a 3 2a 3 3 2(a 3)
19 n 1 n n．【解答】（1）证明： n N ， 2a ，n 3 an 3 an 3
（或者由题意 an 1 3 2(an 3)）······························································ 3分
所以，数列 an 3 是以 a1 3 1 3 2为首项，2为公比的等比数列．··········4分
n 1 n
所以 an 3 2 2 2 ,n N ，······························································5分
n
所以 an 2 3,n N ．··········································································· 6分
n n n
（2）由（1）可得bn an log3(an 3)=2 3 log3 2 2 (log3 2)n 3 ，····8分
所以
Sn b1 b2 bn 2
1 (log 2) 1 3 22 (log 2) 2 3 2 n3 3 (log3 2) n 3
(21 22 2n) ((log 32)(1 2 n) 3n
数学试题答案 第 2 页 共 6页
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2 2n 2 (log 2) n(n 1) 3n 2 n 1 2 (log
2
3 2)n (log 2 6)n 3 3 ．··12分1 2 2 2
20．【解答】以 B为原点，BA,BC,BB1所在直线分别问 x轴，y轴，
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0, 2, 4)， A(4,0,0)，C(0, 4,0)， A1(4,0,4)，
则 BD (0, 2, 4)， BA (4,0,0)， BC (0, 4,0)，
BA1 (4,0, 4)．······················································································· 1分
1
（1 3BA BC）因为 A1E A1C，所以 BE 1 (3,1,3)，····························· 2分4 4
n BA 4x 0
设平面 ABE的法向量 n (x, y, z)，则 ，
n BE 3x y 3z 0
则 x 0，取 z 1，则 y 3，
所以 n (0, 3,1)是平面 ABE的一个法向量，················································3分
| BD n | | (0, 2, 4) (0, 3,1) | 10所以点D到平面 ABE的距离 ．·················5分
| n | 10 5
（2）由题意， A1 平面 BCE ，设平面 BCE 的法向量m1 (x, y, z)，
m BC 4y 0
则
1 ，则 y 0，取 x 1，则 z 1，
m1 BA1 4x 4z 0
所以m1 (1,0, 1)是平面 BCE 的一个法向量．·············································· 7分
设 A1E A1C ( 4 , 4 , 4 )， [0,1]，
则 BE BA1+A1E (4 4 , 4 , 4 4 )，···················································· 8分
m BA 4x 0
设平面 ABE的法向量m2 (x, y, z)
2
，则 ，
m2 BE (4 4 )x 4 y (4 4 )z 0
数学试题答案 第 3 页 共 6页
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则 x 0，取 z ，则 y 1，
所以m2 (0, 1, )是平面 ABE的一个法向量，········································ 10分
π cos 1则 | cos m ,m | =3 1 2 ，2 -1 2 + 2 2
1 π
解得 = ，即当点 E为 AC中点时，平面 ABE与平面 BCE 的夹角为 ．······· 12分
2 1 3
21.【解答】（1）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，由题意可得直线 l1 : y 3 x 1 ，·······2分
y 3 x 1 10
联立 ，得2 3x
2 10x 3 0，所以 x1 x2 ，
y 4x 3
10 16
所以 AB x1 x2 2 2 ．··························································4分3 3
（2）由题意，过点M 且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为 k，
则过点M 且与抛物线相切的直线方程为 y y3 k x x3 ，①
y y3 k x x3 2
联立 ，得 ky 4y 4y3 4kx3 0 ，
2 y 4x
2 2
=16 16k y kx 0 y 2 4x k y3 ky 1 ky
2
所以 3 3 ，代入 3 3，得 3
3
1 0，4 2
解得 k
2
，带入①式即得 y3y 2x+2xy 3 ，3
即过点M 且与抛物线相切的直线方程为 y3y 2x+2x3 ，··································6分
同理可得过点 N 且与抛物线相切的直线方程为 y4 y 2x+2x4 ，························· 7分
（法一）
y y
y y 2x 2x 3 4 y y
联立
3 3 3 4
y y 2x 2x ，可得 x y4x3 y 3x4 4 y3y 4 ，··········· 9分4 4 Q y3 y4 y3 y4 4
由题意，直线MN斜率可能不存在但是一定不为0，设直线MN 方程为 x my 2，
数学试题答案 第 4 页 共 6页
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设M x3 , y3 ,N x4 , y4 ，
x my 2
联立 ，得 y2 4my 8 0，所以 y yy2 4x 3 4
8，即得 xQ 2，········ 11分
所以点Q在定直线x 2上．···································································12分
y3y 2x 2x
（法二）点Q
Q Q 3
是两条切线的交点，所以 ，
y4 yQ 2xQ 2x4
所以 x3 , y3 , x4 , y4 是方程 yQ y 2x 2xQ 的解，
即直线MN 的方程为 yQ y 2x 2xQ ，························································10分
因为直线MN过点 P(2,0)，所以 2 2 2xQ 0，即得 xQ 2，··················· 11分
所以点Q在定直线x 2上．···································································12分
注：第（2）问中直接写出过点M 且与抛物线相切的直线方程为 y3y 2x+2x3 的扣 1 分．
a
2 b2 c2
22．【解答】（1）依题意 b 1 , 解得 a 2,b 1，································· 1分
c 2
a 2
x2
所以椭圆C的方程为 y2 1．································································· 2分
2
（2）因为直线 AE斜率存在且不为 0，可设 AE的直线方程为 x my t m 0 ，
设点 A x1, y1 y1 0 ,E x2 , y2 ，则 B x1, y1 ，
x my t,
2 2
联立 x2 得 m 2 y 2mty t 2 2 0， 1
y
2 1,
2
Δ 8 m2 t2 2 0, y y 2mt , y y t
2 2
则 1 2 2 1 2 2 ,········································3分m 2 m 2
y y y
因为点 P,B,E 2 1 1三点共线且斜率一定存在，所以 ，所以 x1y2 x2 y1 2x y y x x 2 1 2 ，2 1 1
y1 y2 2mx my t, x my t 2m 2mt将 1 1 2 2 代入，化简可得 y ，故 ，解得 t 1，1y2 2 t 2 t t2 2
数学试题答案 第 5 页 共 6页
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满足Δ 8(m2 1) 0,所以直线 AE过定点Q 1,0 ，且Q为椭圆右焦点．················5分
1
设所求内切圆半径为 r，因为 S AEF 4a r 2 2r，所以1 2
1
S S FQ y y 2 2
r AEF1 F1QA
S F1QE 2 1 2 y y 1 2 4 y1y2 m 1 ，············6分
2 2 2 2 2 2 2 2 m2 2
令u m2 1(u 1)，
r u 1 1 1 1 1
所以 u 1 u 1 22 u ，当且仅当u 即 时等号成立，从而 0 r ．u
1 u 1
2
u u
1
所以△AEF1内切圆半径 r的范围为 (0, )．····················································· 8分2
x2M
y
2
M 1
（3）设M xM , yM ,N xN , yN ,G xG , yG ,
2
代入得 2 ,
xN y2 N 1 2
y y x x
作差整理得 (xM xN )(x x ) 2(y y )(y y )
M N M NM N M N M N ， x ，M xN 2(yM yN )
k x x即 MN M N2 y y ，又因 xM xN 2xG , yM yN 2yG ,M N
k xG , k 1 1整理得 MN 即2y MN
k k
G 2k
,即 MN OG ．····································· 10分
OG 2
1 2 yG 1 1
因为 xG xn ，点G在抛物线上，所以 yG x ，即 x2 G x 2 n
，即得 kOG xn，
n 2
3n 3n 1 1 n2
由题中 kMN 2 得 2 ( xn) ，即得 xn
n (n N ) ······························· 11分n n 2 2 3
x x (n 1)
2 n2 2n2 2n 3
由 n 1 n ，当n 1时，上式为正；当n 2时，上式为负.3n 1 3n 3n 1
即 x1 x2 x3 x 4 x n .
x2
y2 1
联立 2 ，得到其交点的横坐标为 x2 5 1，所以 0 x2n 5 1，
x
2 2y
x 4 x 2 (4 2因为 2 且 2 ) 5 1．9 9
4
所以 xn的最大值为 ．··············································································12分9
数学试题答案 第 6 页 共 6页
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