3.1多项式的因式分解
学习目标：
1、理解因式分解的概念和意义，认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。
2、培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
3、培养学生接受矛盾的对立统一观点，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P55-57
说一说：（1）21等于3乘哪个整数？
（）等于 乘哪个多项式？
学一学：看谁算得快：（抢答）请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
(3)若x=-3,则20x2+60x=__________
议一议：观察： a2-b2=(a+b)(a-b) ，
a2-2ab+b2 = (a-b)2 ，
20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)
【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。
选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；
(2)2m(m-n)=2m2-2mn
(3)3a2+6 = 3a（a+2）
填一填：
继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2 ,
(a-b)2= a2-2ab+b2，
20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？
因式分解
结合：a2-b2 （a+b）（a-b）
整式乘法
说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。
【课堂展示】P56例题1，例题2
合作探究——不议不讲
互动探究一：若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=
互动探究二：机动题：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m=
【当堂检测】：
1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y-xy2=xy(x-y)；
(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；
(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).
2. 计算下列各题，并说明你的算法
(1)872+87×13
(2)1012-992
知识点一、因式分解 的概念
知识点二、因式分解与整式乘法的关系3、1多项式的因式分解
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
教学重点
1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
教学目标
一、创设问题情境,引入新课
计算（a+b）（a－b）
a2－b2=（a+b）（a－b）成立吗？那么如何去推导呢？
这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.
二、讲授新课
1.讨论6能被2整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
6能被2整除.
因为6=3×2
其中有一个因数为2，所以6能被2整除..6还能被哪些正整数整除？
还能被3整除.
从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
观察x2－x与x2－1这两个代数式.
3.做一做
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________; ②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________; ④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（ ）（ ）; ②m2－16=（ ）（ ）;
③ma+mb+mc=（ ）（ ）; ④y2－6y+9=（ ）2.
能分析一下两个题中的形式变换吗？
在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；
在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.
在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；
在（2）中由多项式变成整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.
由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.
如：（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc （2）ma+mb+mc=m（a+b+c）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
所以，因式分解与整式乘法是互逆方向的变形.
5.例题：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）不是因式分解，左右都是和形式。
例 解方程：x2-1=0
解 把方程左端的多项式因式分解，得
（x-1）（x+1）=0
从而得
x+1=0或x-1=0,
即 x=-1或x=1.
因此方程的解是x=-1或x=1.
三、课堂练习 连一连
解：
四.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是互逆方向的变形.
五、课后作业
六、教学反思：
为什么要因式分解？学生很困惑，它的运用在后阶段才能体会。再有解一元二次方程的问题过早提及，不利于教学。(共27张PPT)
第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
1.经历分解因数到因式分解的类比过程,理解因式分解的意义.(重点)
2.理解因式分解与整式乘法的关系,会用整式乘法验证因式分解是否正确.(重点、难点)
一、因式
因为21=3×7,所以把3和7分别叫做21的一个_____.
同理:对于两个多项式f与g,如果多项式h使得f=gh,那么,把__
和__分别叫做__的一个因式.
因数
g
h
f
二、因式分解
把一个多项式表示成若干个多项式的_____的形式,称为把这个
多项式因式分解.
三、因式分解与整式乘法的关系
多项式 整式×整式.
乘积
(打“√”或“×”)
(1)因式分解与整式的乘法是互逆运算.( )
(2)任意多项式都可以进行因式分解.( )
(3)x2+2x+2=(x+1)2+1中从左到右的变形是因式分解.( )
(4)(x+3)(x+2)=x2+5x+6是因式分解.( )
(5)a2+2a=a(a+2)是因式分解.( )
√
×
×
×
√
知识点 1 因式分解的意义
【例1】下列式子变形是因式分解的是( )
A.x2-5x+6=x(x-5)+6
B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
【思路点拨】先观察式子的右边是否为几个整式的积的形式,
再利用整式的乘法进行验证.
【自主解答】选B.选项A,C中式子的右边不是几个整式乘积的
形式,故不是因式分解.
选项B,D符合式子的右边是几个整式乘积的形式,但(x+2)(x+3)
=x2+5x+6≠x2-5x+6,所以选项D错误.用整式的乘法验证得(x-
2)(x-3)=x2-5x+6,故选项B中的变形是因式分解.
【总结提升】满足因式分解的条件
1.范围:运算在整式的范围内.
2.形式:变形的结果是乘积的形式.
3.过程:变形的过程必须保证运算的正确性.
知识点 2 因式分解与整式乘法的关系
【例2】若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2),试求a,b的值.
【思路点拨】根据因式分解与整式乘法的互逆关系,求(x+1)(x-2)所得的多项式与x2+ax+b各项对应相等,即可得a,b的值.
【自主解答】由题意得x2+ax+b=(x+1)(x-2),
因(x+1)(x-2)=x2-x-2.
所以x2+ax+b=x2-x-2,
所以a=-1,b=-2.
【总结提升】因式分解与整式乘法的关系
1.如果把整式乘法看作一个变形过程,那么多项式的因式分解就是它的逆过程.
2.如果把多项式的因式分解看作一个变形过程,那么整式乘法又是因式分解的逆过程.
3.多项式的因式分解与整式乘法互为逆过程,这种互逆联系,一方面说明了两者之间的密切联系,另一方面又说明了两者的根本区别.
题组一:因式分解的意义
1.下列各式由左边到右边的变形中是因式分解的为( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2-7x+1=x(x-7)+1
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
【解析】选C.A是单项式与多项式的乘法,错误;B等号右边不是积的形式,错误;C为因式分解,正确;D等号右边不是积的形式,错误.
2.下列各式由左边到右边的变形不是因式分解的为( )
A.x2+3x+2=x(x+3)+2
B.x2-x+ =(x- )2
C.a2-25=(a+5)(a-5)
D.3ax-3ay+3a=3a(x-y+1)
【解析】选A.选项A的右边不是积的形式,而是和的形式,而其他三个选项均符合因式分解的定义.
3.(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
【解析】选D.根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式”可直接排除选项A,B,C;选项D可以先提取公因式,再利用平方差公式:x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
4.5a2-5a=5a(a-1)是 .(填“因式分解”或“整式乘法”)
【解析】5a2-5a=5a(a-1)是把多项式化成整式积的形式,是因式分解.
答案:因式分解
5.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)· =(x+2)2,故x2-4和(x+2)2都含有的因式为 .
【解析】因为(x+2)2=(x+2)(x+2),故x2-4和(x+2)2都含有的因式为x+2.
答案:(x+2) x+2
6.若4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b);4a2-6ab=2a(2a-3b);8a3-27b3=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2).则多项式4a2-9b2,4a2-6ab和8a3-27b3都含有的因式为 .
【解析】2a+3b和2a-3b是4a2-9b2的因式,2a和2a-3b是4a2-6ab的因式,2a-3b和4a2+6ab+9b2是8a3-27b3的因式,故这三个多项式都含有的因式为2a-3b.
答案:2a-3b
题组二:因式分解与整式乘法的关系
1.下列因式分解正确的是( )
A.2x2-xy-x=2x(x-y-1)
B.-xy2+2xy-3y=-y(xy-2x-3)
C.x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2
D.x2-x-3=x(x-1)-3
【解析】选C.2x2-xy-x=x(2x-y-1),故A项错误.
-xy2+2xy-3y=-y(xy-2x+3),故B项错误.
x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2,故C项正确.x2-x-3无法分解,故D项错误.
2.多项式x2-4x+m可以分解为(x+3)(x-7),则m的值为( )
A.3 B.-3 C.-21 D.21
【解析】选C.因为(x+3)(x-7)=x2-7x+3x-21=x2-4x-21,所以m=-21.
3.若x2-mx-15=(x+3)(x+n),则nm的值为( )
A.-5 B.2 C.25 D.-25
【解析】选C.因为(x+3)(x+n)=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n,所以-m=n+3,3n=-15,所以m=2,n=-5,所以nm=(-5)2=25.
4.一个多项式因式分解的结果是(b3+2)(2-b3),那么这个多项式是( )
A.b6-4 B.4-b6
C.b6+4 D.-b6-4
【解析】选B.(b3+2)(2-b3)=(2+b3)(2-b3)=4-b6.
5.(2013·株洲中考)把多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m= ,n= .
【解析】(x+5)(x+n)=x2+nx+5x+5n=x2+(n+5)x+5n,所以m=n+5,5n=5,故m=6,n=1.
答案:6 1
6.若x2+x+m=(x+n)2,求m,n的值.
【解析】因为(x+n)2=x2+2nx+n2=x2+x+m,
所以2n=1,n2=m,
解得:m= ,n= .
【变式备选】已知二次三项式2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),求a和k的值.
【解析】由2x2+3x-k=(2x-5)(x+a)得
2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,
所以2a-5=3,-5a=-k,解得:a=4,k=20.
【想一想错在哪？】如果把多项式x2-8x+m因式分解可得
(x-10)(x+n),求m+n的值.
提示:一次项系数对应错误!
