课件35张PPT。4.5 垂 线?1.垂线的概念、性质.(重点)
2.垂线的性质及应用.(重点、难点)一、垂直的定义
1.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC=___°,则我们称两条直
线互相垂直.记作AB___CD,交点O叫做_____.90⊥垂足2.(1)应用格式:
因为∠AOC= _____,
所以AB⊥CD(垂直的定义).
(2)反之,如果AB⊥CD,那么∠AOC= _____.90°90°二、垂线的画法及性质
【思考】1.画已知直线l的垂线能画几条?
提示:无数条.
2.在平面内,过直线l上的一点A画直线l的垂线,这样的垂线能画
___条.
3.在平面内,过直线l外的一点B画直线l的垂线,这样的垂线能画
___条.一一4.量一量,比一比.
如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,这些线段中,哪一条最短?
提示:通过测量比较,PO最短.【总结】1.在同一平面内,过一点_________一条直线与已知直
线垂直.
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,_______最短.
简单地说成:_______最短.有且只有垂线段垂线段三、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的_______的长度.垂线段 (打“√”或“×”)
(1)点到直线的距离是点到直线的垂线段.( )
(2)一条直线只有一条垂线.( )
(3)同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
(4)垂线段最短.( )
(5)两条直线互相垂直,则这两条直线所形成的四个角都是直角.
( )××√√√知识点 1 垂直的定义及应用?
【例1】如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过点
B作AC的垂线BO,垂足是O,过点O作BC的垂
线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.
【思路点拨】∠ABC=90°→∠ABO与∠1互余→BO⊥AC,则∠BOC=90°,又∠1=∠2→∠BOD=∠ABO.【自主解答】因为∠ABC=90°,∠1=60°,
所以∠ABO=30°.
因为BO⊥AC于O点,所以∠BOC=90°,
又因为∠2=∠1,所以∠BOD=∠ABO=30°.
【总结提升】垂直的定义的双重性
垂直的定义既是性质又是判定:一是可以由垂直关系得到角的数量关系;二是根据角的数量关系判定角的边所在直线的位置关系.知识点 2 垂线的画法及性质的应用?
【例2】如图,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说明理由.【解题探究】
1.小明的行走路径分哪几步?
提示:小明家→外婆家→河边.
2.小明从家去外婆家,转化为数学问题即两点之间的问题,应怎样走最近?理由是什么?
提示:最短路径是线段AB,理由是两点之间线段最短.3.小明从外婆家去河边,转化为数学问题即点到直线的距离的问题,应怎样走最近?理由是什么?
提示:最短路径是过点B作河岸的垂线,点B和垂足间的线段最短,理由是垂线段最短.
如图【总结提升】垂线画法三字诀
1.一靠:靠已知直线,使三角尺的一条直角边与已知直线重合.
2.二移:沿已知直线移动三角尺,使另一条直角边过已知的定点.
3.三画:画已知直线的垂线.题组一:垂直的定义及应用
1.下列时刻中,时针与分针互相垂直的是( )
A.2点20分 B.3点整
C.12点10分 D.5点40分
【解析】选B.在钟表的表面上,相邻数字(如1和2)与表中心连线的夹角为30°,而3点整时,时针指向3,分针指向12,故在3点整时时针与分针的夹角为直角.2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠COE=55°,则∠BOD的度数是( )
A.40° B.45° C.30° D.35°
【解析】选D.因为OE⊥AB,∠COE=55°,所以∠AOC=90°-∠COE=35°;因为∠BOD与∠AOC是对顶角,所以∠BOD=∠AOC=35°.3.已知:如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角【解析】选B.因为∠2=∠COE(对顶角相等),
又因为AB⊥CD,所以∠1+∠COE=90°,
所以∠1+∠2=90°,所以两角互余.4.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,且AB⊥CD,∠1=27°,则∠2= ,∠FOB= .
【解析】因为AB⊥CD,所以∠AOD=∠BOD=90°,
所以∠2=90°-∠1=63°,∠FOB=∠1+∠BOD=117°.
答案:63° 117°5.如图,∠ABD=90°,直线 ⊥直线 ,垂足为 ,在平面内,过D点有且只有 条直线
与直线AC垂直.
【解析】根据垂线的性质可知,直线AC⊥直线BD,垂足为B,在平面内,过D点有且只有1条直线DB与直线AC垂直.
答案:AC BD B 1 DB6.如图,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOF,OE⊥CD于点O,∠1=50°,求∠BOC,∠BOF的度数.【解析】因为OE⊥CD于点O,∠1=50°,
所以∠AOD=90°-∠1=40°,
因为∠BOC与∠AOD是对顶角,
所以∠BOC=∠AOD=40°.
因为OD平分∠AOF,
所以∠DOF=∠AOD=40°,
所以∠BOF=180°-∠DOA-∠DOF
=180°-40°-40°=100°.7.如图,AB,CD相交于O点,若∠EOD=40°,
∠BOC=130°,猜想射线OE与直线AB的位
置关系,并说明理由.
【解析】OE⊥AB.理由如下:
因为∠BOC=130°(已知),
所以∠AOD=∠BOC=130°(对顶角相等),
所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°.
所以OE⊥AB.题组二:垂线的画法及性质的应用
1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
【解析】选A.因为AC是BC上的垂线段,所以点A到BC的最短距离是3,故不可能是2.5.2.下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( )
【解析】选A.点P到直线MN的距离应是垂线段PQ的长度,PQ⊥MN,故选A.3.画一条线段的垂线,垂足在( )
A.线段上 B.线段的端点处
C.线段的延长线上 D.以上都有可能
【解析】选D.线段的垂线有无数条,过一点画线段的垂线,垂足可以在线段上,在线段的端点处,在线段的延长线上,故选D.4.如图,从书店到公路最近的是 号路线,数学道理是 .
【解析】①号路线最近,理由是垂线段最短.
答案:① 垂线段最短5.如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段 的长度.
【解析】因为身体在沙坑上所有接触的点中,距离起跳线最近的点到起跳线的距离作为跳远成绩,所以他的跳远成绩是线段BN的长度.
答案:BN6.如图所示,AB是一条河流,要铺设管道将河水引到C,D两个用水点,现有两种铺设管道的方案.
方案一:分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,沿CE,DF铺设管道;
方案二:连结CD交AB于点P,沿PC,PD铺设管道.
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料?为什么?【解析】按方案一铺设管道更节省材料.理由如下:因为CE⊥AB,
DF⊥AB,而AB与CD不垂直,所以根据“垂线段最短”,可知CEDF(2)两点确定一条直线
(3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短【想一想错在哪？】如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC
=3cm,则BD的长度的取值范围是( )
A.大于3cm B.小于5cm
C.大于3cm或小于5cm D.大于3cm且小于5cm提示:分析问题不全面!4.5.1垂线
学习目标：
1.了解互相垂直的有关概念.
2.理解垂线的有关性质并利用它们解答简单的几何问题.
重点：互相垂直的有关概念
难点：利用垂线的有关性质解答简单的几何问题.
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P96-97的内容
填一填：1．在相交线模型中，对顶角有_____对，分别是_________ 2
∠1邻补角有______个,分别是__________ 1（ ）3
∠2邻补角有__________个,分别是_________ 4
2．直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC=90，则
（1）直线AB与直线CD互相______
（2）记作_________
（3）交点O又叫做_________
（4）直线AB的垂线是________,
直线CD的垂线是
（5）此时,∠BOC=____,∠AOD_____,∠BOD=______,
所以 = = = =90
【归纳总结】1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做______其中一条直线叫做另一条直线的______，它们的交点叫______
2.垂直的符号：垂直用符号“______”表示，AB与CD垂直（O为垂足），记作______，读作AB垂直于CD
做一做：判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.
如图（1），在同一平面内，如果a⊥m，b⊥m，那么a∥b吗？
因为a⊥m（ ） ， 所以 ∠1＝90°；（ ）
又因为b⊥m（ ），所以 ∠2＝90°（ ）。
所以∠1=∠2( )，所以a∥b（ ）。
如图（2），在同一平面内，如果a∥b，m⊥a，那么m⊥b吗？（自己动手写理由）
（1） （2）
【归纳总结】1.在 ，垂直于同一直线的两条直线
2.在平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么 【课堂展示】
已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位置关系.
合作探究——不议不讲
互动探究一：（1）如图（1）AB⊥CD垂足为O，
那么∠____=∠_____=∠____=∠_________
（2）如图（2）,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
（1） （2）
互动探究二：如图，OA⊥OC，OB⊥OD，且∠AOD=3∠BOC，求∠BOC的度数．
【当堂检测】P98练习1题，2题
4.5.2垂线
学习目标：
1.理解垂线的性质并会过一点画已知直线的垂线.
2.了解垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念，掌握垂线段的性质.
重点：垂线的性质
难点：利用垂线段的性质解决相关的问题.
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P98-99的内容
做一做：经过一点作一条已知直线的垂线。(用三角板画)
（1）点P在直线AB上 （2）点P在直线AB外
议一议：1.过一点P作已知直线的垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？
2.如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？
【归纳总结】垂线的性质:在同一平面内，过一点______________________________
学一学：阅读教材P99-101的内容
填一填： 1.如图，设PO垂直于AB于O，线段PO叫作点P到直线AB的________
PA、PB、PC、PD叫________
2.垂线段PO的长度叫作点P到直线AB的________
做一做：请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，
然后猜测一下它们之间的关系如何
【归纳总结】直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，________
简单说成：________
【课堂展示】如图1,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB所在直线的垂线.
合作探究——不议不讲
互动探究一：如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,
BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的
距离是___,点A到BC的距离是____,点B到CD 的距离是___,
A、B两点的距离是______
互动探究二：我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在M河上架一座桥梁，如图所示，桥建在何处才能使A，B两个村庄的之间修建路面最短？
【当堂检测】P101练习1题，2题, 3题
4.5垂线
教学目标：1、掌握互相垂直及其有关概念。2、会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。3、理解并掌握垂线的两条性质。
教学重点：两直线互相垂直的概念及垂线的有关性质。
教学难点：垂线的有关性质及垂线的画法
教学过程：
一、知识准备
1、直角等于多少度？一个平角等于几个直角？2、如果a∥b，c∥b，那么 a∥c。
3、两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。
二、讲授新内容
1、互相垂直的有关概念
（1）观察P69的教材内容，引出生活中互相垂直的例子。
（2）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
（3）垂直的符号：垂直用符号“⊥”表示，AB与CD垂直（O为垂足），记作 AB⊥CD，读作AB垂直于CD。
2、画垂线的方法
引导学生用三角板画垂线，经过点P（如图（1）、（2））画直线AB的垂线。
（1） （2） （3） （4）
3、垂线的有关性质
（1）P70动脑筋
如图（3），在同一平面内，如果a⊥m，b⊥m，那么a∥b吗？
因为a⊥m（已知）所以 ∠1＝90°；因为b⊥m（已知）所以 ∠2＝90°（垂直的定义）。所以∠1=∠2(等量代换)，所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。
（2）归纳：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（3）如图（4），在同一平面内，如果a∥b，m⊥a，那么m⊥b吗？
因为m⊥a（已知）所以 ∠1＝90°；因为a∥b（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）所以 ∠2＝90°(等量代换)，。所以b⊥m（互相垂直的概念）。
（2）归纳：在平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线必垂直于另一条。
4、范例分析
讲解P70的例1和例题2，先引导学生分析，再师生合作完成。
三、练习与小结
1、练习P71 1题
2、小结
四、作业布置 练习P71 2题
后记；
