课件11张PPT。标题标题回顾与思考公式的结构特征:左边是a2 ? b2; 两个二项式的乘积,平方差公式 (a+b)(a?b)=即两数和与这两数差的积.右边是这两数的平方的差. 完 全 平 方 公 式(a+b)2=a2+ab+b2.2(a-b)2=a2 -ab+b2.2结构特征:左边是的平方;二项式右边是(两数和 )(差)两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.练一练想一想想一想纠 错 练 习 指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1; (4) （3a+2）（3b-2）=9ab-4
(2) (2a+1)2＝4a2 +1； (5) （0.5+a)(-a+0.5)=a2 -0.25
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1. (6) （-x-1）（x+1）=x2 -1解: (1)第一数被平方时, 未添括号;第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;应改为: (2a?1)2＝ (2a)2?2?2a?1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2?2a?1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;第二数的平方 这一项错了符号;应改为: (?a?1)2＝(?a)2?2?(?a )?1+12; 拓 展 练 习 下列等式是否成立? 说明理由．
(1) (?4a+1)2=(1?4a)2；
(2) (?4a?1)2=(4a+1)2；
(3) (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2；
(4) (4a?1)(?1?4a)＝(4a?1)(4a+1).(1) 由加法交换律 ?4a+l＝l?4a。成立理由:(2) ∵ ?4a?1＝?(4a+1)，成立∴(?4a?1)2＝[?(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3) ∵ (1?4a)＝?(?1+4a)不成立．即 (1?4a)＝?(4a?1)＝?(4a?1)，∴ (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[?(4a?1)]＝?(4a?1)(4a?1)＝?(4a?1)2。 不成立．(4) 右边应为:?(4a?1)(4a+1)。解：己知x+y=3 ，x2+y2=5 则xy 的值等于多少？己知x-y=4 , xy=21 ,则 x2+y2 的值等于多少？课件13张PPT。 第二章 整式的乘法《数学》(湘教版.七年级 下册)平方差公式2.1回顾与思考用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加. 利用多项式与多项式的乘法法则说出
(a＋b)(a-b)的结果.(a+b)(a-b)=a 2= a 2-b2-ab+ab-b 2平 方 差 公 式计算下列各题:=x2?9 ;=1?4a2 ;=x2?16y2 ;=y2?25z2 ;你发现了什么规律？=x2?32 ;=12?(2a)2 ;=x2?(4y)2 ;=y2?(5z)2 .(a+b)(a?b)=a2?b2.两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.用式子表示，即：初 识 平 方 差 公 式(a+b)(a?b)=a2?b2 (1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的
平方减去第二项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数，
也可以是代数式． 练习：参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”判断下列各式能否套用公式并填空。(1)(t+s)(t-s)=____ (2)(3m+2n)(3m-2n)=_________
(3)(1+n)(1-n)=_____ (4)(10+5)(10-5)=______t2-s2(3m)2-(2n)212-n2102-52 例题解析例题 例1 利用平方差公式计算：
(1) (2x+1)(2x?1)；(2) (x+2y)(x?2y); (3) (?m+n)(?m?n).解: (1) (2x+1)(2x?1)=2x2x第一数a2x ?要用括号把这个数整个括起来， 再平方; 12=4x2 ? 1 ;(2) (x+2y) (x?2y)
=x2?( )22y=x2 ?4y2 ;(3) (?m+n)(?m?n )
=?m( )2?n2=m2 ?n2 .( )2例二 (-2x - y ) (-2x + y )运用平方差公式计算:做一做:
课本第103页练习第一题=( -2x ) 2 –( y ) 2=4x2 - y 2解:原式随堂练习p110(1)(3a+b) (3a?b)； (2)(x+2) (x?2) ;1.计算：(3)( x?y) ( x +y) ; (4)(?1+5a)(?1? 5a) .接纠错练习纠 错 练 习(1) (1+2x)(1?2x)=1?2x2
(2) (2a2+b2)(2a2?b2)=2a4?b4
(3) (3m+2n)(3m?2n)=3m2?2n2本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解． 指出下列计算中的错误： 第二数被平方时，未添括号。第一 数被平方时，未添括号。第一数与第二数被平方时，
都未添括号。例2 计算 10029981002998 =（1000+2）（1000-2）=1 000 000-4=999 996解练习：
课本第103页练习第3题公式运用本节课你的收获是什么？小结两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.要变成公式标准形式后，再用公式. 作业(-4a—1)(4a—1)1、教材p.114 习题4.4 第1题.
2、扩展训练：利用平方差公式计算：谢谢，本课结束，下节课再见！课件11张PPT。可以这样算!我们已经计算过： 把 2x 与y 分别看成上式的 a 与 b，也就是把它们按下面的方法对应起来，就可以直接得到结果.都叫作完全平方公式，也就是：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．baababb2aba2 把一个边长为a+b的正方形按图分割成4块，这个图说明了什么？你能回答出来吗？运用完全平方公式计算：解运用完全平方公式计算：解或（1）(a－b)2与(b－a)2有什么关系？（2）(a+b)2与(－a－b)2有什么关系？运用完全平方公式计算：1.运用完全平方公式计算：2. 运用完全平方公式计算：3.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？不对不对2.2乘法公式
2.2.1平方差公式
学习目标：
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算
重 点: 平方差公式的推导和应用
难 点: 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P42“动脑筋”与“说一说”
说一说：计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
议一议：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
【归纳总结】
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
你能用数形结合的思想解释平方差公式吗？
想一想：下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2 （2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
填一填：
（a+b)(-b+a) = (3a+2b)(3a-2b)=
公式的结构特征
公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．
如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
【课堂展示】P43例题1,2,3
合作探究——不议不讲
互动探究一：运用乘法公式计算：7×8
互动探究二：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
【当堂检测】：
1.填空
（1） （__+__）（__+__）=
（2） （a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式形式：
2.计算
（1）102×98
（2）(a+b)(a-b)(a2+b2)
（3）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
（4）（b+2a）（2a-b）
（5）（-x+2y）（-x-2y）
（6）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
2.2.2 完全平方公式（1）
学习目标：
1．会推导完全平方公式：，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。
2．经历探索完全平方公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊----一般----特殊”的认识规律。
重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．
难点：运用完全平方公式进行计算．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P44“动脑筋”与“做一做”
说一说：计算 两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．
议一议：结合图形，理解公式，与同学交流。
根据图形完成下列问题：
如图：A、B两图均为正方形，
（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
（2）图B中，正方形的面积为____________________，
Ⅲ的面积为______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，
用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论：
【归纳总结】
两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
选一选：
下列各式中，能够成立的等式是（ ）．
A、 B、
C、 D、
填一填：（1） ）2=
是一个完全平方式，则m的值是___________
说说完全平方公式的特征，和你的伙伴交流认识
【课堂展示】 引例：计算
讲解：在 中，把x看成a，把2y看成b，在 中把2x看成a，把-3y看成b，则 、 ，就可用完全平方公式来计算，即
?
(a + b)2 =a2+ 2 a b + b2
合作探究——不议不讲
互动探究一：P45例题4
互动探究二：下面各式计算对不对？应怎样改正？
（1） （2）
【当堂检测】：
1.运用完全平方公式计算：
(1)(m－n) (3) ???
⑶ 1999 (4)( a－3b)(3b－a)
2.2.2 完全平方公式（2）
学习目标：
1、熟练应用完全平方公式、平方差公式计算。
2、进一步发展学生的符号感，体会“特殊----一般----特殊”的认识规律。
重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．
难点：运用完全平方公式、平方差公式进行计算．
预习导学——不看不讲
说一说：1.叙述完全平方公式的内容并用字母表示:
2. 与 ， 与 相等吗？
【归纳总结】
运用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与公式 混淆，而随意写成 ．
（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．
（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，
选一选：判断下列运算正确的是．
（1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
【课堂展示】例：如果，那么的结果是多少？
合作探究——不议不讲
互动探究一：P46例题5
互动探究二： P47例题6 计算
（1） （2）
（3）
得出结论：
①两数之和的平方与两数之差的平方相差
两数之和的平方与两数之差的平方相加得
③三个数之和的完全平方公式
互动探究三： P47例题7
【当堂检测】：
1.填空
（1） 计算：152= 252= 352= 452=
（2）总结归纳有何规律
（3） 已知(x+y)2=9,(x-y)2=5,则xy=
（4）(a+b)2 = (a-b)2+ ________.
（5）若x+y=3,x-y=1,则x2+ y2 = ， xy = .
2.计算
（1） （2）
3.已知，求的值
4.如果是一个完全平方公式，则的值是多少？
2.2.3运用乘法公式进行计算
学习目标：
1、学习型，并进行公式推导；
2、进一步巩固完全平方公式和平方差公式，并会用乘法公式化简某些代数式；
重点：乘法公式的有关推广计算.
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P48“动脑筋”
说一说： 平方差公式与完全平方公式及其结构特征
（1）
议一议：计算下列各题
（1） （2）
【归纳总结】遇到多项式的乘法时，要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，一达到简化运算的目的。
选一选：下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）.
A． B． C． D．
填一填：-2ab =
你能用推导的结果吗？
【课堂展示】例8 运用乘法公式计算
（1） （2）
合作探究——不议不讲
互动探究一：是完全平方式，则m的若要使值为（ ）.
A． B． C． D．
互动探究二：若求（1） （2）的值.
互动探究二：计算：[2a2－（a+b）（a－b）][（－a－b）（－a+b）+2b2]；
【当堂检测】：
1.填空
（1）、；
（2）、；
（3）、；
2.计算
（1）
（2）
（3）
（4）
3. 思考：你能计算、吗？
4. 已知 ，求和 的值
2.2.1平方差公式
教学目标：1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；3、了解平方差公式的几何背景。
教学重点：1、弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；2、会用平方差公式进行运算。
教学难点：会用平方差公式进行运算
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：
一、准备知识：
1、计算下列各式(复习)：
（1） （2） （3）
2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
3、讨论归纳：平方差公式：
文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
二、探究新知：
1、范例分析 P102 例1至例3
例1、运用平方差公式计算：
（1） （2）
解：原式= 解：原式=
= =
注意题目中的什么项相当于公式中的 a和 b，然后正确运用公式就可以了。
例2 运用平方差公式进行计算：
（1） （2） (3)(y+2)(y-2)(y2+4)
解：(1) ==
（2）==
(3)(y+2)(y-2)(y2+4) ＝(y2-4)(y2+4) ＝(y2)2-42＝y4-16
例3 运用平方差公式计算：102×98
解： 102×98
＝(100+2)(100-2)
＝1002-22
＝10000-4
＝9996
三、小结与练习
1、练习P103 练习题 1至3题
2、小结：平方差公式：的几何意义如图所示
使用公式时，应注意两个项中，有一个项符号是相同的，另一个项符号相反的，才能使用这个公式。
四、作业：P107 习题4.3 A组 第1题
思考题：若
后记：
2.2.2完全平方公式(1)
教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；3、了解完全平方公式的几何意义。
教学重点：1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；2、会用完全平方公式进行运算。
教学难点：会用完全平方公式进行运算
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：
一、探究新知
1、怎样快速地计算呢？
2、我们已经会计算，对于上式，能否利用这个公式进行计算呢？
3、比较
启发学生注意观察，公式中的2x、y相当于公式中的a、b。
4、利用公式也可计算
5、归纳完全平方公式：
两个公式合写成一个公式：
两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍。
6、完全平方公式的几何意义：
7、范例分析 P104例1、例2
例1运用完全平方公式计算：
(1) (2)
(按教材讲解，并写出应用公式的步骤)
例2运用完全平方公式计算：
(1) (2)
(按教材讲解，并写出应用公式的步骤，特别要注意符号，第1小题可以看作-x与1的和的平方，也可以看作是再进行计算。第2小题可以看作是-2x与-3的和的平方，也可以看作是-2x减去3的平方，同学们可任意选择使用的公式)
二、小结与练习
1、练习P105练习1、2
2、小结
三、布置作业 P108 A组第3题的1至3小题
后记：
2.2.2完全平方公式(2)
教学目标：1、较熟练地运用完全平方公式进行计算；2、了解三个数的和的平方公式的推导过程，培养学生推理的能力。3、能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。
教学重点：1、完全平方公式的运用。
教学难点：正确选择完全平方公式进行运算。
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教学过程：
一、乘法公式复习
1、平方差公式：
2、完全平方公式：
3、多项式与多项式相乘的运算方法。
4、说一说：(1) 与 有什么关系？
(2) 与 有什么关系
二、乘法公式的运用
例1 运用完全平方公式计算：
(1) (2)
分析：关键正确选择乘法公式
解：(1) =
=
= 10000＋800＋16
＝10816
(2) ＝
＝
＝40000－800＋4
＝39204
例2、运用完全平方公式计算：
（1） （2）直接利用第（1）题的结论计算：
解：（1）＝
＝
＝
＝
启发学生认真观察上述公式，并能自己归纳它的特点。
（2）小题中的2x相当于公式中的a，3y相当于公式中的b，z相当于公式中的c。
解：（2）＝
=
=
小结与练习
练习P105的练习第3题
小结
布置作业
运用乘法公式计算：
（1） （2）
（3） （4）
后记；
2.2.3 运用乘法公式进行计算
教学目标：1、熟练地运用乘法公式进行计算； 2、能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。
教学重点：正确选择乘法公式进行运算。
教学难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算。
教学方法：范例分析、探索讨论、归纳总结。
教学过程：
复习乘法公式
1、平方差公式：
2、完全平方公式：
3、三个数的和的平方公式：＝＝
4、运用乘法公式进行计算：
（1） （2）
（3）
二、范例分析 P106的例1、例2
例1运用乘法公式计算：
（1） （2）
解：（1）
＝
＝
想一想：这道题你还能用什么方法解答？
（2）
＝
＝
＝
运用乘法公式计算：
（1） （2）
解：（1）
＝
＝
=
(2)
=
=
=
=
注意灵活运用乘法公式，按要求最好能写出详细的过程。
三、小结与练习
1、练习P107的练习题
2、小结：利用乘法公式可以使多项式的计算更为简便，但必须注意正确选择乘法公式。
四、布置作业：
P108 A组 第3题、第4题
后记：
