3.2 提公因式法（1）
学习目标：
1．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．
2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
3．培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．
重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式，难点：正确地确定多项式的最大公因式．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P59-60
说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；
学一学：
多项式中各项含有相同因式吗？，它们共有的因式是什么？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由
议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？
2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？
【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
选一选：
多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c
填一填：在下列括号内填写适当的多项式
（1）（ ）
（2）（ ）
提问： 多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？
师生共识：提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式。
提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
【课堂展示】【例】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．
解：－4x2yz－12xy2z+4xyz
=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）
=－4xyz（x+3y－1）
合作探究——不议不讲
互动探究一：P59例题1
互动探究二：P60例题2
互动探究三：P60例题3
【当堂检测】：
1.说出下列多项式中各项的公因式
（1）
（2）
（3）（m,n均为大于1的整数）
2. 用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．
3．把下列多项式因式分解
（1） （2）
（3）
3.2 提公因式法（2）
学习目标：
1、理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解.
2、初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方。
3、在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣。
重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解。
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P60-61
说一说：说出下列多项式各项的公因式
（1）2ax+4ay (2) 9x+6x +3x (3) 4a-6a
(4) 4xy-12xy (5) -5ax+15ax (6) –x+2x-3x
学一学：复习，什么叫提公因式？怎样确定公因式？
议一议：1.下列多项式中各项的公因式是什么？
（1）
（2）
(1)当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
(2)提取公因式要彻底；注意易犯的错误：①提取不尽②漏项③疏忽变号④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式。
2.①多项式2（a-b）2-（a-b），此题公因式是什么?怎样解？
【解】（教师板书解题过程，突出对留下的多项式中的处理步骤应引起学生注意）
②如何把2(a-b)2 – a + b 分解因式
提问:①此题有没有公因式?②通过怎样变形会有公因式?③怎样分解因式?
【解】2(a-b)2 – a + b = 2(a-b)2 –( a – b)
= (a-b)[ 2(a-b) –1]
= (a-b)( 2a-2b –1)
③然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？
【归纳总结】
提取公因式的一般步骤：
①确定应提取的公因式:②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式:③把多项式写成这两个因式的积的形式。
选一选：将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
填一填：（1）ma+mb+mc=m（________）； （2）3a2-6ab+a= （3a-6b+1）；
（3）–x – y = (x+y) （4）-15a2+5a=-5a( )；
合作探究——不议不讲
互动探究一：P61例题4
互动探究二：P61例题5
互动探究三：P61例题6
【当堂检测】：
1.选择题
（1）多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+
（2）下列因式分解不正确的是（ ）
A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a） B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）
C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y） D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）
（3）将多项式a（x-y）+2bx-2by分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x-y）（-a+2b） B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b） D．-（x-y）（a+2b）
2．把下列各式分解因式：
（1）（a+b）-（a+b）2； （2）x（x-y）+y（y-x）；
（3） （4）
3.2 提公因式法
【教学目标】
认知目标：
⑴在具体情境中认识公因式
⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式
能力目标：
⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】
1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式
【教学过程】
㈠创设情境，提出问题
如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？
3.8
列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)
3.7 有简便算法吗?
=3.7×(3.8+6.2)
3.7 =3.7×10=37(m2) 6.2 图8-1
在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:
ma＋mb =m(a＋b)
利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb
㈡观察分析，探究新知
让学生观察多项式：ma+mb
（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。）
各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式 。
又如：b是多项式ab-b2各项的公因式
2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式
让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是 x 、 y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。
㈢独立练习，巩固新知
指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）
⑴ax+ay-a （a）
⑵5x2y3-10x2y （5x2y）
⑶24abc-9a2b2 （3ab）
⑷m2n+mn2 （mn）
⑸x(x-y)2-y(x-y) (x-y)
说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如:(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)
⑴ax+ay-a ⑵5x2y3-10x2y ⑶24abc-9a2b2 ⑷m2n+mn2 ⑸x(x-y)2-y(x-y)
a, x, y 5xy,5x2y3,5x2y 3abc,9ab,3ab mn,m2n,mn2 x(x-y),y(x-y),(x-y)
游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。
显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）
⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）
⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂
根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b） 这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。
㈣例题教学，运用新知
把3pq3+15p3q分解因式
通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式
解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)
让学生口答：把2x3+6x2分解因式
【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。】
说明：⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.
⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解
课堂练习：P156T1
把4x2-8ax+2x分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。）
学生可能出现的解答：①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）
③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a） ④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）
⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）
教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生练习中的常犯错误，接着由教师总结。这样做比教师直接给出可能会更有效。
【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。】
分析：找出公因式2x，强调多项式中2x=2x×1
解：4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）
注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。
把-3ab+6abx-9aby分解因式
【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】
学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励）
他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？
【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。】
应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。
课堂练习：P156T 2【巩固添括号法则】
解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y）
说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见P155
课堂练习：P156T3
【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】
探索： 2（a-b）2-a+b能分解因式吗？
还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（a-b）2-（a-b），然后启发学生如何转化？从而解决问题。
解：2（a-b）2-a+b= 2（a-b）2-（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］=（a-b）（2a-2b-1）
然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？
让学生积极思考，讨论回答。
注：n 为偶数 （a-b）n=（b-a）n
n 为奇数 （a-b）n= -（b-a）n
【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。】
指出：我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把-a+b可变形成-（a+b），若把（a-b）看作m，原多项式就可以提取公因式a-b。
【向学生渗透换元思想】
【例题4培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。】
㈤强化训练，掌握新知
把下列各式分解因式
⑴2ax+2ay ⑵x2y-xy2 ⑶a3+2a2-a ⑷2mn-6m2n2+14m3n3 ⑸-ab2c+2a2b-5ac2
⑹x（a+b）-y（a+b） ⑺a（x-a）+b（a-x）-c（x-a）
【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。】
㈥变式训练，扩展新知
A组:将下列各式分解因式
⑴3（a-b）2-6a+6b
⑵-0.01x3y+o.2x2yz2
⑶利用因式分解计算
22×3.145+53×3.145+31.45×2.5
B组: 分解因式xa-xa-1+xa-2
同学们，今天这节课你学会了什么？
在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？
课件28张PPT。 3.2 提公因式法?1.能确定多项式的公因式.(重点)
2.会用提公因式法把多项式因式分解.(难点)一、公因式
1.多项式abc+a各项公共的因式是__.
2.多项式4x2-2xy各项公共的因式是___.
3.6x3y2z-3xy3各项公共的因式是____.
【总结】几个多项式的_____的因式称为它们的公因式.a2x3xy2公共二、提公因式法
根据乘法分配律将下列多项式因式分解:
(1)abc+a= ________.
(2)4x2-2xy= _________.
(3)6x3y2z-3xy3= ____________.a(bc+1)2x(2x-y)3xy2(2x2z-y)【思考】
1.上面三式因式分解的结果有何共同特征?
提示:结果都是单项式×多项式.
2.因式分解结果中单项式与原多项式有何关系?
提示:该单项式为原多项式的公因式.
3.提公因式后所得多项式与原多项式的项数有何关系?
提示:相同.【总结】1.提公因式法:如果一个多项式的各项有_______,把
公因式提到_________,从而把多项式因式分解的方法.
2.公因式可能是一个___或式,也可能是单项式或_______.公因式括号外面数多项式 (打“√”或“×”)
(1)每个多项式都有公因式.( )
(2)3a+6ab的公因式是a.( )
(3)4m2-6m+2不能用提公因式法因式分解.( )
(4)-7x2y+14x因式分解的结果是-7x(xy+2).( )
(5)a(m+n)-b(m+n)=(m+n)(a-b).( )××××√知识点 1 用提公因式法因式分解?
【例1】因式分解:
(1)(2013·山西中考)a2-2a= .
(2)8a3b2-12ab3c+ab= .
(3)-24x3+12x2-28x= .
(4)6(x-2)+x(2-x)= .
【思路点拨】确定公因式→系数、字母及指数→提公因式→剩余项放在括号内【自主解答】(1)a2-2a=a(a-2).
(2)原式=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1
=ab(8a2b-12b2c+1).
(3)原式=-4x·6x2+(-4x)·(-3x)-4x·7
=-4x(6x2-3x+7).
(4)原式=6(x-2)-x(x-2)
=(x-2)(6-x).答案:(1)a(a-2)
(2)ab(8a2b-12b2c+1)
(3)-4x(6x2-3x+7)
(4)(x-2)(6-x)【总结提升】用提公因式法因式分解的步骤知识点 2 利用因式分解简化计算?
【例2】已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值.【教你解题】【总结提升】提公因式法简化计算的技巧
在用提公因式法进行化简计算时,往往涉及多个量,直接计算则过程繁杂,这时可将表示数量关系的式子进行适当变形再代入数值进行计算,尤其是运用包括提公因式法在内的因式分解进行变形,可起到事半功倍的效果.题组一:用提公因式法因式分解
1.多项式36a2bc-48ab2c+24abc2的公因式是( )
A.12a2b2c2 B.6abc
C.12abc D.36a2b2c2
【解析】选C.系数的最大公约数是12,相同字母的最低指数次幂是abc,所以公因式为12abc.2.下列各式中,没有公因式的是( )
A.2a-2b与b-a
B.mx+y与x+my
C.(m-1)3与-(1-m)2
D.a+b与-(b+a)
【解析】选B.A选项的公因式为a-b,C选项的公因式为(m-1)2,D选项的公因式为a+b.3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的部分是( )
A.m+1 B.2m
C.2 D.m+2
【解析】选D.因为(m+1)(m-1)+(m-1)=(m-1)(m+1+1)=(m-1)(m+2),所以余下的部分是m+2.4.将m2(a-2)+m(2-a)因式分解,正确的是( )
A.(a-2)(m2-m)
B.m(a-2)(m+1)
C.m(a-2)(m-1)
D.m(2-a)(m-1)
【解析】选C.m2(a-2)+m(2-a)
=m2(a-2)-m(a-2)
=m(a-2)(m-1).5.(2013·鞍山中考)因式分解:m2-10m= .
【解析】m2-10m=m(m-10).
答案:m(m-10)6.(2013·无锡中考)因式分解:2x2-4x= .
【解析】2x2-4x=2x(x-2).
答案:2x(x-2)7.因式分解:(1-3a)2-3(1-3a).
【解析】(1-3a)2-3(1-3a)
=(1-3a)(1-3a-3)
=(1-3a)(-3a-2)
=-(1-3a)(3a+2).题组二:利用因式分解简化计算
1.计算(-2)2013+(-2)2014的结果是( )
A.22013 B.22014
C.-2 D.-22013
【解析】选A.(-2)2013+(-2)2014
=(-2)2013+(-2)2013×(-2)
=(-2)2013×(1-2)
=-22013×(-1)
=22013.2.已知a-2b=-2,则4-2a+4b的值是( )
A.0 B.2 C.4 D.8
【解析】选D.4-2a+4b=4-2(a-2b)
=4-2×(-2)=8.3.利用因式分解计算:20142-2014×2013= .
【解析】原式=2014×(2014-2013)
=2014×1
=2014.
答案:20144.a,b互为相反数,则a(x-2y)-b(2y-x)的值为 .
【解析】因为a,b互为相反数,所以a+b=0,
所以a(x-2y)-b(2y-x)
=a(x-2y)+b(x-2y)
=(a+b)(x-2y)
=0·(x-2y)=0.
答案:05.利用因式分解计算32×3.14+5.4×31.4+0.14×314.
【解析】32×3.14+5.4×31.4+0.14×314
=0.32×314+0.54×314+0.14×314
=314×(0.32+0.54+0.14)
=314×1
=314.6.已知电学公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=12.9,R2=18.5,R3=18.6,
I=1.5时,求电压U.
【解析】U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)
=1.5×(12.9+18.5+18.6)
=1.5×50=75.7.已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.
【解析】由题意得:x2+x=1,
所以x3+2x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=4.【想一想错在哪？】因式分解:x(x-y)2-y(y-x).
提示:误认为x-y与y-x相等,而出现错误!
