课件25张PPT。 3.3 公 式 法?
第1课时1.知道平方差公式的特点,能判断一个二项式是否适合平方差公式因式分解.(重点)
2.能较熟练地应用平方差公式因式分解.(重点)
3.会用提公因式法和平方差公式法解决较复杂多项式的因式分解.(难点)
4.应用因式分解简化运算.一、平方差公式法
计算:(1)(m+2)(m-2)=____;
(2)(2x+1)(2x-1)=_____.
利用以上结果因式分解:
(1)____=(m+2)(m-2);
(2)_____=(2x+1)(2x-1).m2-44x2-1m2-44x2-1【思考】
1.上面算式(1)(2)都满足什么乘法公式?
提示:平方差公式.
2.上面因式分解(1)(2)的方法是提公因式法吗?
提示:不是.
3.根据上式的规律试把16a2-25b2因式分解:
16a2-25b2=(___)2-(___)2=(___+___)(___-___).4a5b4a5b4a5b【总结】平方差公式法:
(1)公式表示:a2-b2=(____)(____).
(2)语言叙述:两个数的_______,等于这两个数的___与这两个
数的___的积.a+ba-b平方差和差二、公式法
把乘法公式从___到___地使用.就可以把某些形式的多项式进
行因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.右左 (打“√”或“×”)
(1)-x2+y2=-(x+y)(x-y).( )
(2)-x2-y2=-(x+y)(x-y).( )
(3)任意二项式都可用公式法因式分解.( )
(4)9x2-6y2可因式分解为(3x+6y)(x-6y).( )
(5)1-m4=(1+m2)(1-m2).( )√××××知识点 用平方差公式因式分解?
【例】因式分解:
(1)a2-25.
(2)a4b4-81.
(3)9(x-y)2-4(2x+y)2.
(4)(2013·湖州中考)mx2-my2.【思路点拨】(1)转化→a2-b2→套用→因式分解.
(2)转化→a2-b2→套用分解→检查→分解彻底.
(3)转化→a2-b2→套用分解→合并.
(4)提公因式→转化→平方差公式→继续分解.【自主解答】(1)a2-25=a2-52
=(a+5)(a-5).
(2)a4b4-81=(a2b2)2-92
=(a2b2+9)(a2b2-9)
=(a2b2+9)(ab+3)(ab-3).(3)9(x-y)2-4(2x+y)2
=[3(x-y)]2-[2(2x+y)]2
=[3(x-y)+2(2x+y)][3(x-y)-2(2x+y)]
=(7x-y)(-x-5y)
=-(7x-y)(x+5y).
(4)mx2-my2
=m(x2-y2)
=m(x+y)(x-y).【总结提升】运用平方差公式因式分解的“三步法”
1.提:如果有公因式,要先提公因式.
2.化:运用平方差公式因式分解时,要先化为a2-b2的形式.
3.查:检查分解结果是否彻底.题组:用平方差公式因式分解
1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )
A.x2+4y2 B.x2-y
C.-x2+4y2 D.-x2-4y2
【解析】选C.选项A只能看成和的形式;选项B,D虽能看成差的形式,但y与-x2都不能变为平方的形式,因此A,B,D都不符合平方差公式的特点.2.因式分解a3-a的结果是( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2
C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
【解析】选C.a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).3.下列因式分解正确的个数是( )
(1)-x2-y2=(x+y)(x-y)
(2)-4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b)
(3)25-4a2=(5+4a)(5-4a)
(4)a8-81=(a4+9)(a4-9)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.(1)不是平方差的形式.(2)的结果应是(3b-2a)(3b+2a).(3)的结果应是(5+2a)(5-2a).(4)分解不彻底.4.(2013·邵阳中考)因式分解:x2-9y2= .
【解析】把9y2写成(3y)2,再用公式法因式分解得x2-9y2=(x+3y)(x-3y).
答案:(x+3y)(x-3y)5.因式分解:5x2-20= .
【解析】先提公因式,再用平方差公式分解.
5x2-20=5(x2-4)=5(x+2)(x-2).
答案:5(x+2)(x-2)6.因式分解:ab2-a= .
【解析】ab2-a=a(b2-1)=a(b+1)(b-1).
答案:a(b+1)(b-1)7.在边长为18.2cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为0.9cm的正方形,则余下的纸片的面积为 .
【解析】18.22-4×0.92
=(18.2+2×0.9)(18.2-2×0.9)
=20×16.4=328(cm2).
答案:328cm28.因式分解:(1)x2-81;(2)x4-y4.
【解析】(1)x2-81=x2-92
=(x-9)(x+9).
(2)x4-y4
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y).9.把下列各式因式分解:
(1)36(a+b)2-25.
(2)16(a-2b)2-(a+b)2.
【解析】(1)36(a+b)2-25
=[6(a+b)]2-52
=(6a+6b+5)(6a+6b-5).(2)16(a-2b)2-(a+b)2
=[4(a-2b)]2-(a+b)2
=(4a-8b+a+b)(4a-8b-a-b)
=(5a-7b)(3a-9b)
=3(5a-7b)(a-3b).【高手支招】1.分解后的因式若有同类项一定要合并同类项.
2.合并后的因式若还有公因式要再提公因式,做到分解彻底.10.若a为整数,试说明(2a+1)2-1能被4整除.
【解析】(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1-1)
=(2a+2)·2a=4a(a+1).
因为a为整数,所以a+1也为整数.
所以4a(a+1)能被4整除.所以(2a+1)2-1能被4整除.【想一想错在哪？】因式分解:(2m-n)2-4(m+n)2.
提示:对平方差公式理解不透,出现错误!课件26张PPT。 3.3 公 式 法
第2课时1.会判断一个多项式能否应用完全平方公式因式分解.(重点)
2.能较熟练地运用完全平方公式法进行因式分解.(难点)
3.能综合运用提公因式法、公式法解决较复杂的多项式的因式分解.(难点)
4.会借助因式分解解决简单的实际问题.完全平方公式法
填空:(1)因为(x+2)2=_______,
所以_______=(x+2)2.
(2)因为(x-5)2=_________,
所以_________=(x-5)2.
(3)因为(2x+3y)2=____________,
所以____________=(2x+3y)2.x2+4x+4x2+4x+4x2-10x+25x2-10x+254x2+12xy+9y24x2+12xy+9y2【思考】
1.上面(1)、(2)、(3)中完全平方展开所得的多项式有几项?
提示:有3项.
2.上面(1)、(2)、(3)中被因式分解的多项式有几项?
提示:3项.
3.上面(1)、(2)、(3)中因式分解的依据是什么?借助了哪个公式?
提示:整式乘法与因式分解的互逆关系,借助了完全平方公式.【总结】完全平方公式因式分解法:
(1)公式:a2+2ab+b2=______,
a2-2ab+b2=______.
(2)文字叙述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍,
等于这两个数的_______________.(a+b)2(a-b)2和(或差)的平方 (打“√”或“×”)
(1)每个三项式都可用完全平方公式法因式分解.( )
(2)a2+b2=(a+b)2.( )
(3)x2+x+ 可以分解为 ( )
(4)4a2-4ab+2b2=(2a-b)2.( )
(5)-x2+2xy+y2=-(x-y)2.( )××√××知识点 1 完全平方公式法的直接应用?
【例1】因式分解:(1)x2y2+10xy+25.
(2)(a+b)2-4(a+b)+4.
【思路点拨】(1)将首尾两项化为平方形式,再将中间项写为2ab的形式,然后套用完全平方公式因式分解;
(2)将a+b看作一个整体即可.【自主解答】(1)x2y2+10xy+25
=(xy)2+2·xy·5+52=(xy+5)2.
(2)(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b)2-2(a+b)×2+22
=(a+b-2)2.【总结提升】运用完全平方公式因式分解所必须具备的三个条件
1.所给的多项式为三项.
2.其中有两项符号相同,并且这两项可化为两数(或整式)的平方.
3.另一项为这两个数(或整式)的乘积(或其乘积相反数)的2倍.知识点 2 综合运用多种方法因式分解?
【例2】a4x2-2a2x2y2+x2y4.【教你解题】【总结提升】因式分解的三步法题组一:完全平方公式法的直接应用
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
【解析】选D.根据完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2可得,选项A,B,C都不能用完全平方公式进行因式分解,D项可以,即x2+4x+4=(x+2)2.2.下列多项式能因式分解的是( )
A.x2+y2 B.-x2-y2
C.-x2+2xy-y2 D.x2-xy+y2
【解析】选C.A选项和B选项中的多项式都是两项,既没有公因式,也不符合用平方差公式分解的多项式的特点;D选项中的多项式是三项,既没有公因式,也不符合完全平方式的多项式的特点;C选项-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.3.因式分解(x-1)2-2(x-1)+1的结果是( )
A.(x-1)(x-2) B.x2
C.(x+1)2 D.(x-2)2
【解析】选D.因为a2-2ab+b2=(a-b)2,所以(x-1)2-2(x-1)+1
=[(x-1)-1]2=(x-2)2.4.(2013·苏州中考)因式分解:a2+2a+1= .
【解析】由因式分解的完全平方公式得:a2+2a+1=(a+1)2.
答案:(a+1)25.对下列多项式进行因式分解:
(1)a2-a+ .
(2)9-12t+4t2.
(3)m2n2-6mn+9.
(4)9(x+1)2+6(x+1)+1.【解析】(1)
(2)9-12t+4t2=32-2×3·2t+(2t)2=(3-2t)2.
(3)m2n2-6mn+9=(mn)2-2mn·3+32=(mn-3)2.
(4)9(x+1)2+6(x+1)+1
=[3(x+1)]2+2×3(x+1)·1+12
=[3(x+1)+1]2
=(3x+4)2.题组二:综合运用多种方法因式分解
1.把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y)
C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
【解析】选C.原式=y(x2-2xy+y2)=y(x-y)2.2.△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
【解析】选A.等式可变形为a2-2bc-c2+2ab=0,
(a2-c2)+(2ab-2bc)=0,(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,
(a-c)(a+c+2b)=0.因为a,b,c是△ABC的三边,
所以a+c+2b>0,所以a-c=0,
所以a=c.所以该三角形是等腰三角形.3.因式分解:2a3-8a2+8a= .
【解析】2a3-8a2+8a=2a(a2-4a+4)=2a(a-2)2.
答案:2a(a-2)24.因式分解:mn2+6mn+9m= .
【解析】mn2+6mn+9m=m(n2+6n+9)=m(n+3)2.
答案:m(n+3)25.若|m-5|+( -5)2=0,将x2-2mxy+ny2因式分解得 .
【解析】因为|m-5|+( -5)2=0,|m-5|≥0,
( -5)2≥0,所以m-5=0, -5=0,
解得m=5,n=25.
又因为x2-2mxy+ny2=x2-2×5×xy+25y2
=(x-5y)2.
答案:(x-5y)26.已知正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),利用因式分解,写出表示该正方形的边长的代数式 .
【解析】因为9x2+6xy+y2=(3x+y)2,所以正方形的边长为3x+y.
答案:3x+y7.如图所示在一个边长为a的正方形木板上,锯掉边长为b的四个小正方形,计算当a=18dm,b=6dm时剩余部分的面积.【解析】边长为a的正方形的面积是a2,边长为b的4个小正方形的面积是4b2,所以剩余部分的面积S=a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
当a=18dm,b=6dm时,S=(18+2×6)(18-2×6)=180(dm2).
答:剩余部分的面积为180dm2.【想一想错在哪？】将下列多项式因式分解1-4a(1-a).
提示:没有将多项式化简后再分解!3.3公式法（1）
学习目标：
1、会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
2、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
3、培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
重点：利用平方差公式分解因式．
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P63-64
说一说：平方差公式：（a+b）（a－b）= a2－b2．
平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
学一学：请同学们计算下列各式．
（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．
议一议：如何把和 进行因式分解
用平方差公式因式分解．
平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．
【归纳总结】
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．
选一选：下列分解因式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
填一填： （ ） （ ）
【课堂展示】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）
（1）x2－9y2； （2）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
解：（1）x2－9y2= （x+3y）（x－3y）
（2）m2（16x－y）+n2（y－16x）
=（16x－y）（m2－n2）
=（16x－y）（m+n）（m－n）．
合作探究——不议不讲
互动探究一：P63例题2
互动探究二：P64例题3
互动探究三：P64例题4
【当堂检测】：
选择题
（1）把多项式分解因式等于（ ）
A 、 B、
C、m(a-2)(m-1) D、m(a-2)(m+1)
（2）分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
2.填空题
（1）简便计算：
（2）因式分解
3.把下列多项式因式分解
（1） （2）
4.利用分解因式证明： 能被120整除。
3.3公式法（2）
学习目标：
1、 领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2、 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
3、 培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P65-66
说一说：完全平方公式：
学一学：计算下列各式：
（1）（m－4n）2； （2）（m+4n）2；
（3）（a+b）2； （4）（a－b）2．
议一议：怎样把下列多项式分解因式：
（1）m2－8mn+16n2 （2）m2+8mn+16n2；
（3）a2+2ab+b2； （4）a2－2ab+b2．
【归纳总结】完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：
a2－b2=（a+b）（a－b）； a2±ab+b2=（a±b）2．
在运用公式因式分解时，要注意：
（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
（2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；
（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解．
填一填：因式分解。
【课堂展示】P65-66例题8把因式分解
合作探究——不议不讲
互动探究一：如果x2+axy+16y2是完全平方，求a的值．
【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a的值。
互动探究二：已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．
（1）x2+y2； （2）（x－y）2
【当堂检测】：
1.填空题
（1）若，那么m=________。
（2）若
（3）已知正方形的面积是 （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 。
2.选择题
（1） 下列各式是完全平方式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2）因式分解的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3.分解因式，提公因式法和运用公式法
（1） （2）
十字相乘法
学习目标：
1. 理解十字相乘法的概念和意义。
2. 会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式。
3. 培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗。
重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式。
创设情境
1．口答计算结果：
（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)
（4） (x－2)(x－1) （5） (x＋2)(x＋3) （6）(x＋2)(x－3)
（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)
2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?
归纳： .
二．探索尝试
根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：
x2＋(2＋3)x＋2×3＝ ；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝ ；
x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝ ；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ .由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
三．例题举例
把下列多项式因式分解
（1）x2－5x－6 （2）x2－5x＋6
（3）x2＋xy－12y2 （4）x4＋5x2－6
四.练习：
（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21
（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12
（5）x2－13xy－36y2 （6）a2－ab－12b2
五.课堂小结：
对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下几点：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
六.课外延伸：
把下列多项式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
七.思考：
1.请将下列多项式因式分解：
① ②
③
2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x2 ( )x + 60 = ；
3.3 公式法（1）
教学目标
1 使学生掌握用平方差公式分解因式；
2 理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
重点、难点
重点：用平方差公式分解因式。难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。
教学过程
一 创设情境，导入新课
1 复习检查：
（1）分解因式：(1) 5x
（2）（a+b） (a-b )=___________,这是什么运算?
（3）怎样分解因式：？
=（a+b） (a-b )，是用平方差公式分解的，我们把它公式法。
这节课我们来学习用公式法分解因式。板书课题
二 合作交流，探究新知。
1 用平方差分解因式
（1）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为2x字母b改为y得到什么样的多项式？怎样把分解因式？，
（2）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为5x字母b改为得到什么样的多项式？怎样分解多项式？
（3）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项式?怎样把多项式分解因式？
（4）把公式=（a+b） (a-b )中的字母a改为x+y字母b改为x-y+1得到什么样的多项式?怎样把多项式分解因式？
2 模仿练习：
请你把公式=（a+b） (a-b )中的字母a、b任意改为数、字母、单项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式。通过这样的训练，你会多用平方差公式分解因式更加熟练，一定要重视哟！
3 平方差公式的识别
下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？
（1）， （2）， （3）
师：一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？
三 应用迁移，巩固提高
1 用平方差公式分解因式
例1分解因式。（1） ，（2）9 (3)
2 综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。
例2 把分解因式。
3 有理数范围和实数范围内分解因式。
交流：怎样把分解因式？
估计学生会有两种想法：
一是：=，
二是：=
这两种解法有什么区别？
前者结果中系数没有无理数，后者结果中出现无理数。我们把前面的因式分解叫在有理数范围内分解因式，后者叫在实数范围内分解因式。
如果没有特别说明，因式分解只在有理数范围内进行。
4 应用迁移，巩固提高
例3 某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5m,内圆半径r=24.5m,求需要的塑胶总面积。（π取3.14，结果精确到0.1）
四 课堂练习，巩固提高
五反思小结，拓展提高
用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公式，如果适合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相当于公式中的字母b。
