课件22张PPT。第5章 轴对称与旋转
5.1 轴 对 称?
5.1.1 轴对称图形 1.掌握轴对称图形的概念,能判断图形是否是轴对称图形.(重点)
2.能确定轴对称图形的对称轴.(重点、难点)轴对称图形的定义
观察下列图片:【思考】1.把以上图片对折,能发现什么特点?
提示:可以确定一条直线,沿着这条直线折叠,直线两旁的部分可以完全重合.
2.任意图形都有这样的特点吗?
提示:不是.【总结】如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两侧的部分能
够_________,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线即为这
个图形的_______.互相重合对称轴 (打“√”或“×”)
(1)大写英文字母T是一个轴对称图形.( )
(2)任意三角形都是轴对称图形.( )
(3)圆是一个轴对称图形.( )
(4)等边三角形是一个轴对称图形,它只有一条对称轴.( )
(5)正方形的对角线是它的对称轴.( )√×√××知识点 轴对称图形的识别?
【例】如图所示,判断下列图形是否为轴对称图形,若是,指出它们有几条对称轴.【解题探究】
1.判断一个图形是不是轴对称图形的关键是什么?
提示:关键是能否找到一条直线,使图形沿这条直线对折后,直线两旁的部分能完全重合.
2.以上图形是轴对称图形的有哪些?
提示:(1)(2)(6)(7)(8)(10).
3.以上轴对称图形各有几条对称轴?
提示:(2)(6)有一条,(1)(7)有两条,(10)有3条,(8)有4条.【互动探究】有无数条对称轴的轴对称图形吗?
提示:有,如:圆就有无数条对称轴.
【总结提升】轴对称图形的判断
轴对称图形是对一个图形来说的,是一种具有特殊性质的图形,一个图形是轴对称图形必须满足两个条件:
1.存在一条直线.
2.沿此直线对折,直线两旁的部分能互相重合.题组:轴对称图形的识别
1.(2013·日照中考)下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是( )
【解析】选A.把图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,只有A符合.2.(2013·台州中考)下列四个艺术字中,不是轴对称图形的是
( )
【解析】选C.沿某条直线折叠后两部分能够完全重合的图形是轴对称图形,只有选项C不符合.3.下列图案是轴对称图形的是( )
【解析】选D.因为将D图形上下或左右折叠,图形都能互相重合,所以D图是轴对称图形.4.下列图形中对轴称只有两条的是( )
A.圆 B.等边三角形
C.长方形 D.等腰梯形
【解析】选C.圆有无数条对称轴,故A选项错误;等边三角形有3条对称轴,故B选项错误;长方形有2条对称轴,故C选项正确;等腰梯形有1条对称轴,故D选项错误.5.如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为
cm2.【解析】轴对称图形对称轴两旁的部分能够完全重合,正方形
为轴对称图形,对角线是其中一条对称轴.由图形条件可以看出
阴影部分的面积为正方形面积的一半,依题意得S阴影= ×4×
4=8(cm2).
答案:86.如图,先找出下列图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴(有几条,画几条).【解析】(1)不是轴对称图形,故没有对称轴.
(2)是,它有2条对称轴.
(3)是,它有2条对称轴.
(4)是,它只有一条对称轴.
(5)是,它只有一条对称轴.
如图所示:7.如图,阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形,请用两种方法分别在下图方格内添加涂黑的两个小正方形,使它们成为轴对称图形.【解析】答案不唯一,从中任选两种均可.
如图所示:8.下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其他三个不同?请指出这个图形,并简述你的理由.
【解析】②.四个图形中,只有图②不是轴对称图形.9.两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形,它们仍旧是轴对称图形,请找出每个图形的对称轴,并说一说它们的对称轴有什么特点.
【解析】如图,它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线.【想一想错在哪？】判断下列图形,哪些是轴对称图形,并说出轴对称图形的对称轴.
(1)等腰三角形.
(2)直角三角形.
提示:没有正确理解对称轴是一条直线,顶角的平分线是一条线段.课件28张PPT。5.1.2 轴对称变换 1.理解两个图形成轴对称的概念,会判断两个图形是否成轴对称.(重点、难点)
2.掌握轴对称(或两个图形成轴对称)的性质.(重点)
3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别和联系.(难点)一、轴反射
1.把图形(a)沿着直线l翻折并将图形“复印”下来得到图形
(b),就叫做该图形关于直线l作了轴对称变换,也叫轴反射.图
形(a)叫做_____,图形(b)叫做图形(a)在这个轴反射下的___.
2.轴对称变换的性质:
轴对称变换不改变图形的_____和_____.原像形状大小像二、两个图形成轴对称的有关概念【思考】
1.以上四幅图中的两个图形有什么关系?
提示:存在一条直线,如果沿这条直线对折,两个图形会重合.
2.它们是不是轴对称图形?
提示:不是.轴对称图形对折能重合是一个图形所具有的性质,而它们对折能重合是两个图形之间的关系.【总结】如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后,能够
与另一个图形_____,那么就说这两个图形关于这条直线对称,
也称这两个图形成轴对称.这条直线叫做_______.原像与像中
能互相重合的两个点,其中一点叫做另一个点关于这条直线的
_______.重合对称轴对应点三、轴对称图形和两个图形成轴对称的性质
1.轴对称图形(或成轴对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部
分_________.
2.轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重
合的线段)_____,对应角(对折后重合的角)_____.完全重合相等相等 (打“√”或“×”)
(1)两个能完全重合的图形成轴对称. ( )
(2)两个图形成轴对称,对称轴只有一条.( )
(3)成轴对称的两个图形中相等角叫做对应角.( )
(4)成轴对称的两个图形对应角相等.( )×√×√知识点 1 判断两个图形成轴对称?
【例1】如图表示把长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况,是否存在关于某条直线成轴对称的三角形?如果存在,请分别指出来,并指出它们的对称轴及对称点.【思路点拨】先找出所有的三角形,再看能否找到一条直线,使两个三角形中的对应点关于这条直线对称,进而确定关于这条直线成轴对称图形、对称轴及对称点.
【自主解答】图中存在2对关于某条直线成轴对称的三角形,△ABD和△CDB成轴对称,△ABE和△CDE成轴对称,其中点A和点C,点B和点D是对称点,它们的对称轴都是过点E且与BD垂直的直线.【互动探究】识别图形是否成轴对称,应该注意什么?
提示:要紧扣成轴对称的三个条件:
(1)两个图形.
(2)存在一条直线.
(3)两个图形沿这条直线对折后能互相重合.【总结提升】轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系知识点 2 轴对称的性质及应用?
【例2】如图所示,△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°,AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm.
(1)线段AD与MN的关系是什么?
(2)求∠F的度数.
(3)求△ABC的周长和面积.【解题探究】1.由△ABC与△DEF关于直线MN对称,可得点A与点D具有什么关系?
提示:点A与点D关于直线MN对称.
2.如果两个图形关于某一条直线对称,那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连的线段,本题中线段AD和直线MN有什么关系?
提示:直线MN垂直平分AD.3.△ABC和△DEF能完全重合吗?
提示:成轴对称的两个图形能完全重合.
4.由以上,你能得到哪些相等的角?哪些相等的线段?
提示:相等的角有:∠A=∠D,∠B=∠E,∠F=∠C=90°.
相等的线段有:AB=DE,BC=EF,AC=DF.
5.你能求出△ABC的面积和周长吗?
提示:能.S△ABC= ×AC×BC=24cm2,△ABC的周长为:(8+10+6)cm=24cm.【总结提升】轴对称性质应用“三个关键”
1.熟记性质:要熟记轴对称图形及轴对称的性质.
2.准确找点:根据题目条件和图形特征,准确地找出图中的对称点.
3.确立对应:确定对应线段,对应角.题组一:判断两个图形成轴对称
1.如图所示的图案中,成轴对称的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个【解析】选B.根据两个图形成轴对称的概念,一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形成轴对称,可知(3)(5)中的两个图形成轴对称.2.图形中△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
【解析】选B.一个图形沿直线MN对折后与另一个图形完全重合,则这两个图形成轴对称.3.如图所示的两个“M”是关于直线l成轴对称的两个图案,则与∠1对应的角为 .
【解析】根据轴对称图形的定义,可得∠1与∠6沿着直线l对折后能够重合,因此∠1与∠6是对应角.
答案:∠64.如图,阴影图形与图形 成轴对称(填序号).
【解析】由两个图形成轴对称的概念可知,阴影图形与(1)左右成轴对称,阴影图形与(3)上下成轴对称.
答案:(1)(3)5.判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.
【解析】图(1)中左边的小狗没画后腿,两图不关于某条直线成轴对称;图(2)关于某条直线成轴对称.题组二:轴对称的性质及应用
1.如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,则∠B的度数为( )
A.50° B.30° C.100° D.90°
【解析】选C.根据轴对称的性质可得,∠B=∠B'=100°.2.(2013·凉山州中考)如图,∠3=30°,为
了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,
那么击打白球时,必须保证∠1的度数
为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【解析】选C.要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,∠2+∠3
=90°,因为∠3=30°,所以∠2=60°,所以∠1=60°.3.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均
落在对角线BD上,得折痕BE,BF,则∠EBF的大
小为( )
A.15° B.30°
C.45° D.60°
【解析】选C.根据折叠后,轴对称的性质,∠ABE=∠EBD=∠DBF
=∠FBC=22.5°,所以∠EBF=45°.4.如图,△ABC与△DEF关于直线a对称,若AB=2cm,∠C=55°,则
DE= ,∠F= .
【解析】根据成轴对称的两个图形完全重合,知DE=AB=2cm,
∠F=∠C=55°.
答案:2cm 55°5.如图,P在∠AOB内,点M,N分别是点P关于AO,
BO的对称点,且MN与AO,BO分别相交于点E,F,
若△EFP的周长为15,求MN的长.
【解析】因为点M,N分别是点P关于AO,BO
的对称点,
所以ME=PE,NF=PF,
所以PE+PF+EF=ME+NF+EF=MN.
因为PE+PF+EF=15,
所以MN=15.【想一想错在哪？】如图,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE相交,点F在直线MN上,指出图中相等的线段和角.
提示:没有找全对称元素,出现相等的角有遗漏.课题
5.1.1轴对称图形
教学
目标
1联系生活中的具体事物，通过观察和动手操作，初步体会生活中的对称现象，认识轴对称图形的基本特征，会识别并能做出一些简单的轴对称图形。
2.在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体图形的对称美，激发学生对数学学习的积极情感。
重点
难点
理解轴对称图形的基本特征
教具
准备
剪刀、纸（含平行四边形、字母N S）、教学挂图、直尺
教学
方法
手段
观察、比较、讨论、动手操作
教学
过程
一.新课
1.教师取一个门框上固定门的铰连让学生观察是不是左右对称？
2.出示教学挂图：天安门、飞机、奖杯的实物图片
将实物图片进一步抽象为平面图形，对折以后问学生发现了什么？
生：对折后两边能完全重合。
师；对折后能完全重合的图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
教师先示范，让学生认识天安门城楼图的对称轴，然后让学生再找出飞机图、奖杯图的对称轴各在哪里。
3.练习：（出示小黑板）
(1)P57“试一试”
判断哪几个图形是轴对称图形？试着画出对称轴。
估计学生会将平行四边形看作是轴对称图形，可让两个学生到讲台前用平行四边形纸对折一下，看对折以后两部分是否完全重合。由此得出结论；平行四边形不是轴对称图形。
(2)用剪刀和纸剪一个轴对称图形。
教学
过程
二.练习
1.出示挂图：（p58“想想做做”第1题）
判断哪些图形是轴对称图形？
生：竖琴图、轿车图、五角星图、铁锚图、科技标志图、中国农业银行标志图
师：钥匙图和紫荆花图为什么不是？
生：因为对折以后两部分没有完全重合。
2.看书p58“想想做做”第2题
判断哪些英文字母是轴对称图形？
生：A、C、T、M、X（有可能有的学生没有选C，还有可能有的学生选N、S、Z）
师：没有选C的同学除了竖着对折，看看横着、斜着对折你有没有去试一试？认为N、S、Z是轴对称图形的我请两个学生到讲台前用表示字母N、S的纸对折一下，看看对折以后两部分有没有完全重合？
学生试完以后会发现两部分没有完全重合。
教师再将字母N横过来就变成了字母Z，同样道理，两部分也不会完全重合。
3.连一连
p59“想想做做”第4题
上面的图案是从下面的哪张纸上剪下来的？
学生思考、尝试，指名说一下连的方法。
生：先找出上面四个轴对称图形的对称轴，然后看左边一半和下面哪张纸的空白部分重合，就和哪张纸连。
4. p59“想想做做”第5题
找出哪些国家的国旗是轴对称图形
生：意大利、俄罗斯、加拿大、瑞士、丹麦的国旗是轴对称图形，
中国、美国、新加坡、巴西的国旗不是轴对称图形。
师：俄罗斯的国旗图案只能竖着对折，丹麦的国旗图案只能横着对折，而巴西的国旗看起来是轴对称图形，但中间的圆里面却不对称。
5.画出轴对称图形的另一半
p58“想想做做”第3题
提示：（先找出轴对称图形的另一半的几个顶点，以对称轴为中线。）
学生集体思考、练习，然后教师指名让学生到前面来，在事先画在小黑板上
的方格图中画出轴对称图形的另一半。
6. 认识交通标志，并找出其中的轴对称图形
p60“想想做做”第6题
师：第一排是黄色的，表示警告
第一排是红色的，表示禁止
第一排是蓝色的，表示指示
教学
过程
生：第一排的1、2、3，第二排的1、4和第三排的1、4，这几个交通标志是轴对称图形。
三.全课总结.
5．1. 2 轴对称变换
教学目标
1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．
2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
教学重点
1．轴对称变换的定义．
2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点
1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
2．利用轴对称进行一些图案设计．
教学过程
Ⅰ．设置情境，引入新课
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．
Ⅱ．导入新课
由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．
对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方
向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．
下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．
Ⅲ．随堂练习
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
答案：（1）轴对称图形．
（2）这个图形至少有3条对称轴．
（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．
（二）回顾本节课内容，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．
Ⅴ．动手并思考
（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．
（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？
（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？
答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．
（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）中的图案一定有2条对称轴．
（3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，因此得到的图案一定有4条对称轴．
（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，剪出的图案至少有4条对称轴．
（二）自己设计并制作一个花边．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
Ⅵ．活动与探究
如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．
过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．
结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图．
“十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．
板书设计
5.1轴对称图形
学习目标：
弄清楚轴对称图形的概念；
能找出轴对称图形的所有的对称轴；
重点：掌握轴对称图形的概念
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P113至P114的内容，解决下面的问题：
说一说：
1.下面那些图形是不是轴对称图形？
2.下面那些图形是不是轴对称图形？是就找出它的对称轴.
议一议：
1. 中国是一个文明古国，下面的汉字饱含了中国人的美好祝愿，其中是轴对称图形的有（ ）个
喜 美 吉 善 富 贵
A 3 B 4 C 5 D 6
【课堂展示】
合作探究——不议不讲
1.请你画出下列图形的所有对称轴;
2.合作完成p113-p114中的说一说和动脑筋部分;
3. 在26个英文字母中，有几个是轴对称图形？
4.在0 ，1，2，3，4，5 ，6 ，7 ，8 ，9 这几个数字中，哪几个是轴对称图形？
【归纳总结】
1常见的基本几何图形是对称图形的有
2.说一说生活中一些轴对称图形的实例
合作探究 二
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60o，则∠C= .
2.如图:已知在正方形网格中,每方格都是边长为1的正方形,A B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且△ABC为等腰三角形,则点C的个数有几个?
5.1.2 轴对称变换
学习目标：
掌握轴对称变换相关的概念
能弄清轴对称与轴对称图形的区别和联系
能画出某一个图形在轴反射下的像
重点：轴对称变换下的两个图形的性质的应用
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P115至P117的内容，解决下面的问题：
说一说：
就叫作该图形关于直线l作了轴对称变换,也叫轴反射. 叫对称轴.
就叫轴对称
称对应点.
议一议：
轴对称变换具有下列几个性质:
.
.
【归纳总结】
怎样画某个图形在轴反射下的像
(1)找点
(2)过找出的点作对称轴的垂线
(3)作出每一个对应点.
(4)连线
说一说：
实际生活中一些成轴对称的实例。
画一画：
如图，已知四边形ABCD和直线ｌ,作出与四边形ABCD关于直线ｌ对称的图形.
合作探究——不议不讲
互动探究一：
1.如图，△ABC可看做是△DEC通过 变换而得.
2.把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,
如图所示:则所得的图形是( )
互动探究二：
1.如图，三角形ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM=3cm，三角形ABC的周长是22cm，则AC= , AN= ,
三角形ABN的周长是
2.作图计算题．
如图，在正方形网格上有一个△DEF
（三个顶点均在格点上）
（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形;
（2）若网格上的最小正方形的边长为1，
则△DEF的面积为______________。
