湘教版九年级上册数学教案
反比例函数的图像与性质（1）
教学目标
1．体会并了解反比例函数的图象的意义
2．能描点画出反比例函数的图象
3．结合图象分析并掌握当k＞0时反比例函数的性质
重点难点
重点：反比例函数的图像及当k＞0时反比例函数的性质
难点：绘制反比例函数的图像
教学设计
预习导学
自主预习教材P5-7，并思考下列问题：
1．画反比例函数图像的步骤是 、 、 .
2．反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是 ，当K＞0时，双曲线的两支分别位于第 、 象限，它们与 轴、 轴都不相交，在每个象限内，y随x的增大而 .
3．函数的图象在第 象限,在每一象限内，y 随x 的增大而 .
二、探究展示
（一）合作探究
如何画反比例函数的图象？
由组长带领本组组员共同探讨完成。
由于反比例函数y=的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：
可以先估计 例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；
(2)方法与步骤——利用描点作图；
列表：取自变量x的哪些值? ——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
X
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1.5
-1
1
1.5
2
3
4
5
6
…
…
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-4
-6
6
4
3
2
1.5
1.2
1
…
描点：依据什么(数据、方法)找点?
在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点。
连线：怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。
观察上图，图像位于哪些象限？图像与坐标轴相交吗？在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？（点名回答）
设计意图：学习正确的作图过程，在填表过程中感受y随x的变化规律，为基于图象探究函数性质打下基础.
（二）展示提升
1．完成P6做一做，画出反比例函数的图像
设计意图：提高学生利用描点法画反比例函数的基本技能，加深学生对反比例函数图象的认识，为下一步归纳反比例函数的性质做准备.
2．观察画出的，的图像，思考下列问题：
（1）每个函数的图像分别位于哪些象限？
（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？
先由小组讨论交流，教师准确引导，及时点拨和追问，总结出规律：
一般的，当K〉0时，反比例函数y=的图像由分别在第一、第三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小。
设计意图：让学生独立思考、讨论交流，经历从特殊到一般的归纳过程，积累基本活动经验.
三.知识梳理
启发学生谈谈本节课的收获.
1.用描点法作反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线。
2.图像性质：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当K〉0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，y随x的增大而减小。
四.当堂检测
1．画出反比例函数的图像
2．如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象 （ ）
A B C D
3．函数的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
?4．在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________.若关于x,y的函数图象位于第一、三象限，则k的取值范围是_______________.
五.教学反思
本节课通过用描点法画反比例函数的图像让学生理解当k>0时反比例函数y=的图像性质，更直观、有效运用各种启发、激励的语言，以及小组合作交流、竞争的方式，更能激起学生的求知的欲望.学生通过展示锻炼了口头表达能力，同时培养了学生分析问题和解决问题的能力,增强了小组的凝聚力.
湘教版九年级上册数学教案
1.2反比例函数的图象与性质（2）
教学目标
能画出反比例函数y＝(k为常数，k＜0)的图象.
根据反比例函数y＝(k为常数，k＜0)的图象探索并理解其性质.
在自主探究反比例函数的性质的过程中，让学生初步感知反比例函数的图象的对称性.
重点难点
重点：反比例函数y＝(k为常数，k＜0)的图象的画法及其性质.
难点：由反比例函数y＝(k为常数，k＜0)的图象探究出其性质.
教学设计
一．预习导学
自主预习教材P7-9完成下列各题：
1.反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是由两支曲线围成的，这两支曲线称为 . 2.当K﹤0时，反比例函数y＝的图象与 的图象关于X轴对称.
3. 当K﹤0时，反比例函数y＝的图象由分别在第 象限内的两支曲线组成，它们与X周、y轴都 ，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而 .
二．探究展示
（一）合作探究
探究1：如何画反比例函数的图象？的图象与的图象有什么关系？
由组长带领组员共同探讨画反比例函数的图象的方法. 引导学生采用多种方式进行自主探索活动：
1.可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象.
2.可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象.
引导学生总结归纳：
1.当K﹤0时，反比例函数y＝的图象与的图象关于x轴对称，
2.当K﹤0时，反比例函数y＝的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
3.可用描点法画反比例函数y＝（K﹤0）的图象.
设计意图：巩固了反比例函数图象的基本作法，也为后面观察分析归纳出反比例函数图象的性质增加感性认识.
探究2：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象的对称性.
先让学生观察函数与的图象，讨论交流它们各自具有什么对称性,然后总结得出：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是中心对称图形，其对称中心为坐标原点，其图象还是轴对称图形，对称轴有两条，分别是一、三象限角平分线（即直线y=x）和二、四象限角平分线（即直线y=-x）.
探究3：根据我们已经学过的反比例函数的性质填写下表，并说说k＞0和k＜0时图象性质的区别.
反比例函数
k的符号
k >0
k<0
图象
（双曲线）
x、y
取值范围
x的取值范围x≠0
y的取值范围y≠0
x的取值范围x ≠0
y的取值范围y ≠0
位置
第一,三象限内
第二,四象限内
增减性
每一象限内,y随x的增大而减小
每一象限内,y随x的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.
对称性
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.
设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，培养学生的抽象概括能力、渗透分类讨论思想和类比思想.
（二）展示提升
1.画出反比例函数的图象
2.反比例函数的图象在第 、 象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而 ,图象关于 成中心对称，关于 成轴对称.
3.若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的取值范围.
设计意图:通过练习及时去巩固学生对反比例函数图象的画法及其性质的理解及是否能够正确的运用其性质解决简单问题.
三．知识梳理
本节课有什么收获？
用描点法画反比例函数y＝（K＜0）的图象步骤：列表，描点，连线.
反比例函数y＝的图象性质：图象与X轴、y轴都不相交，当K＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当K﹤0时，图象在第二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
3.反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象关于原点成中心对称，当K﹥0时，图象关于直线y=-x成轴对称，当k﹤0时，图象关于直线y=x成轴对称.
四．当堂检测
1.画出反比例函数的图象.
2.在反比例函数的图象的每一支曲线上，y随x的增大而增大，则k的值为 .
3．已知点（2，y1），（3，y2）在 函数的图象上，试比较y1,y2的大小.
五．教学反思
在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念.在学生已有的基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，重视讨论、交流和合作，重视探究问题习惯的培养和养成.同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则.
湘教版九年级上册数学教案
反比例函数的图像与性质（3）
教学目标
1.能用待定系数法求反比例函数的解析式．
2．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题
重点难点
重点：能用待定系数法求反比例函数的解析式．
难点：根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质.
教学设计
一．预习导学
自主学习教材P10-11，并思考下列问题：
1.认真完成P10的动脑筋，思考怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？
2.认真阅读例题2，书上是运用反比例函数的什么知识解决问题的？
3.例题3中，用待定系数法时为什么要标明、？
二．探究展示
（一）合作探究
如何解答教材P10的动脑筋？
由组长带领组员讨论交流，教师适当引导，然后总结得出：由于反比例函数y=中只有一个待定系数K，因此只需要图像上一点的坐标，把其值代入得到一个关于K的一元一次方程，求出K值即可确定函数关系式.知道反比例函数的表达式就可以知道某一点是否在这个函数图象上.由K值得正负就可以知道函数图象分布的象限及函数值随自变量值的变化情况.
（二）展示提升
1.反比例函数y=的图象如图所示，根据图象，回答下列问题：
（1）K的取值范围是K＞0还是K＜0？说明理由
（2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.
设计意图：读图能力训练，加深学生对反比例函数图象性质的理解.
2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3,4），试求出它们让你的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
提示：先设两个函数的表达式，且两个函数表示式中的比例系数应用、区分.
学生分组讨论交流，交流后小组代表展示，教师进行补充.
设计意图：揭示知识间的内在联系，有助于构建较完整的知识网络.
三.知识梳理
启发学生谈谈本节课的收获.
1. 用待定系数法求反比例函数的解析式．
2. 用待定系数法求反比例函数的解析式步骤：
（1）设出反比例函数的解析式y=（k≠0）
（2）把已知条件（一组自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于k的一元一次方程
（3）解这个方程，求出待定系数k
（4）将k的值代入得出反比例函数的解析式.
四.当堂检测
1.已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过（ ）
A、(－,－) B、 (,－) C、(－，) D、（0，0）
2.已知反比例函数y=的图象经过点M（-2,2）
（1）求这个函数的表达式
（2）判断点A（-4,1），B（1,4）是否在这个函数图象上
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大而如何变化？
3.如图， 一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
五.教学反思
本节课通过用待定系数法求反比例函数的解析式让学生理解根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质，采取小组合作交流、竞争的方式，更能激起学生的求知的欲望.学生通过展示锻炼了口头表达能力，同时培养了学生分析问题和解决问题的能力,增强了小组的凝聚力.
课件36张PPT。反比例函数的 图象与性质1.2什么是反比例函数？k是反比例系数.研究一个函数要从函数的图象入手，
总结函数的性质.
反比例函数的图象是什么形状的？
它的图象又有什么规律和性质？
带着这些疑问我们开始下面的学习.
想想我们为什么要取k=6？列表比一比列表比一比你的取值和老师的取值一样吗？取值的时候应该注意什么？比一比，你画对了吗？下面的图象都出现了什么错误？观察画出的
的图象，思考下列问题：（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？可以发现这两个函数的图象
均由两支曲线组成，且分别
位于第一、三象限.对于y 轴右边的点， 当自变量x 逐渐增大时，函数值 y 反而减小； 对于y 轴左边的点也有这一性质.（2）在每一象限内，函数
值 y 随自变量 x 的变化如何
变化？ 一般地， 当k > 0 时， 反比例函数
的图象由分别在第一、三象限内的两支曲
线组成， 它们与 x 轴、y 轴都不相交，
在每个象限内， 函数值 y 随自变量 x 的
增大而减小.结论我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，
以 k = -6 为例，如何画反比例函数
的图象？
的图象与 的图象有什么关系？动脑筋法一：列表描点作图法二：利用对称性当x取任一非零实数a时，
的函数值为 ，而 的函
数值为 ， 从而都有点P（a, ）
与点Q （a, ）关于x 轴对称，
因此 的图象与 的图象
关于x轴对称. 于是只要把
的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制” 出来， 就得到 的图象.从图中看出： 的图象由分别在第二、
四象限的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴
都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变
量x 的增大而增大.类似地，当k＜0时， 反比例函数
的图象与 的图象关于x 轴对称．
从而当 k＜0时， 反比例函数
的图象由分别在第二、四象限内的两支
曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，
在每个象限内， 函数值y随自变量x的
增大而增大.反比例函数 （k为常数， k≠0）
的图象是由两支曲线组成的，
这两支曲线称为双曲线（hyperbola）.反比例函数 y = — （k≠0）有下列性质：(1)反比例函数的图象 是由两支曲线组成的.
一三(3) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第__ _、___象限，在每个象限内 y 随 x 值的增大而 .二四(4)反比例函数图象与坐标轴不相交.(5)反比例函数y= — (k≠0) 的图象关于直角坐标系的原点 成中心对称.
kxkx减小增大(2) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第___、___象限， 在每个象限内 y 随 x 值的增大而 .
例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；
（2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个函数的图象上；
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？例1. 已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；解： 因为反比例函数 的图象经过点P（2，4），
即点P 的坐标满足这一函数表达式， 因而
4 = ，解得k = 8.
因此， 这个反比例函数的表达式为 .例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个函数的图象上；解：把点A， B 的坐标分别代入 ，
可知点A 的坐标满足函数表达式， 点B 的坐标
不满足函数表达式， 所以点A 在这个函数的图
象上， 点B 不在这个函数的图象上.例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？解：因为k > 0， 所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而减小.例2 .如图是某反比例函数 的图象.
根据图象， 回答下列问题：
（1） k 的取值范围是k > 0还是k < 0？
说明理由；
（2） 如果点A（-3， y1）， B（-2， y2）
是该函数图象上的两点， 试比较
y1， y2的大小.例2 .如图是某反比例函数 的图象.
根据图象，回答下列问题：解（1） 由图可知， 反比例函数
的图象的两支曲线分别位于第
一、三象限内， 在每个象限内，
函数值y随自变量x的增大而减小，因此， k ＞ 0.
（2） 因为点A(-3， y1），B（-2， y2）是该图象上的两点，且-3 < 0，-2 < 0， 所以点A，B 都位于第三象限. 又因为-3 ＜ -2， 由反比例函数图象的性质可知：y1 ＞ y2 . 从反比例函数的解析式中再分析1.为什么反比例函数
当k＞0时，图象经过一、三象限？
当k＜0时，图象经过二、四象限？由解析式可知：
当k＞0时，x和 y同号，
因此图象经过一三象限.
当k＜0时，x和 y异号，
因此图象经过二四象限. 从反比例函数的解析式中再分析2.为什么反比例函数
的图象不会与坐标轴相交？由解析式可知：
x不可以取数值 0，
因此图象与y轴无交点；
因 k≠0，所以 y≠0，
因此图像与 x轴无交点. 从反比例函数的解析式中再分析3.为什么反比例函数
的图象关于原点对称？由解析式可知：
坐标点（x，y）和
坐标点（y，x）都
在函数的图象上，
因此它关于原点对称. 从反比例函数的解析式中再分析4. 反比例函数
的图象有何位置关系？由解析式可知：
两个函数当x一定时，
y互为相反数，因此
它们关于x轴对称.
又有当 y一定时，x互
为相反数，因此它们
也关于 y 轴对称.一三象限二四象限在每个象限内，
y随x的增大而
减小在每个象限内，
y随x的增大而
增大习题一：简单图像性质1.反比例函数 中比例系数k为 ，
它的图象经过 象限，当x<0时，
y随x的增大而 .
2.反比例函数 的图象经过
象限，在各个象限内y随x的增大而
二四增大一三减小
3.若反比例函数 的图象在二四象
限，那么 ，在双曲线每一支上
y随x的增大而 .
增大4.反比例函数 的图象，当x<0时，
y随x的增大而减小，则m ，图象
经过第 象限.
<3一三
5.已知函数
①若它是反比例函数，且在每一支上y随
x的增大而增大，则k .
②若它是正比例函数，且y随x的增大而
增大，则k .=-2=4习题二 增减性 已知 上两点 ，若
，则 ，若
则 .
练：已知 上两点 ，
若 ，则 ，
若 ，则 .
＞＜＜＞小结：1. 请问反比例函数的图象和性质是什么？2. 在反比例函数的图象和性质的研究中，
我们用到了哪些方法？已知反比例函数 的图象经过点(2，-1)，
下列说法正确的是 （ ）
A.点(-4，2)在它的图象上
B.它的图象分布在一、三象限
C.当x>0时，y随x的增大而增大
D.当x<0时，y随x的增大而减小C(2010·南宁)结 束单位：北京市第二十五中学
姓名：许雯
