湘教版九年级上册数学教案
一元二次方程
教学目标
在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.
了解一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.
经历由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想.
重点难点
重点：一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式.
难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型.
教学设计
预习导学
学生通过自主预习教材P26—27完成下列问题：
1.已知方程x（7-x）=8，它 一元一次方程.（填“是”或“不是”）
2.如果一个方程通过整理可以使右边为 ，而左边是只含有 个未知数的 次多项式，这样的方程叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项为 ，
常数项为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 .
学生课前完成，教师检查，学生通过预习初步感知一元二次方程的相关概念和一般形式.
二．探究展示
（一） 合作探究
1. 如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm，现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中?π取3）
引导学生设挖去的圆的半径为xm，
找等量关系：矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×.
列出方程：200×150-3x2=200×150×. ①
2.据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
引导学生思考：
等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×（1+年平均增长量）2
列出方程：75（1+X）2=108 ②
3.能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
①化简，整理得x2-2500=0 ③
②化简，整理得25x2+50x-11=0? ④
观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）
其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
4.让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项.
设计意图：首先呈现两个实际问题，通过寻找等量，列出方程，然后再引导学生观察列出的两个方程的特征，引出一元二次方程的形式，进而抽象出一元二次方程的概念.
（二）展示提升
1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）0.01t2=2t （2）5x（x+1）+7=5x2-4
（3）3x（1-x）+10=2（x+2） （4）（9y-1）（2y+3）=18y2+1
注意：要确定一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先将方程化为一般形式.
2.某超市1月份的营业额是36万元，3月份的营业额是49万元，设每月营业额的平均增长率为x，则平均增长率为x应满足的方程为 .
3.已知一个数x与比它大2的数的积等于35，请根据题意，列出关于x的方程，这个方程是一元二次方程吗？
设计意图：通过习题展示，让学生对本节知识进行及时巩固.
三．知识梳理
1.一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，整式方程.
2．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系
数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的.
3．在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的
必要性和重要性.
四．当堂检测
1.下列方程是一元二次方程的是 （只填序号）
（1）x2=-1 （2）x2+xy+1=0 (3)ax2+bx+c=0
(4)21x2+3x-1=0 (5)()2+x-1=0 (6)(x+1)(x-1)x=x2+1
2.把一元二次方程（3x-2）(x+1)=8x-3化为一般形式是 其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
3.将一根长为64cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和为160cm2，，且其中一个正方形的边长为xcm，请根据题意列出关于x的方程.
4．已知关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0当k为何值时，此方程是一元二次方程，并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
五．教学反思
本节课从学生比较熟悉的实际问题入手，通过对所列方程的观察，并与一元一次方程类比，自然的导出一元二次方程的意义及相关的一些概念，既渗透了类比的数学思想，有加强了新旧知间的联系，有助于学生对新知识的理解与接受，降低了知识点的难度，减轻了学生的学习负担.
课件13张PPT。第2章 一元二次方程 第2章 一元二次方程2.1（1） 如图2-1 所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 . 求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系.问题（1）涉及的等量关系分别是：
矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× .由于圆的半径为x cｍ， 则它的面积为3x2 cｍ2．
根据等量关系， 可以列出方程化简， 整理得x2 - 2500 ＝ ０．①问题（2）涉及的等量关系分别是：
两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量× (1 +年平均增长率)2.化简， 整理得（2） 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系， 可以列出方程75 (1 + x )2 = 108.25x2 + 50x - 11 ＝ 0．②方程①②中有几个未知数？ 它们的左边是x的几次多项式？x2 - 2500 =０①25x2 + 50x – 11=0．② 回忆一元一次方程的概念，以上的方程①②是
一元一次方程么？若不是那么它们又是什么方程呢？ 由方程①和②受到启发， 如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是
ax 2＋ bx＋ c＝ ０ （a ，b，c 是已知数， a ≠０），其中a， b， c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.例 下列方程是否为一元二次方程？ 若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 根据一元二次方程的概念，以上的方程都需要进行整理，使右边为0，再根据左边的式子进行判断.（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)去括号， 得3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.移项， 合并同类项， 得- 3x2 + x + 6 = 0，这是一元二次方程， 其中二次项系数是-3， 一次项系数是1， 常数项是6.思考：可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？去括号， 得移项， 合并同类项， 得这是一元一次方程， 不是一元二次方程.（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.5x + 11 = 0，请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来：2x2+ 5x = x2- 3(x + 1)2- 1 = x2+ 43x + 5 = 2x - 1一元一次方程一元二次方程分式方程小结：1.回顾一元二次方程 概念的学习过程，我们更深入的理解了何为“元”、“次”。
2.一元二次方程的概念中重点强调了哪些内容？结 束单位：北京171中
姓名：王芳
