湘教版九年级上册数学教案
2.2.1 配方法（1）
教学目标
知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
掌握用直接开平方法对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)形式的一元二次方程进行求解.
引导学生体会解一元二次方程中的转化与降次思想.
重点难点
重点：用直接开平方法对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)形式的一元二次方程进行求解.
难点：体会解一元二次方程中的转化与降次思想.
教学设计
预习导学
学生通过自主预习教材P30—31完成下列问题：
1.若x2=a；则x叫a的 ，x= ；若x2=4，则x= ；若x2=2，则x= .?
2.方程（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)的根为 .
3.根据平方根的意义来解一元二次方程的方法叫做 ，其实质是 ，将一个一元二次方程转化为 个一元一次方程.
二．探究展示
（一） 合作探究
1.如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①：x2-2500=0呢？
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程??
引导学生把方程①写成x2=2500
这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
X= 或x=
因此原方程的解是：x1=50，x2=-50
对于实际问题中的方程①而言，x2=-50不合题意，应当舍去.
注意：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.
2.课本P31动脑筋：如何解方程（1+x）2=81
先学生讨论交流：当二次项的底数是一个多项式时怎么用直接开平方法解答？
教师引导：把1+x看成一个整体.
由（1+x）2=81得1+x= 或1+x=，即1+x=9或1+x=-9
解得x1=9，x2=-9
引导学生归纳总结：
解一元二次方程的基本思路是：通过降次，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)形式的一元二次方程进行可以用直接开平方法求解,一定要注意此时方程有两个解.
设计意图：让学生经历用直接开平方法解一元二次方程的过程，使学生对一元二次方程的解有全面了解.
（二）展示提升
1.解方程.
（1）4x2-25=0 （2）(2x+1)2=2
（3）(x+3)2-36=0 （4）x2-6x+9=5
小组讨论交流，然后小组代表在全班展示交流.
设计意图：通过习题演练、展示，加深学生对用直接开平方法解一元二次方程的理解，让学生通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识.
三．知识梳理
1. 解一元二次方程的基本思路是：通过降次将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
2．对形如x2=a（a≥0），（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)形式的一元二次方程进行可以用直接开平方法求解,一定要注意此时方程有两个解.
四．当堂检测
1. 解方程.
（1）9x2-49=0 （2）9(1-2x)2-16=0
(3)2(2x-1)2-4=0 (4)25x2-10x+1=9
2.一个正方形面积为7m2，宽是长的一半，求长和宽各是多少.
五．教学反思
在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念.在学生已有的知识基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展.重视讨论、交流和合作重视探究问题习惯的培养.
湘教版九年级上册数学教案
2.2.1 配方法（2）
教学目标
通过实例让学生理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.
理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程.
教学设计
预习导学
学生自主预习教材P32—33完成下列问题：
1.a2±2ab+b2=? .?
2.在下列各题中，填上适当的数，使等式成立：
(1) x2+6x =(x+ )2
(2) x2-6x+ =(x- )2
(3) x2+6x+5= x2+6x+ - +5=(x+ )2-
3.解方程(x+2)2-16=0.
设计意图：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，通过几个题，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备.
二．探究展示
（一） 合作探究
解方程：x2+4x=12
分析：如果能够把方程x2+4x=12写成（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)的形式，那么就可以利用上节课讲的直接开平方法，根据平方根的意义来求解.那么怎样把方程x2+4x=12写成（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)的形式呢？
小组讨论交流，然后总结得出：x2+4x=12是二次项系数为1的方程，在方程左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，再经过整理就可以使方程的一边配成完全平方形式，即（ax+n）2=d(a,n,d为常数，d≥0)的形式，最后直接开平方，就可以求出该方程的解.让学生进一步体会化归的思想.
一般地，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.
教师总结：配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
（二）展示提升
1.填空
（1）x2+4x+1=x2+4x+ - +1=(x+ )2-
(2) x2+3x-4= x2+3x+ - -4=(x+ )2-
解方程.
（1）x2+10x+9=0 （2）x2-12x-13=0
（3）x2+8x-2=0 （4）x2-5x-6=0
设计意图：通过展示，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成(x+m)2=n（n≥0）的形式.
三．知识梳理
1.将二次项系数为1的方程配方的基本步骤是：首先在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；然后将配方后的一元二次方程用直接开平方法来解.
2. 配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
四．当堂检测
1. 若方程x2+kx+64=0的左边是完全平方式，则k=
2.配方：x2-8x-9= x2-8x+ - -9=(x- )2-
3.解方程.
（1）x2-2x-1=0 （2）(x-2)(x+3) =6
4.不解方程，只通过配方判断下列方程有无实数根.
(1)?x2-6x+10=0 (2)?x2+x+?=0
(3)?x2-x-1=0
五．教学反思
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得教师可以更好地指导今后的教学.
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2.2.1 配方法（3）
教学目标 1.通过实例让学生理解配方法，知道用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤.
2.体会一元二次方程解法中的转化与降次的思想. 重点难点 重点：用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程． 难点：将一元二次方程转化为二次项系数为1的一般形式. 教学设计 一.预习导学
学生通过自主预习P34-P35完成下列各题. 1.用配方法解方程x2+2x-3=0.
2.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤是什么?
3.用配方法解方程-x2+4x-1=0.
设计意图： 通过观察、对比，找出一元二次方程- x2+4x-1=0与x2+2x-3=0的不同之处，初步感知二次项系数不为1的一元二次方程的解法.关键是利用等式的基本性质将二次项的系数转化为1，让学生体会一元二次方程解法中的转化思想.
二.探究展示
?(一)合作探究
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋”中的方程②： 25x2+50x-11=0呢?
分析：在方程两边同除以25，将二次项系数化为1，得
x2+2x-=0.
配方，得 （x+1)2=
由此得 x+1=1.2或x+1=-1.2
解得 x1=0.2 , x2=-2.2 (不符合题意，舍去）
由组长带领组员讨论解方程25x2+50x-11=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可根据等式的性质,将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来求解,让学生进一步体会化归的思想.
(二)展示提升
1.用配方法解下列方程：
(1)4x2-12x-1=0； (2) -x2+4x-3=0；
(3) 4x2-x=9； (4) 3x2+2x-3=0；
设计意图： 可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神.老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.
2.议一议：解方程-2x2+4x-8=0
学生先尝试着解方程，然后再交流，从中得出结论与大家分享.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
1. 归纳用配方法解系数不为1的一元二次方程的基本步骤：首先将方程转化为二次项系数为1的一般形式；然后加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用直接开平方法来解.
2.配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到. ? 3.配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少. 四.当堂检测
1.用配方法解一元二次方程2x2+5x-6=0的步骤中第一步是 .
2.配方：2x2-3x+ =2(x- ) 2.
3.用配方法解方程:
(1)2x2-3x=1； (2) -x2+6x-12=0；
4.不解方程，只通过配方判定下列方程有无实数根. (1) 2x2-5x=1； ?????????? (2) -x2-x-4=0；
五.教学反思
本节课通过实例让学生理解配方法，直观、有效.运用各种启发、激励的语言，以及小组合作交流、竞争的方式，更能激起学生的求知欲望.学生通过展示锻炼了口头表达能力，同时增强了小组的凝聚力.
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2.2.2公式法
教学目标
1.会用公式法求解一元二次方程.
2.经历一元二次方程求根公式的推导过程，初步培养学生的逻辑推理能力和运算能力. 重点难点 重点：用公式法求解一元二次方程． 难点：求根公式的推导.
教学设计 一.预习导学
学生通过自主预习教材P35-P37完成下列各题. 1.用配方法解下列方程 ：
（1）x2-6x-7=0； （2） 2x2+5x=6；
2. 用配方法解一元二次方程的步骤是怎样的? （1）化二次项系数为1； （2）移项； （3）配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无实数解．
设计意图：复习用配方法解一元二次方程以及总结求解步骤，既巩固已学知识,又为接下来学习公式法作铺垫.
二.探究展示
?(一)合作探究
运用配方法解一元二次方程时，我们对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程
ax2 +bx+c=0（a≠0）,
使用配方法，求出这个方程的根呢？
分析：方程两边同除以a， 得
x2+ + =0.
把方程的左边配方，得 x2++ - =0
因此 （x + ）2= .
当b2—4ac≥0时，根据平方根的意义，解得x1= ,x2= .
于是，一元二次程ax2 +bx+c=0（a≠0）在b2—4ac≥0的条件下,它的根为：
X= (b2—4ac≥0).
设计意图：师生共同完成，这样有利于减轻学生的思想负担，便于学生将主要精力用于公式的推导过程中.
归纳：由上可知，一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）在利用求根公式解一元二次方程时，应先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），当b2—4ac≥0时，将a、b、c代入式子就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． (二)展示提升
(首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法).
1.用公式法解下列方程：
(1)x2-x-2=0； (2)x2-2x=1；
(3)4x2-3x-1= x-2.
设计意图:通过学生上台展示,进一步熟练公式法的解题步骤,规范学生的解题格式和语言表述.
2.用公式法解方程：9x2+12x+8=0.
归纳：通过以上两组题的训练，可发现，当b2—4ac﹥0时，方程有两个不相等的实数根，当b2—4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2—4ac﹤0时，方程无实数根，这为后来学习一元二次方程根的判别式打下基础.
三.知识梳理
以“本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
1.明白一元二次方程求根公式的推导，熟记求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2—4ac≥0.
2.熟记公式法解一元二次方程的基本步骤.
3.求根公式只适用于一元二次方程,是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式.
四.当堂检测
1.用求根公式解一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的步骤是：（1） ；（2） ；（3） .
2.方程（x+2）(x-3)=1化为一般形式为 ，其中a= ,b= ,c= ,b2—4ac= ,用求根公式解得x1= ，x2= .
3.用公式法解下列方程：
(1)x2-6x+1=0； (2) 2t2-t=6；
(3)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).
五.教学反思
本节课比较注重解题步骤和格式的规范，因为求根公式本身较复杂，在套用公式时，首先确定a,b,c的值，b2—4ac的取值范围判断方程是否有实数根，最后套公式.有些学生怕麻烦，求解过程中，省去第一、二步，直接套公式，这样往往出现a,b,c的符号有错，根的情况判断不准确. 在今后的教学中，还要进一步加强对新知识学习过程中格式和步骤的要求，并且对习惯不好的同学要进行耐心细致的讲解，让他们认识到这样做的弊端，掌握正确的学习方法，提高正确率.
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2.2.3 因式分解法
教学目标
1.会用因式分解法求解一元二次方程.
2.进一步体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.
重点难点
重点：用因式分解法求解一无二次方程.
难点：如何对一元二次方程中的含未知数的多项式进行因式分解.
教学设计
一.预习导学
学生自主预习教材P37-P39，完成下列各题.
1.将下列各式分解因式
（1）x2-3x； （2）2x（5x-1）-3(5x-1)；
（3）x2-4； （4）x2-10x+25.
设计意图：复习因式分解，为学习本节新知识作铺垫.
2.若ab=0，则 =0或 =0，若x（x-3）=0，则 =0或 =0.
3.试求下列方程的根
（1）x（x-7）=0； （2）（x+1+2)（x+1-2）=0；
设计意图：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现“降次”的方法特点.
二、探究展示
（一）合作探究
解方程：x2-3x=0
解：方程的左边提取公因式x，得x（x-3）=0
由此得x=0或x-3=0
即 x1=0, x2=3.
归纳：像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
议一议：请用公式法解方程x2-3x=0，并与上面的因式分解法进行比较，你觉得哪种方法更简单？
设计意图：通过比较因式分解法相对于公式法的便捷之处，用因式分解法解一元二次方程的本质也是“降次”，即将一元二次方程分解为两个一次因式，分别令每个因式等于0，得到两个一次方程，这种解方程的方法不同于配方法的开平方，而是依据两个实数的积等于0的主要条件是两个实数中必有等于0的数.
根据以上解题步骤，组内交流，总结用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程化为左边是含未知数的代数式，右边是0的形式；
（2）将方程左边分解成两个一次因式；
（3）令每个因式等于0；
（4）求解.
（二）展示提升
用因式分解法解下列方程：
（1）x（x-5）=3x； （2）2x（5x-1）=3（5x-1）；
（3（35-2x）2-900=0； （4）x2-10x+24=0.
设计意图：方程（1）、（2）先化成右边为0的形式，然后利用提取公因式法解方程；方程（3）用平方差公式分解因式，再求解；方程（4）需先配方，然后再利用平方差公式分解因式求解.
学生上台展示时，老师多加鼓励，以便学生在台上更自信，发挥出自己最佳水平，同时加以规范、引导，培养学生严谨的解题思维.
三.知识梳理
以“本节课我们学到了什么？”启发学生谈谈本节课的收获.
一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法,三种解法的特点是：
配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法先要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0；配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即“降次”.
四.当堂检测
1.用因式分解法解下列方程：
（1）x（x-3）=5x； （2）4x2-20x+25=0.
2.用因式分解法解下列方程：
（1）2x（x-1）=1-x； （2）5x（x+2）=4x+8；
（3）(x-3)2-2=0； （4）x2+6x+8=0.
3.用因式分解法解下列方程：
（1）x2-4x+4=（5-2x）2； （2）（4x-1）2-10（4x-1）2-24=0.
五.教学反思
本节课采用了“先学后教、合作探究、当堂检测”的课堂教学模式，学生课前先自学，初步了解因式分解法解一元二次方程的解法，并会求一些简单的一元二次方程的解；其次，在课堂中通过合作探究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次议程的解法.
课件18张PPT。第2章 一元二次方程 第2章 一元二次方程的解法2.22.2.1配方法如何解本章2.1节“动脑筋” 中的方程①： x2- 2500 = 0呢？一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.把方程①写成x2 = 2500.这表明x是2500的平方根， 根据平方根的意义， 得或对于实际问题中的方程①而言， x2 = -50 不合题意， 应当舍去． 而x1 = 50符合题意， 因此该圆的半径为50 cm.如何解方程(1 + x)2＝ 81？是否可以把(1 + x)2看作一个整体呢？若把1 + x看作一个整体， 则由(1 + x)2 ＝ 81，
得1 + x＝81或1 + x＝ －81 ，
即1 + x＝ 9或1 + x＝ －9．
解得x1＝ 8， x2＝ - 10 .例2 解方程： (2x + 1 )2 = 2.解 根据平方根的意义， 得因此， 原方程的根为，通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.举
例（1） ( a ± b )2＝ ；
（2） 把完全平方公式从右到左地使用， 在下列各题中， 填上适当的数，使等式成立：
① x2 + 6x + ＝ ( x+ )2；
② x2 - 6x + ＝ ( x - )2；
③ x2 + 6x +5 = x2 + 6x + - + 5 = (x + )2- .a 2＋ 2ab＋b2 93399934③就是把式子写成(x + n)2 +d的形式解方程： x2+ 4x = 12. 我们已经知道， 如果能把方程①写成
(x + n)2 = d（d≥0）的形式，
那么就可以根据平方根的意义来求解.x2 + 4x = x2 + 4x + - = (x + )2 - 422222解方程： x2+ 4x = 12.x2 + 4x + 22 - 22 = 12，
因此， 有
x2 + 4x + 22 = 22 + 12.
即(x + 2 )2 = 16.
根据平方根的意义， 得
x + 2 = 4 或 x + 2 = -4.
解得x1 =2， x2 = -6目的是把左边化成(x + n)2的形式 一般地， 像上面这样， 在方程x2 + 4x = 12 的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方． 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法． 如何用配方法解本章2.1节“动脑筋” 中的方程② ： 25x2+ 50x - 11 = 0 呢？这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为1， 那就好办了。我们可以直接将左边化为(x + n)2的形式。由于方程25x2 + 50x - 11 = 0 的二次项系数不为1， 为了便于配方， 我们可根据等式的性质， 在方程两边同除以25， 将二次项系数化为1， 得x2 + 2x - ＝ 0那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？x2 + 2x - ＝ 0x2 + 2x +12 - 12 - ＝ 0配方， 得因此(x + 1)2 = 由此得x + 1 = 或 x + 1 = ，解得x1 =0.2， x2 = 2.2二次项系数化为125x2+ 50x - 11 = 0方程左边配成完全平方将方程转化为两个一元一次方程两个一元一次方程分别求解用配方法解下列方程 -2x2+4x-8=0.首先回顾一下利用配方法解一元二次方程的一般步骤 如果二次项系数不为1，可以两边同时除以这个系数，再在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里.-2 x2 +4x - 8 = 0.将上述方程的二次项系数化为1，得
x2 - 2x + 4 = 0.
将其配方，得 x2- 2x + 12- 12+ 4 = 0，
即 (x-1)2= -3.因为在实数范围内， 任何实数的平方都是非负数.
因此，(x-1)2= -3 不成立， 即原方程无实数根.小结：1. 回顾配方的方法及其推导过程，配方法的核心 是什么？2. 利用配方法解一元二次方程的基本步骤有哪些？应注意些什么？（2011?兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A (x+1)2=6 B (x+2)2=9
C (x﹣1)2=6 D (x﹣2)2=9C返回结 束单位：北京171中
姓名：王芳课件16张PPT。第2章 一元二次方程 第2章 一元二次方程的解法2.2一元二次方程2.2.2公式法返回利用配方法解方程： 配方法解一元二次方程的步骤: 2.移项；1.二次项系数化为1； 3.方程两边都加上一次项系数的一半的平方； 4.原方程变形为(x+m)2 =n 的形式； 5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程 的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 问题：你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?1.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;在b2-4ac≥0时，它的根为 运用一元二次方程的求根公式直接求每一个
一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法
叫作公式法. 由求根公式可知， 一元二次方程的根由方
程的系数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的一个关系.利用公式法再解方程： 公式法解一元二次方程的步骤: 1.将一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0)；2.明确系数a、b、c的值； 3.计算Δ=b2-4ac的值，确定方程根的情况； 4.如果Δ=b2-4ac ≥0，利用求根公式直接求出方程的根. 举
例用公式法解方程 x2-x-2=01.变形:化已知方程为一般形式;3.计算: b2-4ac的值;4.代入:把有关数值
代入公式计算;5.定根:写出原方程的根.2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;解 a ＝ 1， b ＝ -1， c ＝ -2.因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2)
＝ 1 ＋ 8 ＝ 9 ＞ 0，所以 x ＝因此， 原方程的根为x1＝ 2，x2＝ -1.举
例3.代入求根公式 : x=
(a≠0, b2-4ac≥0)1.把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。
2.求出b2-4ac的值。用公式法解一元二次方程的一般步骤：4.写出方程的解： x1= ?, x2= ?用公式法解下列方程： （1）x2-2x =1.（2） 9x2+12x+4=0.-1-218 a= ，b= ，c= ，
b2-4ac = ，因此 x= . 从而 x1= ，x2= . 41290(2) 9x2+12x+4=0小结：1.回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是如何推导的？3.应用公式法解一元二次方程的基本步骤有
哪些？ 2.怎样通过一元二次方程的根的判别式
Δ=b2-4ac 判断根的情况？(2007北京) 解方程： x2 + 4x - 1=0解 a= 4 ，b= -1 ，c= 0 ，
b2-4ac = 20 ，因此 x= . 从而 x1= ，x2= . x2 + 4x - 1=0结 束单位：北京171中
姓名：王芳课件25张PPT。第2章 一元二次方程 第2章 一元二次方程的解法2.22.2.3因式分解法返回问题1：因式分解的意义是什么？因式分解的方法有哪些？一、复习回顾：因式分解主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: 平方差公式a2－b2=(a + b) (a－b)
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.问题2：请你试利用因式分解的方法解下列方程，并说明你的解法的依据是什么？例1 解方程： 例1 解方程： 上面这样的方程可以用什么方法来解呢？ 这个方程可以用公式法来解，也可以用配方法来解。可是好像用配方法时，一次项系数的一半是个分数，计算比较麻烦。公式法相对简单些，而且c等于0。再想一想还有没有更简单的方法呢？ 像上面这样， 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.例1 解方程： 观察这个方程的左侧，发现可以因式分解为x(x-3)，所以原方程可化为：
x(x-3)=0x(x-3)=0若a·b=0，则a=0或b=0x=0 或 x-3=0即 x1=0， x2=3. 利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.练习 用因式分解法解下列方程：
（1） x (x – 5 ) = 3x ；
（2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1)；
（3） (35－2x )2 – 900 = 0.解：把方程因式分解， 得
x （ x - 8 ） = 0，
由此得 x = 0 或 x - 8 = 0.
解得 x1 = 0 ， x2 = 8.（1） x (x – 5 ) = 3x（2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1)解：原方程可化为
2x (5x – 1) – 3( 5x – 1) = 0，
把方程左边因式分解， 得
(5x – 1)( 2x – 3) = 0，
由此得 5x - 1 = 0或2x - 3 = 0.
解得 x1 = , x2 = （3） (35－2x )2 – 900 = 0解: 原方程可化为(35 - 2x )2 - 302 = 0.
把方程左边因式分解， 得
(35－2x + 30)(35 - 2x – 30) = 0.
由此得 65 - 2x = 0 或 5 - 2x = 0.
解得 x1 = 32.5， x2 = 2.5.例8 用因式分解法解下列方程：x2 - 10x + 24 = 0.解 配方， 得x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0，
因而 (x - 5 )2 - 12 = 0，
把方程左边因式分解， 得
(x - 5 + 1 )( x - 5 – 1) = 0，
即 (x – 4)(x – 6) = 0，
由此得 x - 4 = 0 或 x - 6 = 0.
解得 x1 = 4， x2 = 6.举
例 从例8可以看出， 我们能把方程
x2 - 10x + 24 = 0 的左边因式分解后， 写成
x2 - 10x + 24 = (x - 4 )(x – 6)= 0，
则4和６就是原方程的两个根. 一般地， 若我们能把方程x2 + bx + c = 0的
左边进行因式分解后， 写成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0，
则d和h就是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根. 反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0， 我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.下列方程用哪种方法求解较简便？ 说说你的理由.（1） （3）举
例由此得 或（1）解得所以 ，
因此， 原方程的根为（2）（3）解得如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
公式法适用于所有一元二次方程.
因式分解法（有时需要先配方）适用
于所有一元二次方程.
配方法是为了推导出求根
公式，以及先配方，然后用因
式分解法. 解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为一元一次方程，即降次， 其本质是把ax2 + bx + c = 0（ a≠0 ）的左端
的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2 + bx + c =a（x-x1）（x-x2）， 其中
x1和x2是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根.小结：1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？ 2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？ 例（南充2012）方程x(x-2)+x-2=0的解是（?? ）
?
（A）2? （B）-2,1? （C）－1? （D）2,－1?
考点：
解一元二次方程-的解法因式分解法。
?分析：
先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．
?解答：
解：x(x﹣2)+(x-2)=0，
?∴(x-2)(x+1)=0，
?∴x-2=0，或x+1=0，
?∴x1=2，x2=-1．D结 束单位：北京171中
姓名：王芳
