湘教版九年级上册数学教案
*2.4 一元二次方程根与系数的关系 教学目标
1.了解一元二次方程根与系数的关系.
2.经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力. 重点难点 重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用． 难点：一元二次方程根与系数的关系的推导. 教学设计 一.预习导学
学生自主预习教材P41-P48，完成下列各题. 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,在b2-4ac≥0的条件下，它的根为 ，这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,当 时，方程有两个 的实数根；当 时，方程有两个 的实数根；当 时，方程 实数根.
设计意图：通过复习旧知，让学生再次体会一元二次方程根与系数的关系，为本节课学习新知识打下基础.
二.探究展示
(一)合作探究
问题：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a、b、c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
做一做：
（1）先解方程，再填表：
方 程
X1
X2
X1+ X2
X1. X2
X2-2x=0
0
2
2
0
X2+3X-4=0
1
-4
-3
-4
X2-5X-6=0
-1
6
5
-6
由上表猜测：若方程X2+bx+c=0的两个根为X1、X2，则X1+ X2=-b, X1. X2=c.
（2）方程X2-5X+6=0的两个根为X1=2, X2=3,则X2-5X+6=（X-2）（X-3），当一元二次方程二次项的系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项c，那么二次项的系数不为1时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？
动脑筋：
对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0时，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为X1、X2，则
ax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）
=a [ X2-（X1+ X2）X+ X1·X2]，
又 ax2+bx+c=a（X2+）
于是 X2+=a [ X2-（X1+ X2）X+ X1·X2]，
因此 =-（X1+ X2），= X1·X2，
即 X1+ X2=-，X1· X2=
归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的.
设计意图：经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力.（二）展示提升
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根X1、X2的和与积：
（1）2X2-3X+1=0； （2）X2-3X+2=10；
（3）7X2-5=X+8；
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根之和与两根之积.
2.已知关于X的方程X2+3X+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。
设计意图：通过此例，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用.
三.知识梳理
以“本节课我们学到了什么？”发启学生谈谈本节课的收获.
根与系数关系可以用来求两根之和、两根之积，还可以验算所求的根是否正确，更重要的是可以简捷地解决一些有关一元二次方程的问题.
四.当堂检测
1.（1）设方程X2-4X-1=0的两个根为X1与 X2，则X1· X2= ；
（2）设方程X2+5X+6=0的两个根为X1与 X2，则X1+ X2= .
2. 设X1· X2是方程3X2+2X-3=0的两个根，求下列各式的值：
（1）X1+ X2； （2）X1·X2.
3.已知关于X的一元二次方程X2+mX+3=0的一个根为-1，它的另一个根及m的值.
五.教学反思：
在教学设计中，充分发挥学生的主观能动性，通过小组讨论，让每个学生都能从同伴的交流中获益，同时也培养了学生的合作意识，提高了学生的动手、动口能力和归纳能力.
课件16张PPT。第二章 一元二次方程第2章 一元二次方程 根与系数的关系2.4（1）先解方程，再填表：1?4120?3?4?5?6?6由上表猜测：方程 的两个根为x1，x2，则x1+x2= ，x1?x2= ；2323x2+bx+c=0 根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定，得即： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积：（1）
（2）
（3）1. 根据一元二次方程根与系数的关系，
求下列方程的两根的和与积：（1）
（2）一元二次方程根与系数的关系是： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.例1 江苏常州市中考题
已知：如果关于x的方程x2 + mx － 6=0 的一个根是2，
则 m= ,另一个根是 .解：由根与系数关系得：由方程一根为2，代入得：方程的另一个根为－3.两根代入得：2－3= －m，解得 m=1.
例2 2011德州市中考题
若x1,x2是方程x2+x－1=0的两个根，则x12+x22= . 解：由根与系数关系得：x12+x22变形为：结 束单位：北京25中
姓名：孙玓瓅
