湘教版九年级上册数学教案
2.5 一元二次方程的应用（1）
教学目标 1.能根据具体实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型. 2.能根据实际问题的意义，检验方程的解是否合理. 重点难点 重点：从实际问题中抽出数量关系并列方程求解，最后对方程解的合理性作出解释（即方程建模的全过程）. 难点：抽象实际问题中的数量关系，对方程解的合理性作出解释. 教学设计 一.预习导学
学生自主预习教材P49-P50，完成下列各题.
1.一元二次方程有哪些解法？
（配方法、公式法、因式分解法）
2. 我们学过的列方程解应用题，有哪些基本步骤?
（①审题，②设未知数，③根据等量关系列方程，④解方程，⑤检验并写出答案）
设计意图：复习列方程解应用题，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫.
二.探究展示
(一)合作探究
动脑筋：
某省农作物秸杆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸杆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸杆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸杆总量不变）
分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：
今年的使用率×（1+年平均增长率）2=后年的使用率，设这两年秸杆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列方程：
40%（1+X）2=90%
整理，得 （1+X）2=2.25
解得 X1=0.5=50%，X2=-2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸杆使用率的年平均增长率为50%.
归纳：（1）若某个量原来的值是a，每次增长的百分率是X，则增长1次后的值是
a（1+X），增长2次后的值是a（1+X）2，增长n次后的值是a（1+X）n，这就是重要的增长率公式.（2）若原来的值是a，每次降低的百分率是X，则n次降低后的值是a（1-X）n，就是降低率公式.
设计意图：通过以上问题的探究，让学生掌握增长率基本公式，并知道增长率>0,0<降低率<1，为以后的学习打好基础.
（二）展示提升
1.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，求平均每次降价的百分率.
2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为X元，则可卖出(350-10X)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%，若该商店计划从这批商品中获取400元利润(不计其它成本)，问需要卖出多少商品，此时的售价是多少？
分析：本问题中涉及的等量关系是：（售价-进价）x销售量=利润.
解： 根据题意，列方程得：(x-21)(350-10x)=400
解得：x1=25 , x2=31.
设计意图：将实际问题转化成数学问题后，数学问题的解是否就是实际问题的解必须经过检验，应用（1）中增长率不可能是负数，因此，X2=-2.5不符合题意，应当舍去，应用（2）中，商品售价有“物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%”的约束，而方程的解X2=31不满足这一条件，从该实际问题可以看出，有时实际问题中解的意义是“隐性”的，需要我们根据问题中的表述细心检验.
3.议一议，运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？(组内交流，学生归纳)
实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程
实际问的解 一元二次方程的解
三．知识梳理
以“本节课我们学到了什么”启发学生谈谈本节课的收获.
1.一元二次方程解应用题的解题步骤.
2.求平均增长率的步骤.
3.解有关“利润”问题的关键，“总利润=每件商品利润×商品数量，利润=售价-进价”.
四.当堂检测
1.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书的增长的百分率是多少？
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件盈利44元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？
3.对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：h=vt-gt2，其中h是上升高度，v是初速度，g是重力加速度，为方便起见，g取10m/s2，t是抛出后所经历的时间，如果将一物体以v=25m/s的初速度向上抛，物体何时在离抛出点20m高的地方？
设计意图：检验学习效果，巩固有关增长率和利润的数量关系在实际问题中的运用，同时让学生明白，一元二次方程在许多领域都有着广泛的应用，如在物理学科中的问题也与一元二次方程有很大的关系.
五.教学反思
本节课与我们的生活密切相关，在解决增长率、商品利润问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，使学生形成良好的思维品质，并掌握一定的解决实际问题的方法.
湘教版九年级上册数学教案
2.5 一元二次方程的应用（2）
教学目标 1.能根据具体几何实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解.
2.体会方程建模思想，培养数形结合意识.
重点难点 用代数方法解决几何问题是本课时的教学重点，也是教学难点.
教学设计 一.预习导学
学生自主预习教材P51—P60，完成下列各题. 1. 一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？
2. 一元二次方程解应用题的关键是什么？
3.长方形的长比宽多4m，面积为60m2，则长为 ，宽为 .
4.已知一个菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm,那么这个菱形的边长为 ，面积为 .
设计意图：通过复习，让学生进一步熟练一元二次方程解题的步骤和关键，使学生掌握一元二次方程的解题方法.
二.探究展示
(一)合作探究
动脑筋：如图，在一长为40cm、宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若已知长方形盒子的底面积为3640m2，求截取去的四个小正方形的边长？
分析：如果设截去的小正方形的边长是 xcm，那么无盖长方体盒子的底面的宽是 ，长是 ，从而可以根据相等关系： ，可列出方程求解.
小组交流：这两个根都符合题意吗？为什么？
设计意图：设置问题情境引入，使学生明白数学来源于生活，又服务生活，激发学生的兴趣.
（二）展示提升
1.如图：一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分）余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.
分析：经过平移后，设道路的宽为X米，新矩形的长为 ，新矩形的宽为 ，根据矩形的面积公式可列出方程求解.
2.如图所示，在△ABC中，∠C =90°，AC=6cm，点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2?（小组讨论：学生上台讲解，其他学生补充、质疑，老师加以点拨、总结）
设计意图：应用（1）利用平移知识有效化解了建立方程模型的难点，让学生充分讨论，认识到这种平移方法的可能性；应用（2）是一个“动态几何”问题，涉及“路程=速度×时间”这一基本关系，同时抓住三角形面积公式中的数量关系，这也是建立方程模型的关键.
三.知识梳理
以“本节课我们学到了什么”启发学生谈谈本节课的收获.
1.一元二次方程解几何问题需要综合运用代X2与几何知识。
2.在解方程时，注意巧算，注意方程的取舍问题。
四.当堂检测
1.如图，在长为100m、宽为80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，若要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM，点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AC、BC向终点C移动时，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
五.教学反思
初中阶段方程的应用是学生的难点，学生审题有困难，很难准确找出等量关系，因此，在本节课中，引导学生审清题意，并准确找出等量关系是关键，同时渗透数形结合的思想.
课件31张PPT。一元二次方程的应用2.5 一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子． 某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.
今年的使用率×（1+年平均增长率）2
=后年的使用率
你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 40%（1+x）2=90%
整理，得 （1+x）2=2.25
解得 x1=0.5=50%， x2=-2.5答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，请你根据等量关系，列出方程：接下来请你解出此一元二次方程x2=-2.5符合题意吗？（不合题意，舍去） 例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率。举
例 原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 100（1-x）2=81解得 x1=0.1=10%, x2=1.9答：平均每次降价的百分率为10%.
若设平均每次降价的百分率为x，根据等量关系你能列出方程吗？
(不合题意，舍去)接下来请你解出此一元二次方程两个根都符合题意吗？ 例2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
举
例 （售价-进价）×销售量=利润.
你能找出问题中涉及的等量关系吗？
（x-21)(350-10x）=400 整理，得 x2-56x+775=0
解得 x1=25, x2=31. 注意：21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，
所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元.
你能根据等量关系列出方程吗？
从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）
你认为运用一元二次方程解实际问题的关键是什么？
找出问题中的等量关系1.审题,找出问题中的等量关系2.根据题意，设未知数3.把等量关系转换成一元二次方程4.选取适当的方法解方程5.根据题意对求出的根的实际意义进行检验6.答题运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？1.某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？
练习解：设平均每年藏书增长的百分率为x
5（1+x）2 = 7.2整理，得 (1+x)2=1.44
解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去)答：平均每年藏书增长的百分率为20%。2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？解：设应降价x元，则
(44-x)(20+5x)=1600整理，得 x2-40x+144=0
解得 x1=36, x2=4
答：应降价36元或4元。举
例例3 如图2-2，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩
形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方
形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面
积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.你能找出问题中涉及的等量关系吗？
若设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系你能列出方程吗？
解得 x1=27，x2=7 ．因此 原方程可以写成 x2-34x+189=0.
这里 a=1，b=-34，c=189，
b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，(40-2x)(28-2x)=364接下来请你解出此一元二次方程两个根都符合题意吗？ 如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．答：截去的小正方形的边长为7 cm．例4 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.
举
例分析 虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。分析
若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 问题中涉及的等量关系是什么？矩形面积=矩形的长×矩形的宽若设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？(32-x)(20-x)=540 整理，得 x2-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？ x2=50＞32 ，不符合题意，舍去,故 x=2.答：道路的宽为2米.举
例例5 如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm2？
问题中涉及的等量关系是什么？两直角边的乘积的一半 = 直角三角形的面积S△PCQ=?PC×CQ
你能根据等量关系列出方程吗？
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm2整理，得解得 x1= x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm2.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
答：点P，Q同时出发2s后可使可使△PCQ的面积为
Rt△ABC面积的一半.整理， 得则由S△PCQ= 可得 建立一元二次方程模型分析数量关系
设未知数检 验小结与复习例1 （2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利
用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足
可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使
矩形花园的面积为300m2．
例2 （2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，
由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800.
解得： x1=220， x2=80．
当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，故x1=220不合题意，舍去；当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，故x=80.
答：该校共购买了80棵树苗．结 束单位：北京25中
姓名：李贞
