湘教版九年级上册教案
3.1.1 比例的基本性质（1）
教学目标???
1.了解比例的基本性质，即 如果，那么ad=bc.
2.会对比例的基本性质进行变形.
重点难点
重点：掌握比例的基本性质及其推导过程．
难点：对比例的基本性质进行变形.
教学设计
一.预习导学
预习教材P62—P63的内容，完成下列问题.
呈现： .
（1）认识吗？叫什么？
（2）正确吗？为什么？
（3）分别求比值.
设计意图：让学生理解“比“与”比值“的概念，为后面的学习做好铺垫.
二.探究展示
教师导语：我们在小学就已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说四个数成比例.
现在我们学习了实数，把四个数理解为实数，写成式子就是 a:b=c:d或
则四个数a,b,c,d成比例，其中b,c称为比例的内项，a,d称为比例外项.
对应练习：你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？
（1）1.4：= （2）
设计意图：简洁的情境，简单的问答，准确定位教学的起点，沟通比例各部分的名称，嫁接新知探究的支点.
出示课题：比例的基本性质
?(一)探究比例的基本性质
1.用等式的基本性质推理证明比例的基本性质
动脑筋：如果，那么a d=bc.（即如果a:b=c:d，那么ad=bc）
（学生合作推导,教师引导得出）得出:(1)两内项之积等于两外项之积;(2)两个内项的位置可以交换,等式仍然成立; 两个外项的位置也可以交换,等式仍然成立;
对应练习：
1. 已知四个数a,b,c,d成比例.
（1）若a=-3,b=9,c=2, 求d；
（2）若求d；
2.比例基本性质的逆定理的教学
动脑筋：如果a d=bc，那么.（其中a，b，c，d为非零实数）
（学生合作推导,总结得出）
设计意图：利用等式的基本性质，由条件到结论的证明方法体现了综合证明题的方法.锻炼了学生的逻辑思考能力，增强了学生的学习兴趣，达到了教学的效果.
(二)展示提升
3.已知四个数a,b,c,d成比例，即 .
下列各式成立吗？若成立，请说明理由.
（过程方法：以学生自主学习为主，教师引导为辅的方法进行教学，先让学生讨论学习，然后可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神.老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.）
对应练习：
设计意图：通过练习加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握.
4.根据下列条件，求a:b的值：
(先让学生讨论学习，然后分组展示，老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.）
设计意图：通过练习与展示进一步加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握，以达到非常熟练的程度，并能融会贯通地应用.
对应练习：求下列各式中x的值.
方法总结：通过分层练习，巩固对比例基本性质的掌握，体验比例基本性质的应用价值，促进所有学生都能在动静结合的学习过程中获得发展，使不同的学生获得不同程度的发展.同时渗透假设.验证.有序思考的解题策略和方法，体验解决问题方法的多样性和优化策略，感受“一 一对应“和”变与不变“的数学思想.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
?1.我们是怎样:探究比例的基本性质的？
2. :探究比例的基本性质主要是利用什么性质来探究的？
四.当堂检测
1.如果，那么下列比例式中，错误的是 （ ）
A. B. C. D.
2.若，则
3.已知，则
4.已知a.b.c为△ABC的三边，且， 试判断
△ABC的形状.（选做题）
五.教学反思
根据课堂内容的基础性和延伸性，从学生已有的基础知识出发，运用“问题”引领.“规律”呈现.“应用”总结的设计环节，这样可以较好地完成本课时的教学任务，同时在例题的设计上，选择基础性.灵活性.典型性相结合的问题，既锻炼学生的计算能力.又提升了学生的思维能力.
湘教版九年级上册教案
3.1.2 成比例线段
教学目标
使学生了解线段的比和成比例线段的概念，通过实例使学生了解“黄金分割”. 2.能通过计算，判定四条线段是否成比例.
重点难点
重点：成比例线段的概念及通过计算判断四条线段是否成比例．
难点：从实例引导学生了解“黄金分割”.
教学设计
一.预习导学
预习教材P64—P65的内容，完成下列问题.
1.比例的基本性质： ；
2. 比例基本性质的相关结论.
二.探究展示
1.比例线段
如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）△ABC 和△ ，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，A’B’，B’C’，A’C’ 的长度，并计算AB与A’B’，BC与B’C’，AC 与A’C’ 的长度的比值.
设计意图：经过创设情境，学生自主参与动手操作，得出“两条线段的比”，通过观察得出四条线段的长成比例的关系，从而得出“比例线段”的概念.
（方法与过程：首先学生动手量出所要求线段的长度，再求出其比值，进行对比比较）
方法总结：通过操作，计算比较，得出：
一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A’B’ 的长度分别为m，n ，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A’B’ 的比，记作
如果 的比值为k，那么上述式子也可写成
(2)在上图中，对于△ABC 和△A’B’C’ 有 ，
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.
出示课题：成比例线段
例如，已知四条线段a，b，c，d ，若，则a，b，c，d是比例线段，线段d叫做a.b.c第四比例项.
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即（或a:b=b:c），那么线段b叫做线段a和c的比例中项..
类似地，如果 ,那么称线段AB，BC，AC 与线段 对应成比例.
例3 已知四条线段a，b，c，d的长度分别为0.8 cm， 2 cm， 1.2 cm， 3 cm ，
问a，b，c，d是比例线段吗？
设计意图：通过例题练习讲解学习，使学生更好地掌握“比例线段”的概念，也是此概念很好的应用，不断地增强学生的学习积极性.
（方法与过程：学生自主 学习，然后分组展示.质疑.点评）
对应练习：
1. 已知四个数a,b,c,d成比例.
（1）若a = 0.8 cm，b = 1 cm，c= 1 cm，求d；
（2）若a = 12 cm，c = 3cm，d=15 cm，求b；
（3）若a = 5 cm，b = 4 cm，d=8 cm，求c．
例4 等比性质：证明 如果（），那么＝．
2. 黄金分割比
问题情境引入：古希腊数学家.天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约公元前400—前347)提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？
即使得成立吗？
小结：如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金 分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与 原线段AB的比叫作黄金分割比..
（方法与过程：通过学生自己阅读课本65页宋体字内容，得出“黄金分割比”是.它约等于0.618，教师引导学习）
阅读课本66页
设计意图：通过阅读提高学生学习的兴趣，感受“黄金分割比”的生活艺术效果.
温馨提示：记住黄金分割比，如果线段AB被点C黄金分割，那么较长线段AC=AB, 较短线段BC=AB.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
?1.本节课重点有掌握的知识是什么？
2. 在学习的过程中你的困惑是什么？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？
（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）
四.当堂检测
1.若m是2.3.8的第四比例项，则m＝ ；
2．若x是a.b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝ ；
若线段x是线段a.b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝ ；
3. 把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长度为 （ ）
A. cm B. cm C.cm D. cm
4.人的正常体温是36°C～37°C，对大多数人来说，体温最舒适的温度是
22～23°C，你能解释吗？
五.教学反思
通过习题补充，合比性质.等比性质.设K法，解决有关比例的问题很重要.这是重点也是考点.通过习题让学生有具体直观的感觉，易学易懂.
课件31张PPT。图形的相似第3章 比例线段3.13.1.1比例的基本性质(1)什么是两个数的比？6与9的比,8与12 的比如何表示？其比值相等吗？这用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
(2)比与比例有什么区别？ 如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例.(3) 用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 若a， b， c， d是实数 ，a ∶ b = c ∶ d 或 ，则称a， b， c， d成比例， 其中
b， c称为比例内项， a， d称为比例外项．结论 如果a， b， c， d成比例，即
， ①
那么ad=bc吗？比例的基本性质: 如果a d= bc，其中a， b， c， d为非零实数，那么
成立吗？ad=bc（其中a， b， c， d为非零实数）两内项之积等于两外项之积.比例的基本性质例1 已知四个非零实数a， b， c， d成比例，
即
下列各式成立吗？若成立，请说明理由．
①①②③④???由于两个非零数相等， 则它们的倒数也相等，
因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立．解?⑤①②③④??解?⑤√①②③④?解?⑤√√①②③④解?⑤√√√．,①②③④⑤√√√√总结：
这道例题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：
一是利用等式的基本性质；
二是设比值．例2 根据下列条件， 求a∶b的值.
（1） 4a = 5b； （2） .解（1） ∵4a = 5b,
∴ .（2） ∵ ,
∴ 8a = 7b,
∴．已知a， b， c， d成比例,
（1）若a =-3，b=9，c=2，求d；
（2）若a =-3，b= ，c=2，求d. ．2. 求下列各式中x的值：
（1）4:15=x:9； （2） .解练习解练习解练习解练习解 若a， b， c， d是实数 ，a ∶ b = c ∶ d 或 ，则称a， b， c， d成比例， 其中
b， c称为比例内项， a， d称为比例外项．问题：（1）比例的概念是什么？比例的基本性质是什么？问题：（2）如何判断四个数成比例？ 若a， b， c， d是实数 ， ，则a， b， c， d
成比例． 若a， b， c， d是非零实数 ，ad=bc，则a， b， c， d成比例． 一是利用等式的基本性质；
二是设比值．问题：（3）比例式变形的常用方法有哪些？例1 解例2 解结 束单位：北京市第一六六中学
姓名：孙梅
课件37张PPT。图形的相似第3章 比例线段3.13.1.2成比例线段 我们知道线段既有形状又有大小，这节课我们主要研究线段之间的数量关系，并由数量关系带给我们对图形形状的思考！引入如图3-1， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC 和△A′B′C′， 它们的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC， A′B′， B′C′， A′C′的长度， 并计算AB与A′B′， BC与B′C′， AC 与A′C′的长度的比值.问题1：(1) 请问图3-1中，AB与A′B′， BC与B′C′，AC 与A′C′三对线段的长度的比值有什么关系？ (2)再观察图3-1中的△ABC 和△A′B′C′，说一说它们的形状有什么关系？ 定义1：一般地， 如果选用同一长度单位量得两条线段AB， A′B′的长度分别为ｍ，ｎ， 那么把它们的长度的比 叫作
这两条线段AB与A′B′的比（ｒａｔｉｏ）， 记作
或 AB ∶ A′B′＝ m ∶ n ；
如果 的比值为ｋ，那么上述式子也可写成
或 AB ＝ ｋ·A′B′ .
问题2：图3-1中的 △ABC 和△A′B′C′中AB、BC、A′B′ 、B′C′这四条线段有什么样的数量关系 ？ △ABC 和△A′B′C′中还有其它的四条线段也具有同样的数量关系吗？定义2：在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段， 简称为比例线段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｓｅｇｍｅｎｔｓ）.例3 (1)已知线段a，b，c，d 的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm， 3cm，问a，b，c，d是比例线段吗？ 解 (一) ∵
∴ ， 即a， b， c， d 是比例线段. 解(二) ∵
∴ ， 即a， b， c， d 是比例线段.例3 (2)已知线段a，b，c，d是比例线段，其中a，b，c的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，求d.解 ∵线段a，b，c，d是比例线段，
∴ 或 或 ；当 时，代入已知数，解得 d=3cm； 当 时，代入已知数，解得， d=0.48cm； 当 时，代入已知数，解得， d= cm. 问题3：你能画出成比例线段吗？思路(1). 由例3的启发，画长度分别是1cm、2cm、3cm、6cm的四条线段,这样的四条线段是成比例线段；当然长度分别为1cm、2cm、2cm、4cm的四条线段是成比例线段。思路(2). 如图， 平行四边形ABCD中的 四条线段是成比例线段解 ∵ 平行四边形ABCD，
∴ AB=CD，BC=AD；
∴ 或 ；
∴ AB、BC、CD、DA四条线段是成比例线段. 当然矩形、正方形、菱形中的四条线段也分别都是成比例线段.问题4 ：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约400—约前347）曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？
即， 使得成立？解决方法：先把问题特殊化， 设线段AB的长度为１个单位， 点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（１－ x ）个单位．
由等式，得解得 （舍去）.小结：借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，
而且比值等于 . 问题5：对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等的 两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比吗？如果能的话，这个比值会是 吗？解决方法：参考特殊方法，把特殊值1变成任意值a。设线段AB 的长度为a 个单位，点C为线段AB 上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（a－x ）个单位．由等式，得小结：借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，
而且比值也等于定义3：如果能将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点Ｃ黄金分割（ｇｏｌｄｅｎ ｓｅｃｔｉｏｎ），点Ｃ叫作线段AB的黄金分割点， 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 问题6：我们知道任意线段都有黄金分割点，那如何找到它呢？ 对于一条给定的线段AB，找出它的黄金分割点的作法如下：（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC= AB；（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB 于点P.则点P为所求作的线段AB的黄金分割点.欣赏：我们知道黄金分割比是个确定数
，这个数可是
享誉全世界的，因为比值是它的线段
围成的图形是最美丽的图形.古希腊的巴台农神庙正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中， 人物的脸的宽度与高度的比就是一个
黄金分割比．
1.求下列各式中x的值.
（1） 5∶7 =15∶ x ； （2） 144∶5 = x ∶25；
（3） 52∶x = 26∶8 ； （4） x ∶13 = 65∶78.答： (1) x =21; (2) x = 720;
(3) x =16; (4) x = .2.已知a ，ｂ，ｃ，ｄ是比例线段.
（1） 若a=2 ，b=3 ，c=4 ，求d；
（2） 若a=1.5 ，c=2.5 ，d=4.5 ，求b；
（3） 若a=1.1 ，b=2.2 ，d=4.4 ，求c ．答： (1) d =6 或 或 ； 答： (2) b = 7.5或2.7 或 ； 答： (3) c =8.8 或2.2 或 0.55 . 3、甲、乙两地的实际距离为680km， 在某地图上量得这两地的距离为17cm， 求该地图的比例尺.答：因为680km=68000000cm，
所以该地图的比例尺=68000000:17=4000000:1.
4、如图，节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体. 若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点多远处最自然得体？（结果精确到0.1m）解：设AB的黄金分割点为C，则AC ≈0.618AB或BC ≈ 0.618AB,
解得AC ≈12.5m或AC ≈ 7.6m .
答：所以主持人站在离A点12.5m或7.6m远处最自然得体.
1、请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！认识了一个最特别的数 ，比值是它的线段围成的图形最美丽.2、请问同学们以前学过的哪些图形中有成比例线段？平行四边形、矩形、正方形、菱形中的四条线段分别都是成比例线段.3、请问同学们你有哪些方法画比例线段？（2）可以画平行四边形、矩形、正方形或菱形.（1）可以先确定比例线段的长度再画线段；结 束单位：北京市166中学
姓名：王秀莲
