湘教版九年级数学上教案
4.1.1正弦
教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学设计
一。预习导学
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
二.探究展示
(一)合作探究
（1）如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：
在Rt△ABC ?中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
故
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则
成立吗？为什么？
因为 ∠A=∠D = ， ∠C=∠F= 90° ，
所以△ABC∽Rt△DEF.
所以
即
所以
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
sinA＝ （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
设计意图：通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。
(二)展示提升
1.如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=3，AB=5.
（1）求sinA的值；
（2）求sinB的值.
（1）求sinA的值；
解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是
（2）求sinB的值.
解：∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC=4
因此
2.如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是 ∠B=45°从而AC=BC．
根据勾股定理，得于是
故
3. 如何求sin 60°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则∠A=30°，从而 BC=
根据勾股定理,得
所以
所以
4. 而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.7660…
5.课本113页例2
设计意图：使学生巩固特殊角的正弦值。
三。 知识梳理
本节课学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
四．当堂检测
1. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=5，AB=13.
（1）求sinA的值； （2）求sinB的值．
2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角 的正弦值.
3.计算
（1） （2）1-2
五.教学反思
本节课教学设计以教师的“问题引导”为方向，以学生的“动手操作”为主线，学生充分经历了知识的发生过程，较好地体验了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想方法。
湘教版九年级数学上教案
4.1.2余弦
教学目标：
1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值都固定（即余弦值不变）这一事实。
2.能根据余弦概念正确进行计算
3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
重点：正确理解余弦的概念，会根据边长求出余弦值。
难点：正确理解余弦的概念。
教学设计 一.预习导学
1.什么叫正弦？如何求一个角的正弦值？
2.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
二.探究展示
?(一)合作探究
问题1. 如下图所示， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？
分析：因为∠A=∠D= a ，∠C=∠F=90°，所以∠B=∠E.
因此.
结论：由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
定义：如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫作∠A 的余弦，记作 cosA , 即:
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 ，有：
设计意图：通过让学生自己概括出定义，同时利用数形结合的方法，使学生加深对余弦定义的理解。
问题2:求cos30°，cos60°，cos45°的值．
问题3：对于一般锐角的余弦值，我们应当怎么求？
借助计算器。
问题4:借助计算器，已知余弦值，能不能求出它对应的锐角？
(二)展示提升
问题1:拿出计算器，做课本P115的“做一做”。
问题2:在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=，AB=3. 求 cos A，cos B ，sinA,sinB的值．
问题8:课本P115例4
设计意图：让学生加深了对概念的理解，同时突出本节教学的重点。
三.知识梳理
1.通过学习，你对余弦有什么认识？
2.怎么求一个角的余弦值？
四.当堂检测
1.计算：
(1) (2)1-2
2:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5，AB=7. 求 cos A，cos B 的值．
3. 用计算器求下列锐角的余弦值（精确到0.0001）：
(1) （2） （3）
五.教学反思
通过探究，使学生知识引向深入，在整个过程中体现了教师的主导作用和学生的主体地位。在教学过程中，如何保证每位学生都得到发展，如何给予每个学生发展平台，这是每位教师在课堂教学中必须思考的。
课件24张PPT。锐角三角函数第4章 正弦和余弦4.14.1.1正弦 上图是上海东方明珠电视塔的远景图， 你能想办法测量出该塔的高度吗？测量高度或者距离之类的问题，一般可以用本章锐角三角函数的知识来解决． 画一个直角三角形， 其中一个锐角为65°， 量出65°角的对边长度和斜边长度， 计算
与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是相等（精确到0.01）的吗？
问题一问题二 这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
你能想办法利用已学的知识证明吗？有的同学已想到用相似证明，请看问题三. 如图4－2， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则
成立吗？ 为什么？∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
问题三 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，对于锐角α的每一个确定的值, 角α的对边与斜边的比都有唯一确定的值与它对应， 所以可把角α的对边与斜边的比值看成角α的函数.归纳通过上面三个问题的探讨，谈谈你的收获是什么？定义 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即1.sina 是在直角三角形中定义的,∠a是锐角(注意数 形结合,构造直角三角形).
2.sina是一个完整的符号,如：sina不是sin与a的乘积,而是一个整体,表示∠a的正弦。
3.sina是线段的一个比值.注意比的顺序,且0﹤sina﹤1,无单位.
4.sina 的大小只与∠a的大小有关,而与直角三角形的边长无关.例1 如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，
BC=3，AB=5.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值． AC2 = AB2-BC2
= 52-32
= 16.1. 如图4-4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，
BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．2.如图， 在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP， 求OP与x轴正方向所夹锐角α 的正弦值.解： 平面直角坐标系内点P的坐标为（3，4），
连接OP，由勾股定理得 OP=5,
角α的对边是直角边，边长为4，而斜边长OP为5 ，
∴ 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？若设30°角所对的直角边为1，则斜边的值是多少？ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.问题四 如何求sin30°和sin60°的值？ 问题五如何求 sin 45°的值？于是 ∠B = 45°.从而 AC = BC.根据勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.问题六 通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角
（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角α
的正弦值，则可以利用计算器来求. 例如求50°角的正弦值， 可以在计算器上依次按键， sin50的显示结果为0.766 0….
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知sinα = 0.707 1，依次按键，2ndFsin0.7071
显示结果为44.999…，表示角α 约等于45°.例2 计算： 1.直角三角形中，角a的正弦函数等于哪两边之比呢？
2.直角三角形中，sina值的范围是什么？
3.学习角a的正弦函数时，用到了什么主要的数学思想方法？例1 （2012 滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
A例2 （2012 内江）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA( )A． B.
C. D. ．B 例3 （2008 泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则sin∠CBE的值是多少？结 束单位：东直门中学
姓名：胥世菊
课件20张PPT。锐角三角函数第4章 正弦和余弦4.14.1.2余弦复习提问1.什么是锐角α的正弦函数？
2.下列特殊角的正弦值分别是什么？ 在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中， 角α的对边与斜边的比值是一个常数，叫作角α的正弦.
想一想上一节课已学内容，那角α的邻边与斜边的比值也会是一个常数吗？能用类比的方法证明吗？
同学们以小组讨论解决的方案，请典型代表展示.
新课导入 如图４－7， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A ＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则
成立吗？ 为什么？∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°，
∴ ∠B =∠E .
从而sinB = sinE.推理论证 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，对于锐角α的每一个确定的值, 角α的邻边与斜边的比都有唯一确定的值与它对应，所以可把角α的邻边与斜边的比值看成角α的函数.归纳通过上面问题的探讨，谈谈收获是什么？定义 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作 cosα，即 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
∠A的正弦值是什么？∠B的余弦值呢？它们相等吗？
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有探究结论例1 求 的值．解: 通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角（30°， 45°， 60°）的余弦值， 而对于一般锐角α 的余弦值， 仍可以利用计算器来求. 例如求50°角的余弦值， 可以在计算器上依次按键cos 50 ,显示结果为0.64627…利用计算器计算：
（1） cos 15°≈ （精确到0.0001）；
（2） cos 50° 48 ′≈ （精确到0.0001）；
（3） 若cos α = 0.965 9， 则α ≈ (精确到0.1°）；
（4） 若cos α = 0.258 8， 则α ≈ （精确到0.1°）.例2 计算： 解: AC和BC的长分别是6,
sinA的值为 .1.如图，锐角α的正弦函数与
余弦函数分别等于什么？２.这节课主要用什么方法研究余弦函数？
类比法 数形结合的方法 例1 （2012 陕西）计算：【答案】 例2（2012 宁波）如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB= ,则BC的长为（ ）AA.4 B.2 C. D.
结 束单位：东直门中学
姓名：胥世菊
