湘教版九年级上册数学教案
4.3 解直角三角形
教学目标
理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数解直角三角形.
知道直角三角形中五个元素的关系.
通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力.
重点难点
重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.
难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.
教学设计
预习导学
学生自主预习教材P121—122完成下列问题：
1、如图，在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
(1) 直角三角形三条边的关系是： 。
（2）直角三角形两个锐角的关系是： 。
（3）直角三角形边和锐角的关系有：
、
2、如上图，在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
（1）若∠A=40°，b =3cm ，则∠B= ，a= ， c= ；
（2）若∠A=40°，a =3cm ，则∠B= ，b = ，c= ；
（3）若∠A=40°，c =3cm ，则∠B= ，a= ， b = ；
（4）若a =3cm ，c =4cm ，则b = ，∠A== ，∠B = ；
从归纳总结的角度梳理直角三角形中三边之间、角与角之间、边与角之间的关系.教师引导，学生自行解答.
二．探究展示
（一） 合作探究
1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
教师引导，学生小组讨论交流：
（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.
（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明，关键在哪里？
通过上面的分析总结得出：
在直角三角形中，除直角以外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.
（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？
（2）学生独立思考，自己解决.
（3）小组讨论一下各自的解题思路.
解：∠B＝90°-∠A=90°-30°=60°
又∵ tanB= ∴ b=a.tanB=5.tan60°=5
∵sinA= ∴c===10
总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
（二）展示提升
1. 在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求b，∠A，∠B.
小组讨论交流，然后班内交流展示.
2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.
小组讨论交流，然后班内交流展示.
归纳总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）
已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
三．知识梳理
1. 在直角三角形中，除直角以外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数等关系，就可以求出其余的3个未知元素，这叫做解直角三角形.
2. 解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）
（1）已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
四．当堂检测
1. 在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠B=45°，b=3cm，求a，c的长度.
2. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，求tan∠DBE的值.
3.如图，在△ABC中，已知∠Ｃ＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长.
4.如图，在△ABC中，∠AＣB＝90，∠A＝60，斜边上的高CD=，求∠B、AC、AB、BC。
五．教学反思
本节课从学生熟悉的直角三角形中边的关系、角的关系、边角关系引入，引导学生发现直角三角形中只要有两个条件（至少有一元素是边）就可以解直角三角形.这一结论不是由教师直接给出，而是由学生通过讨论交流获得，从而体现学生的自主性，通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题的能力.
课件24张PPT。锐角三角函数第4章 解直角三角形4.3 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形
之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或
角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用前面已
学的锐角三角函数的有关知识来解决.新课导入角α三角函数1复习提问下列特殊角的三角函数值分别是什么？ 如图4-23，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .图4-23引入新课问题1 直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股定理)图4-23问题2 直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.图4-23问题3 直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 图4-23如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个. 问题4 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素
（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元
素就可以求出其余的元素？
在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. 解直角三角形的依据(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:sinA＝ ★面积公式：举
例例1 如图4-24，在Rt△ABC中，
a=5，求∠B，b，c.图4-24举
例例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，
BC = 5， 试求AB的长.. 分析：在直角三角形中，
已知一边和另两边的关系，
常用勾股定理方程思想解决.举
例例3 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =15.60cm， b=8.50cm，求c，∠A，∠B(长度精确到0.01cm，
角度精确到1′). 解:由于因此从而分析：已知角和线段都不在直角
三角形中，所以需分别延AD、BC,
交于点E，从而解 的直角三角
形ABE即可.E60°30°举
例30°答：1. 在Rt△ABC中， b=3cm，
求∠A，a，c (精确到0.01cm).答：2. 在Rt△ABC中， a=5.82cm，c=9.60cm，
求b，∠A ，∠B (角度精确到1′，长度精确到 0.01cm).答：3. 在Rt△ABC中， c = 15.68cm，
求∠B ， a，b (长度精确到 0.01cm).4. 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长, 各角的度数和△ABC的面积.
在遇到解直角三形的问题时，最好先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；
宁乘勿除，化斜为直”.说说解直角三角形时，有哪些注意点？ 例1 （2012 福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A. 200米 B. 200 米 C. 220 米 D. 100（ +1） 米 D例2（2012 泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
2例3 (2012 重庆)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号）解：在等边△ABD中，∠B=60°
∵∠BAC=90°
∴∠C=30°
∵sinC=
∴BC=4.
∵cosC= ∴AC=BC·cosC=
∴△ABC的周长是 .
结 束单位：东直门中学
姓名：胥世菊
