湘教版九年级上册数学教案
4.4解直角三角形的应用（1）
教学目标 1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2.逐步培养学生分析问题.解决问题的能力.
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识. 重点难点 重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 难点：根据实际问题构造合适的直角三角形. 教学设计 一.预习导学
学生通过自主预习教材P125-P126完成下列问题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.
在Rt?ABC中，∠C=900
1.若∠A=600，b=，求a.
2.若∠B=350，c=8，用计算器求 a的值（结果精确到0.1）
设计意图：复习导入，回顾解直角三角形的相关知识，为解直角三角形的应用做铺垫。
二.探究展示
?(一)合作探究
某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离（图见课本125页的图4-15）.你能帮他想出一个可行的办法吗？
探究讨论：
先把图4-15抽象，并构造出直角三角形.
（引导学生一起把实景图抽象成右图，教师点拨，学生动手。）
如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A 作AC⊥BD即可以构造出直角三角形.
在Rt?ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A.B的相对高度AC即可.
如果测得点A的海拔AE=1600m，仰角∠BAC=400，求A.B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.
学生上台展示
因此，A.B两点之间的水平距离AC约为2264m.
展示提升
(首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法).
1.在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为250，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1m）.
设计意图：熟悉俯角、仰角的概念（都是视线与水平线的夹角），在解直角三角形题的基础上，稍加难度，学会用解直角三角形的相关知识，解决实际问题。
某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB.AC与地面MN所成的夹角∠ABN、∠ACN分别为80和150，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）.
设计意图：BC不是直角三角形的一边，所以不能直接求出。设计本题的目的在于让学生学会做辅助线构造直角三角形，并能通过解两个直角三角形来解决问题。
通过质疑、追问，总结解直角三角形的应用题一般步骤：
将实物图形转化为几何图形。
将自然语言转化为数学语言。
解直角三角形，求得解。
总结作答。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求.
解直角三角形的应用题一般步骤：
（1）将实物图形转化为几何图形。
（2）将自然语言转化为数学语言。
（3）解直角三角形，求得解。
（4）总结作答。
四.当堂检测
1.一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC.
设计意图：这是解直角三角形的简单应用，直接利用解直角三角形的知识就可以求得。是展示提升题中的第1题的巩固。
2.有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.
(求坡高CD（结果精确到0.1m）；
(求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）.
设计意图：这道题要在Rt?ACD中求得AD，在Rt?BCD中求得BD的长，然后再求AB。是展示提升题中的第2题的巩固练习。
五.教学反思
本节课通过实例让学生更深刻地理解和运用解直角三角形，把现实生活中的实际问题，抽象.转化为数学问题，从而利用解直角三角形的方法来解决。使学生在解决问题的同时，吸收数学中的转化思想，建模思想把现实问题通过数学模型转化为数学问题。
湘教版九年级上册数学教案
4.4解直角三角形的应用（2）
教学目标
1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度和坡角有关的问题．
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识. 重点难点 重点：理解坡角和坡度的内涵及表示方法. 难点：实际问题中，坡度与正切.正弦等的综合运用.
教学设计 一.预习导学
学生通过自主预习教材P127-P128完成下列知识点.
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h（即线段MN的长）与水平前进的距离l（即线段PM的长）的比叫做 ，用字母i表示，即i= ，坡度通常写成1：m的形式.
图中的∠MPN叫做 ，显然坡度等于坡角的 .
即i= .坡度越大，山坡越陡.
设计意图：通过学生的独立学习，了解坡度的概念及它与坡角的关系。培养学生的自主学习能力。
二.探究展示
?(一)合作探究
一山坡的坡度为i=1：2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.010，长度精确到0.1m）
分析：已知山坡的坡度为1：2，其实就是告诉我们=1；2，即tanA=1：2.由此可得出∠A的度数；又知AC的长，要求BC的长，可以利用∠A的正弦值求得.
解：由题意可得tanA=i==0.5，因此∠A≈26.570
在Rt?ABC中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m，
所以sinA=
所以BC=240×sin26.570≈107.3（m）
答：这座山坡的坡角约为26.570，小刚上升了约07.3m.
(二)展示提升
如图，某水库大坝横断面迎水坡AB的坡度是，堤坝高BC=50m，求坡面AB的长.
设计意图：巩固坡度的概念，会用解直角三角形的知识解坡度的题型。
小组合作解决，提醒后进学生先利用坡度求出AC的长，然后再求AB。
2.如图所示，某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度i=1：3.求斜坡AD的坡角和坝宽AB（结果保留根号）.
设计意图：此题是坡度问题的综合运用，目的在于加深学生对“坡度即坡角的正切”的理解，并能综合运用，以解决实际问题。
斜坡AD的坡角即求∠BAE的大小，
由于AD=16m，DE=8m，因此，，
所以，
求坝宽AB，因为AB不是某个直角三角形的边，所以不好直接求得，因此可以考虑分成三段来求，即AB=AE+EF+BF
在Rt△ADE中，可以利用锐角三角函数求得AE的长
在矩形DEFC中，EF=DC=3m
在Rt△BCF中，斜坡BC的坡度i=1：3，即，
可以求得BF=24m
这样，AB=AE+EF+BF，可以快速求得。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数.从而也能求得山坡的高度或水平长度.
四.当堂检测
如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形ABCD）的背水坡AB将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1：2改为1：2.5.已知坝高6m，求加宽部分横断面AFEB的面积.
五.教学反思
本堂课设置的题量不多，要达到教学目的，完成训练目标，要求学生在充分讨论的基础上，充分展示、质疑。所以学生讨论的时间要保证10分钟以上，才能达到教学效果.
湘教版九年级上册数学教案
4.4解直角三角形的应用（3）
教学目标 1.巩固直角三角形中的锐角三角函数，学会解关于触礁的问题．会利用方程帮助解直角三角形.
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识. 重点难点 重点：理解触礁问题的实质. 难点：利用方程帮助解直角三角形..
教学设计 一.预习导学
学生通过自主预习教材P128-P129完成下列各题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.
1.直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
方位角是看样表示的？
设计意图：既有前面知识的复习，巩固解直角三角形的知识，又有新知的提炼和指导，启发学生提炼问题的本质。
二.探究展示
?(一)合作探究
如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东600方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东300方向上.已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？
对于这类题型，学生会有比较浓厚的兴趣，但往往解题时不得要领.这时要引导学生分析：要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与30km相比较的结果.若最近的距离超过30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于30km，则船有触礁的危险.船距灯塔的最近的距离即过点C向航线AB作垂线CD，所以先得求出CD的长.
但CD在Rt?ACD中不能直接求出，而且在Rt?BCD中也不能直接求出，怎么办？
（学生充分讨论后，由学生上台阐述自己的想法）
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=.
在Rt?ACD中，
同理，在Rt?BCD中，
因为>30.因此该船能继续安全地向东航行.
设计意图：学会方位角的表示方法，渗透方程思想。
解决这类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构造直角三角形，必要时要添加合适的辅助线。
展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东550方向；B船说C船在它的北偏西350方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）.
先讨论，再展示
第一步弄明白∠CAB.∠CBA的度数和?ABC是什么三角形
所以 ，即?ABC是直角三角形。
第二步确定设哪条边为
根据“C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km”，得CA-CB=40km，可以设CB=km，则CA=km
然后利用锐角三角函数列出方程.
根据∠CAB的正弦，，得
根据∠CBA的正弦，，得
所以有，，可以求得即CB的长度，进而求得AB的长。
设计意图：巩固学生对方位角的理解，同时提升问题的难度，从而使学生能更加灵活地运用锐角三角函数来解决问题，并进一步巩固方程思想在生活和应用题中的运用。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
在用解直角三角形的知识来解决实际问题时，首先要会构造合适的直角三角形.
但有时构造好三角形后，并不能直接求出我们需要的边，这时可以考虑能否借用方程和锐角三角函数一起来求.
方程思想在数学中有着极为广泛的应用，同学要善于利用它。
当堂检测
如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为600和300.求BD.BC的长（结果精确到0.01m）
五.教学反思
本堂课通过学生的充分讨论、交流，了解了触礁问题的实质，以及它与锐角三角函数的联系。在学生增长知识的同时，发展了自身的能力。在调动学生积极性的同时，培养了学生学数学、用数学的能力和兴趣。
课件21张PPT。锐角三角函数第4章 解直角三角形的应用4.44.4.1 解直角三角形的应用
———仰角 俯角2.两锐角之间的关系呢?∠A＋∠B＝90°3.边角之间的关系呢？1.三边之间的关系是什么？ 在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
复习提问 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.新课引入 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.讲授新课如图4-16， BD 表示点B 的海拔， AE 表示点A 的海拔， AC⊥BD， 垂足为点C. 先测量出海拔AE， 再测出仰角∠BAC， 然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．提问：
通过仰角俯角的学习，你能把前面引入的问题转化为数学问题吗？画图说明.∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD， ∠BAC = 40°， 因此， Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.例1 如图４－17， 在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的A 处， 用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°， 仪器距地面高AE 为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1 m）.分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可. 如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离. 答：B处与河岸的距离约为250m．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m.例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，你知道这栋高楼有多高吗？（结果精确到0.1m）
分析：分别在两个直角三角形中，利用仰角俯角的正切，求出BD、CD即可.解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆高度（精确到0.1m）解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m)答：棋杆的高度为15.2m.2.本节学习以后，能说说解直角三角形常见的两种基本图形吗？1.什么是仰角？什么是俯角？例1 （2011 茂名） 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC＝ 米． 【答案】100例2 （2012 娄底）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG?30?，在E处测得∠AFG?60?，CE?8米，仪器高度CD?1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字， ≈1.732）.
解：大树AB的高约为8.4米．例3 （2012 遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， ≈1.73，精确到个位）
解：过点C作CD⊥AB于D，
∵BC=200m，∠CBA=30°，
∴在Rt△BCD中，CD= BC=100m，
BD=BC?cos30°≈173（m），
在Rt△ACD中，AD≈74（m），
∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．
答：隧道AB的长为247m．
结 束单位：东直门中学
姓名：胥世菊
课件16张PPT。锐角三角函数第4章 解直角三角形的应用4.44.4.2 解直角三角形的应用
——坡角 方位角2.两锐角之间的关系呢?∠A＋∠B＝90°3.边角之间的关系呢？1.三边之间的关系是什么？ 在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
复习提问 如图4-18， 从山脚到山顶有两条路AB与BD， 问哪条路比较陡？
右边的路BD陡些．如何用数量来刻画哪条路陡呢？新课引入在图4-19 中， ∠BAC 叫作坡角．
坡角：坡面与地平面的夹角α叫坡角．（坡度通常写成1 ∶ m的形式）．坡度越大，山坡越陡．例1 如图4-20， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m）●●分析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角α的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据求坡角a和β;解：在Rt△AFB中，∠AFB=90° 在Rt△CDE中，∠CED=90°例2 如图4-21， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？分析：在两个直角三角形中，分别利用300 、 600角的正切，用同一个参量x表示出AD 、 BD的长，进而用方程思想求解.因此，该船能继续安全地向东航行． 3.说说利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般过程是什么？什么是坡比？
东北方向指北偏东多少度？小结（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案,从而得到实际问题的答案.例1 (2012 广安)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
A例2 (2012聊城）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图），小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？
解：过点P作PC⊥AB于C.
在Rt△APC中，AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°.
∴ PC= 200×sin60°=200 × =100 m.
∵在Rt△PBC中，sin37°= ，
∴PB ≈ 289（m）
答：小亮与妈妈相距约289米.
?结 束单位：东直门中学
姓名：胥世菊
