湖北省武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 439.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-12 07:19:49 | ||
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文档简介
武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.在等差数列中，若是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.3
2.若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（ ）
A.12 B.45 C.60 D.90
4.若函数在处可导，则等于（ ）
A. B. C. D.0
5.过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6.已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.展开式中的系数是（ ）
A.5 B.65 C. D.
8.已知，，，试比较，，的大小（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A.6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B.6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C.6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D.6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
10.若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（ ）
A.若为椭圆，则
B.若为双曲线，则或
C.若为椭圆，则焦距为定值
D.若为双曲线，则焦距为定值
11.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（ ）
A.插入的第8个数为 B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C. D.
12.已知函数与有两个不同的交点，交点坐标分别为，，下列说法正确的有（ ）
A.在上单调递减，在上单调递增
B.的取值范围为
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为______.
14.已知，且能被17整除，则的取值可以是______（写出一个满足题意的即可）
15.已知，，若，则的取值范围是______.
16.如图，已知椭圆，其焦距为4，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）求曲线过点的切线方程
18.（12分）
已知正项数列满足
（1）求通项公式
（2）设数列满足，求数列的前项和
19.（12分）
为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛
（1）一共有多少不同的分组方案？
（2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
20.（12分）
已知函数
（1）求的单调区间
（2）试证明，
21.（12分）
如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接
（1）求椭圆的标准方程
（2）证明：直线过定点，并求出定点坐标
22.（12分）
已知函数
（1）当时，求在的切线方程
（2）若恒成立，求的取值范围
武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C C B D A B ABC ACD ABC ACD
填空题：
13.或 14.1（其他满足题意的均可）
15. 16.
解答题：
17.（10分）解：
（1），则在点处的切线的斜率
曲线在点处的切线方程为
（2）设曲线与过点的切线相切于点，则：
解得或2，
则曲线过点处的切线方程为和
18.（12分）解：
（1）当时，解得，由题知为正项数列，则
由题得，则，化简得：
所以为首项为4，公差为4的等差数列，则
所以，，时成立
（2）由（1）知
所以
化简得
19.（12分）解：
（1）队伍分配方案可分为两组都是3女2男或者一组1男4女，一组3男2女，则两组都是3女2男的情况有种
一组1男4女，一组3男2女的情况有种4分
所以总情况数为种
（2）总共可分为三种情况，如下：
若上场且不上场，情况有种
若上场且也上场，情况有种
若中有一人上场且上场，情况有种
综上所述，共有种排列方式
20.（12分）解：
（1）定义域为，对求导得，
化简整理得，所以在定义域内
所以在单调递减，无单调递增区间
（2），由第一问知在单调递减，则时，即，用替换得
裂项得，所以
整理得，得证
21.（12分）解：
（1）由题意知，，则椭圆的标准方程为
（2）设，，则，，由椭圆对称性可知，若存在定点，则定点必在轴上，当与轴重合时，显然成立，
所以设
联立解得，所以
，，
所以①
对
令，化简得②
将①式带入②式化简得
所以直线必过定点
22.（12分）解：
（1）求导得
，，所以切线方程为
（2）由题意得
变形得
设，即
显然为增函数，所以只需
设，求导得
当时，，，此时有最小值
所以，且，得
当时，恒大于0，此时时，
综上所述，
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.在等差数列中，若是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.3
2.若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（ ）
A.12 B.45 C.60 D.90
4.若函数在处可导，则等于（ ）
A. B. C. D.0
5.过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6.已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.展开式中的系数是（ ）
A.5 B.65 C. D.
8.已知，，，试比较，，的大小（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A.6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种
B.6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C.6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D.6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法
10.若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（ ）
A.若为椭圆，则
B.若为双曲线，则或
C.若为椭圆，则焦距为定值
D.若为双曲线，则焦距为定值
11.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（ ）
A.插入的第8个数为 B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C. D.
12.已知函数与有两个不同的交点，交点坐标分别为，，下列说法正确的有（ ）
A.在上单调递减，在上单调递增
B.的取值范围为
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为______.
14.已知，且能被17整除，则的取值可以是______（写出一个满足题意的即可）
15.已知，，若，则的取值范围是______.
16.如图，已知椭圆，其焦距为4，过椭圆长轴上一动点作直线交椭圆于、，直线、交于点，已知，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）求曲线过点的切线方程
18.（12分）
已知正项数列满足
（1）求通项公式
（2）设数列满足，求数列的前项和
19.（12分）
为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛
（1）一共有多少不同的分组方案？
（2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
20.（12分）
已知函数
（1）求的单调区间
（2）试证明，
21.（12分）
如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接
（1）求椭圆的标准方程
（2）证明：直线过定点，并求出定点坐标
22.（12分）
已知函数
（1）当时，求在的切线方程
（2）若恒成立，求的取值范围
武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C C B D A B ABC ACD ABC ACD
填空题：
13.或 14.1（其他满足题意的均可）
15. 16.
解答题：
17.（10分）解：
（1），则在点处的切线的斜率
曲线在点处的切线方程为
（2）设曲线与过点的切线相切于点，则：
解得或2，
则曲线过点处的切线方程为和
18.（12分）解：
（1）当时，解得，由题知为正项数列，则
由题得，则，化简得：
所以为首项为4，公差为4的等差数列，则
所以，，时成立
（2）由（1）知
所以
化简得
19.（12分）解：
（1）队伍分配方案可分为两组都是3女2男或者一组1男4女，一组3男2女，则两组都是3女2男的情况有种
一组1男4女，一组3男2女的情况有种4分
所以总情况数为种
（2）总共可分为三种情况，如下：
若上场且不上场，情况有种
若上场且也上场，情况有种
若中有一人上场且上场，情况有种
综上所述，共有种排列方式
20.（12分）解：
（1）定义域为，对求导得，
化简整理得，所以在定义域内
所以在单调递减，无单调递增区间
（2），由第一问知在单调递减，则时，即，用替换得
裂项得，所以
整理得，得证
21.（12分）解：
（1）由题意知，，则椭圆的标准方程为
（2）设，，则，，由椭圆对称性可知，若存在定点，则定点必在轴上，当与轴重合时，显然成立，
所以设
联立解得，所以
，，
所以①
对
令，化简得②
将①式带入②式化简得
所以直线必过定点
22.（12分）解：
（1）求导得
，，所以切线方程为
（2）由题意得
变形得
设，即
显然为增函数，所以只需
设，求导得
当时，，，此时有最小值
所以，且，得
当时，恒大于0，此时时，
综上所述，
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