2023-2024学年甘肃省天水一中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年甘肃省天水一中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-12 10:50:31 | ||
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文档简介
2023-2024学年甘肃省天水一中高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.““是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知定义域为的偶函数满足：对任意的，，，都有若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知，且，则( )
A. B.
C. D.
12.已知函数，若存在，使得成立，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则函数的值域为______．
14.函数的单调递增区间是______ ．
15.已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______ ．
16.函数且图象过定点，且满足方程，则最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知命题：任意实数满足，命题：实数满足．
若命题为假命题，求实数的取值范围；
若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
化简；
若，，求．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间；
写出函数的解析式；
若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围只需写出结论
20.本小题分
已知函数．
求的解析式；
试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
21.本小题分
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.本小题分
已知函数在上的最大值与最小值之和为
求实数的值；
对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合的真子集个数为．
故选：．
先求出集合，再利用集合的真子集个数公式求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的真子集个数公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，解得．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
，解得即可判断出结论．
本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，为非奇非偶函数，故A不符合题意；
对于，是偶函数，且在上单调递增，故B符合题意；
对于，为奇函数，故C不符合题意；
对于，为非奇非偶函数，故D不符合题意．
故选：．
由常见函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递减，
若，则或，
解得或，
即的取值范围是为或．
故选：．
根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可．
本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为函数，在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，，所以的零点所在的区间为．
故选：．
先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解．
本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得，
所以．
故选：．
利用幂函数的单调性判定即可．
本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为．
故选：．
根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，即．
当时，，
当时，，，
所以．
因为，
所以或，
解得，，，，
所以．
故选：．
首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对不等式的判断，可代入特例判断选项错，属于基础题．
可代入特例判断选项错，可由性质定理判断对．
【解答】
解：若，则，对，
由不等式同向可加性，若，，则，对，
当令，，，，则，错，
令，，则，错．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：依题意，，即，
则且，，故C正确；
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知得判断，根据指数运算判断，根据对数运算性质判断．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
可得，故B正确，
又，，
，
，故A正确，
，故C错误，D正确．
故选：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得，即可判断，结合范围，可得，即可得解，即可判断，进而利用平方差公式即可判断．
本题考查三角函数的化简求值，考察平方关系与同角三角函数间的关系式的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的应用，属于较难题．
画出函数的图象，利用，确定，，的范围，逐一判断即可．
【解答】
解：如图，画出函数的图像
可知，，，
则，且，故B错误；
所以，即，故A正确；
因为，所以，故D错误；
，故C正确．
故答案选：．
13.【答案】
【解析】解：令，，则，
所以原函数可转化为，，
由二次函数的性质可得，
所以函数的值域为
故答案为：
令，，将函数转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数的定义域，即或，
令，
则在上单调递增，
要求函数的单调递增区间，由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知只需求单调递增区间，即，
因此函数的单调递增区间是．
故答案为：．
先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间．
本题考查了求复合函数的单调区间，也考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由在区间上是单调减函数，有，
解得，则的取值范围为．
故答案为：．
根据单调性分别列不等式计算即可．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，且，令，得，所以定点的坐标为，
代入方程得，，
即，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
先求出定点，代入方程得到，的等式，再根据基本不等式可求得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：若命题为假命题，则，解得，故实数的取值范围为；
若命题为真命题，则或，其对应的集合为或，
若命题为真命题，则或，其对应的集合为或，
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以，可得不同时取等号，解得，即实数的取值范围为．
【解析】根据题意，，解之可得答案；
命题是命题的必要不充分条件，则的解集是解集的真子集，从而建立关于的不等式组，算出答案．
本题主要考查一元二次不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：
；
因为，
所以，
则，
所以，
解得，
所以．
【解析】利用诱导公式和化弦为切化简函数；
利用同角三角函数的平方关系列式计算即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
结合图象可知，函数 的单调递减区间为和．
因为当时，，
所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为．
因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，
结合中的图象可知，当时，与的图象有个交点，
所以．
【解析】利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
利用函数是奇函数，求函数的解析式；
利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
所以．
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，，，所以，
所以，所以在上单调递增．
【解析】利用凑配法求得的解析式．
先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明．
本题考查函数解析式的求解，单调性的性质判断以及应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，
又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
方案二更合理，理由如下：
方案一：由知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由可得，平均盈利额为．
当且仅当，即时，等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；
分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，比较即可得出结论．
本题考查函数模型的运用和基本均值不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为函数，在上的单调性相同，
所以函数在上是单调函数，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得或舍，
所以实数的值为．
由可知，因为对于任意的，不等式恒成立，所以对于任意的，恒成立，
当时，为单调递增函数，
所以，所以，即，
所以实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数恒成立问题，考查函数单调性的应用以及最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
由函数在上是单调函数，从而可得在上的最大值与最小值之和为，计算即可求解的值；
将已知不等式转化为对于任意的，恒成立，求出的最大值，即可求解的取值范围．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.““是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知定义域为的偶函数满足：对任意的，，，都有若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知，且，则( )
A. B.
C. D.
12.已知函数，若存在，使得成立，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则函数的值域为______．
14.函数的单调递增区间是______ ．
15.已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______ ．
16.函数且图象过定点，且满足方程，则最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知命题：任意实数满足，命题：实数满足．
若命题为假命题，求实数的取值范围；
若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
化简；
若，，求．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间；
写出函数的解析式；
若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围只需写出结论
20.本小题分
已知函数．
求的解析式；
试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
21.本小题分
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.本小题分
已知函数在上的最大值与最小值之和为
求实数的值；
对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合的真子集个数为．
故选：．
先求出集合，再利用集合的真子集个数公式求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的真子集个数公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，解得．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
，解得即可判断出结论．
本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，为非奇非偶函数，故A不符合题意；
对于，是偶函数，且在上单调递增，故B符合题意；
对于，为奇函数，故C不符合题意；
对于，为非奇非偶函数，故D不符合题意．
故选：．
由常见函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递减，
若，则或，
解得或，
即的取值范围是为或．
故选：．
根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可．
本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为函数，在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，，所以的零点所在的区间为．
故选：．
先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解．
本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得，
所以．
故选：．
利用幂函数的单调性判定即可．
本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为．
故选：．
根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，即．
当时，，
当时，，，
所以．
因为，
所以或，
解得，，，，
所以．
故选：．
首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对不等式的判断，可代入特例判断选项错，属于基础题．
可代入特例判断选项错，可由性质定理判断对．
【解答】
解：若，则，对，
由不等式同向可加性，若，，则，对，
当令，，，，则，错，
令，，则，错．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：依题意，，即，
则且，，故C正确；
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知得判断，根据指数运算判断，根据对数运算性质判断．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
可得，故B正确，
又，，
，
，故A正确，
，故C错误，D正确．
故选：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得，即可判断，结合范围，可得，即可得解，即可判断，进而利用平方差公式即可判断．
本题考查三角函数的化简求值，考察平方关系与同角三角函数间的关系式的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的应用，属于较难题．
画出函数的图象，利用，确定，，的范围，逐一判断即可．
【解答】
解：如图，画出函数的图像
可知，，，
则，且，故B错误；
所以，即，故A正确；
因为，所以，故D错误；
，故C正确．
故答案选：．
13.【答案】
【解析】解：令，，则，
所以原函数可转化为，，
由二次函数的性质可得，
所以函数的值域为
故答案为：
令，，将函数转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数的定义域，即或，
令，
则在上单调递增，
要求函数的单调递增区间，由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知只需求单调递增区间，即，
因此函数的单调递增区间是．
故答案为：．
先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间．
本题考查了求复合函数的单调区间，也考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由在区间上是单调减函数，有，
解得，则的取值范围为．
故答案为：．
根据单调性分别列不等式计算即可．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，且，令，得，所以定点的坐标为，
代入方程得，，
即，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
先求出定点，代入方程得到，的等式，再根据基本不等式可求得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：若命题为假命题，则，解得，故实数的取值范围为；
若命题为真命题，则或，其对应的集合为或，
若命题为真命题，则或，其对应的集合为或，
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以，可得不同时取等号，解得，即实数的取值范围为．
【解析】根据题意，，解之可得答案；
命题是命题的必要不充分条件，则的解集是解集的真子集，从而建立关于的不等式组，算出答案．
本题主要考查一元二次不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：
；
因为，
所以，
则，
所以，
解得，
所以．
【解析】利用诱导公式和化弦为切化简函数；
利用同角三角函数的平方关系列式计算即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
结合图象可知，函数 的单调递减区间为和．
因为当时，，
所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为．
因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，
结合中的图象可知，当时，与的图象有个交点，
所以．
【解析】利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
利用函数是奇函数，求函数的解析式；
利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
所以．
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，，，所以，
所以，所以在上单调递增．
【解析】利用凑配法求得的解析式．
先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明．
本题考查函数解析式的求解，单调性的性质判断以及应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，
又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
方案二更合理，理由如下：
方案一：由知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由可得，平均盈利额为．
当且仅当，即时，等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；
分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，比较即可得出结论．
本题考查函数模型的运用和基本均值不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为函数，在上的单调性相同，
所以函数在上是单调函数，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得或舍，
所以实数的值为．
由可知，因为对于任意的，不等式恒成立，所以对于任意的，恒成立，
当时，为单调递增函数，
所以，所以，即，
所以实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查函数恒成立问题，考查函数单调性的应用以及最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
由函数在上是单调函数，从而可得在上的最大值与最小值之和为，计算即可求解的值；
将已知不等式转化为对于任意的，恒成立，求出的最大值，即可求解的取值范围．
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