2.3.2 圆的一般方程 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
2.3.2 圆的一般方程
新授课
1. 理解圆的一般方程及其特点.
2.理解方程满足圆的方程的条件，会进行圆的一般方程和标准方程的互化.
3. 能根据给定条件，运用待定系数法求圆的一般方程.
问题 ：(1)圆 (x – 1)2 + (y - 2)2 = 9 的圆心坐标、半径分别是什么？展开该方程，方程是何形式？
展开式：x2 + y2 – 2x - 4y -4 = 0.
圆心坐标：(1， 2)；半径为3；
(2)若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0，
由于 a，b，r 均为常数，可令 D =– 2a ， E =– 2b， F =a2 + b2 – r2，
则这个方程可以表示成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
知识点一：圆的标准方程
概念生成
圆的一般方程：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
O
x
y
A
r
M
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
圆的标准方程：
其中D = – 2a ， E = – 2b， F =a2 + b2 – r2
问题2：圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则下列二元二次方程中，哪些一定不是圆的方程？
（1）x2+2y2-2x-3y+7=0 （2）x2+xy+y2-3x-4y+5=0
（3）2x2+2y2-4x-4y+1=0 （4）x2+y2-2x-2y+3=0
圆的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的特点：
①x2 与 y2 系数相同且不等于 0；
②方程中无xy项.
（1）x2 与 y2 系数不相同，（2）xy项系数不为0，都不是圆的方程；
（3）（4）形式与圆的一般方程形式一致，可能是圆的方程.
例1 已知 都是 P上的点，求这个圆的方程.
解：方法1：(标准方程)设 P的圆心坐标为 ，半径为r (r>0).
则 P的标准方程为
由题意得，
解得a=-3，b=1，r2=25.
因此，所求圆的方程为
方法2：(一般方程)设所求圆的方程为
因为A(0，5)， B(1，-2)，C(-3，-4)都是圆上的点，代入得
解得
因此，所求圆的方程为
归纳小结
待定系数法求圆的方程
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；
(3)解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程.
注意：
① 若知道或涉及圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单；
② 若已知三点求圆的方程，常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
问题3：与 下列三个方程是否是圆的方程？为什么？
①2x2+2y2-4x-4y+1=0 ；②x2+y2-2x-2y+2=0；③x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0.
知识点二：满足圆的方程的充分条件.
所以上述方程是圆心在(1，1)，半径为的圆.
满足上述方程的实数只有x=1，y=1，因此不是圆的方程.
①
②
③ x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1
因为-1<0，不满足圆的定义，即不可以化成圆的标准方程形式
所以方程x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0不是圆的方程.
结论： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定是圆的方程.
问题3：与 下列三个方程是否是圆的方程？为什么？
①2x2+2y2-4x-4y+1=0 ；②x2+y2-2x-2y+2=0；③x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0.
思考：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
将方程①配方得： ，
(1)当D2 + E2 – 4F > 0时，方程①表示以 (，) 为圆心，为半径的圆；
(2)当D2 + E2 – 4F = 0时，方程①只有实数解 x = ，y = ，它表示一个点 (，)；
(3)当D2 + E2 – 4F < 0时，方程①没有实数解，它不表示任何图形.
圆的标准方程与一般方程的特点
圆的标准方程 圆的一般方程
方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
(D2 + E2 – 4F > 0)
圆心
半径长
特点
① 易于看出圆心与半径；
② 方程几何特征明显；
① 特殊的二元二次方程；
② 方程代数特征明显.
(a，b)
(，)
r
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
例2 判断下列方程是否是圆的方程；如果是，写出圆心坐标与半径；如果不是，说明理由；
(1)
所以这是圆的方程.
解：其中，
因为
又因为原方程可以化为
所以是圆心为(-2，3)，半径为5的圆的方程.
即
(2)
解：方程两边除以4，得
所以这是圆心为 ，半径为 的圆的方程.
配方得
(3)
解：其中，
所以此方程不是圆的方程.
因为
归纳小结
二元二次方程表示圆的两种判断方法
(1)计算 D2 + E2 – 4F 的值：
① 若其值为正，则表示圆； ② 若其值为0，则表示一个点；
③ 若其值为负，则不表示任何图形；
(2)将该方程配方为 (x + )2 + (y + )2 = ，根据圆的标准方程来判断.
1. 判断下列方程能否表示圆的方程，若能，请化成圆的标准方程形式.
(1)x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0； (2)2x2 + 2y2 – 12x + 4y = 0；
解：直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断即可；
(1)(– 2)2 + 42 – 4×(– 4) = 36 > 0 ；可化为 (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 9；
(2)先将方程二次项系数化为 1 得：x2 + y2 – 6x + 2y = 0
(– 6)2 + 22 = 40 > 0 ；可化为 (x – 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
练一练
根据本节课所学，回答下列问题：
1.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
2.二元二次方程表示圆的两种判断方法是什么？