2.2.4 点到直线的距离 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
2.2.4 点到直线的距离
新授课
情境：
如图，在铁路的附近有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？
1.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式，能应用两个距离公式解决有关距离问题
知识点一：点到直线的距离.
如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，如何求出点到直线的距离呢？
问题：（1）求出P（-1，2）到直线l1：2x+y-5=0的距离吗？
思路： 定义法，其步骤为：
求l 的垂线 的方程
解方程组，得交点P1的坐标
求|PP1|的长
设直线PP1的方程为
又因为直线PP1过P（-1,2 ），
解得C=5，所以PP1的方程为x-2y+5=0 .
解得P1（1,3）.
（2）求 到直线 的距离d .
设直线PP1的方程为
又因为直线PP1过 ，
直线PP1方程为
所以
①
②
解得
联立方程
方法一：
点到直线的距离公式
因此
代入l1，PP1直线方程得：
设
则
①
②
方法二：
③
②化简得：
④
①两边同时减去Ax0，By0，整理得
③
④
⑦
将④与⑥两边平方后相加可得：
因此
从而
x
y
O
l
P1
思考：（1）如图，直线PP1垂直于直线l，P2为直线上一点， 为l的法向量，则向量 可以怎样表示？
设 是直线 l 上任意一点，
则 到直线 l 的距离d 满足
是直线 l 的一个法向量
（2）从向量角度考虑，求 到直线 的距离.
x
y
O
l
P1
又因为 是直线 l 上的点，所以
从而
即
因为
1.点(1,-1)到直线 x-y+1=0的距离是(　　)
C
练一练
例1 已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，
求△ABC的BC边上的高.
整理为一般式方程为
因此所求高为
A(2，2)
2
C
x
y
O
B
1
解：直线BC的方程为
知识点二：两条平行直线之间的距离
思考：根据点到直线距离的求法，如何求两条平行线之间的距离？
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离.
d
例2 求平行线 与
之间的距离.
解：在l1的方程中，令y=0，则x=-1，因此(-1，0)为直线l1上一点.
又因为(-1，0)到6x-8y-5=0的距离为
所以所求距离为
例3 已知直线
求证：两条直线的距离为
解：设P（x1，y1）为l1上一点，则：
从而
因为P到l2的距离为
所以结论成立
思考：观察直线 Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0 的形式，说说上述式子有什么需要注意的？
归纳小结
两平行直线间距离公式：已知两条直线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 平行，则它们的距离为：
注意：① 直线方程要化成一般式； ② 两直线方程中 x，y 的系数要相同．
练一练
已知两平行直线l1：3x+5y+1=0和l2：6x+10y+5=0，求l1与l2间的距离.
解：l2：6x+10y+5=0可以化为3x+5y+=0,
∴l1与l2间的距离
根据今天所学回答下列问题：
1.点到直线的距离公式是什么？
2.两条平行直线之间的距离公式如何表示？