珠海一中2023-2024高一上学期元月阶段测试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：必修一
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（本题5分）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（本题5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题5分）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）已知函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：dB（分贝）]定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的（ ）倍.
A． B． C． D．
7．（本题5分）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．（本题5分）定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（本题5分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．第二象限角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限角
C．若角与角不相等，则与的终边不可能重合
D．若角与角的终边在一条直线上，则
10．（本题5分）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（本题5分）因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的图象关于轴对称
C．当时，
D．方程有四个不同的实根
12．（本题5分）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．最大值为8 D．的最大值为6
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（本题5分）已知，则函数 .
14．（本题5分）计算 .
15．（本题5分）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围 ．
16．（本题5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是
解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（本题10分）已知非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
18．（本题12分）已知
(1)化简；
(2)若，求的值.
19．（本题12分）已知函数，.
(1)用单调性的定义证明在上是单调减函数；
(2)若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
20．（本题12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)求的值；并求当时，的解析式；
(2)若函数，，求函数的最小值．
21．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且.
(1)若点的横坐标为，求的值；
(2)若点的横坐标为，求的值.
22．（本题12分）已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.珠海一中2023-2024高一上学期元月阶段测试
数学试卷答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：必修一
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（本题5分）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知，
故选：.
2．（本题5分）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用全称量词命题的否定方法直接写出结论即可.
【详解】命题：“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：“，”的否定是：，.
故选：C
3．（本题5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断出函数的奇偶性，排除CD，再利用特殊点的函数值得到正确答案.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除CD；
又，B错误，A正确.
故选：A
4．（本题5分）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出有两个异号零点时的取值范围，再根据真包含关系得到答案.
【详解】有两个异号零点，
需满足，解得，
A选项，是有两个异号零点的充要条件，A错误；
B选项，与无包含关系，不合要求，B错误；
C选项，是的真子集，满足要求；
D选项，是的真子集，故是充分不必要条件，D错误.
故选：C
5．（本题5分）已知函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于在上是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
6．（本题5分）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：dB（分贝）]定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的（ ）倍.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数运算，可得答案.
【详解】由题意可得：，，解得，，
则.
故选：B.
7．（本题5分）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.
【详解】，
，
，分子分母同时除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故选：B
8．（本题5分）定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得函数在上为减函数，且，又由函数的图象关于对称，可得函数在上为增函数，且，分类讨论可得答案.
【详解】因为对任意的，，且都有，
所以函数在上为减函数，
又由函数的图象关于对称，且，
所以函数在上为增函数， ，
对于，显然，
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键利用函数的对称性得出函数的单调性.
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．第二象限角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限角
C．若角与角不相等，则与的终边不可能重合
D．若角与角的终边在一条直线上，则
【答案】ABC
【分析】根据象限角的定义即可判断AB；根据终边相同的角的关系即可判断CD.
【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B，是第二象限角，是第一象限角，但，故B错误；
对于C，，则，但二者终边重合，故C错误；
对于D，角与角的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差的整数倍，
故，故D正确.
故选：ABC.
10．（本题5分）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】构造关于的方程求得的值判断选项A；利用同角三角函数关系求得的值判断选项B；分别求得，的值判断选项CD.
【详解】由，可得，
则，
解之得，或
又，则，故选项A判断正确；
则，，故选项B判断正确；
，故选项C判断错误；
，故选项D判断正确.
故选：ABD
11．（本题5分）因为函数的图象极似汉字“囧”，被戏称为“囧函数”，则下列描述中正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的图象关于轴对称
C．当时，
D．方程有四个不同的实根
【答案】BCD
【分析】根据函数有意义的条件，直接求得定义域即可判定A；根据偶函数的定义即可判定选项B；根据自变量的取值范围，可求得函数的值域，继而可以判定C；把方程根的个数转化函数的交点个数，画出函数图象即可判定D.
【详解】令得，，
故函数的定义域为，故A错误；
函数的定义域关于原点对称，且，
则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确；
当时，，
所以，所以当时，，故C正确；
方程，可化为，
设函数，其定义域为，
且满足，则其为偶函数；
考虑到也为偶函数，所以考查且情况即可，
当且时，，，
可画出两个函数的图象
由图可知两个函数有四个交点，即方程有四个不同的实根，
故D正确，
故选：BCD.
12．（本题5分）已知，则下列正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．最大值为8 D．的最大值为6
【答案】BC
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
D选项，，
整理得，，
当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
C选项，，
由D选项的分析可知：，所以C选项正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题（共20分）
13．（本题5分）已知，则函数 .
【答案】
【分析】利用配凑法直接求解析式即可.
【详解】，
所以.
故答案为：
14．（本题5分）计算 .
【答案】1
【分析】应用指对数运算性质化简求值即可.
【详解】.
故答案为：1
15．（本题5分）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】由得到，由零点个数得到不等式，求出答案.
【详解】，
∴，
，
∵函数在上恰有两个零点，
∴，解得，.
故答案为：
16．（本题5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是
【答案】且
【分析】由函数定义得且，，且，，进而有能成立，即有结合分类讨论，求参数范围.
【详解】由题设，且，，且，，
所以能成立，即能成立，则，
所以，显然，不存在满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
若，则满足题设；
故正实数的取值范围是且.
故答案为：且
【点睛】关键点点睛：由新定义得到能成立，得，讨论的区间判断的存在性确定参数范围.
四、解答题（共70分）
17．（本题10分）已知非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的补集和交集的定义可得结果.
（2）由“”是“”的充分条件，得,根据子集关系可得结果.
【详解】（1）当时，，，又，
所以.
（2）若“”是“”的充分条件，即,
因为P是非空集合，所以，即，
所以，解得，
故实数a的取值范围为：.
18．（本题12分）已知
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式即可化简；
（2）根据求出sinα，利用诱导公式结合统计三角关系运算求解﹒
【详解】（1）由题意可得：．
（2）因为，则，
且，则，
所以．
19．（本题12分）已知函数，.
(1)用单调性的定义证明在上是单调减函数；
(2)若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接利用函数单调性的定义证明；
（2）根据恒成立要求，分离参数，根据函数的单调性求最小值，求解即可
【详解】（1）任取，且，
则，
又，，
，，
，即，
在上是单调减函数．
（2）在上单调递减且恒有，
不等式对于任意恒成立，
即为，对于任意恒成立，
令，
当时取得最小值，，
所以的取值范围是．
20．（本题12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)求的值；并求当时，的解析式；
(2)若函数，，求函数的最小值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由函数奇偶性的性质将代入解析式即可求得的值；当时，满足时的解析式，代入其中，再由偶函数的性质即可求得当时的解析式.
（2）由题意可知时函数的解析式，代入中，求得的解析式为含有参数的二次函数，在对二次函数的对称轴分别在区间的左边，右边，中间三种情况分类讨论，即可求得函数的最值.
【详解】（1）；
设，则，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，则时，；
（2）当时，，
所以，对称轴为，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
综上所述
21．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且.
(1)若点的横坐标为，求的值；
(2)若点的横坐标为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的横坐标求解出，然后根据诱导公式化简原式并代入的值，则结果可求；
（2）根据的横坐标求解出，然后根据垂直关系求解出，结合二倍角公式、两角和的正弦公式求解出结果.
【详解】（1）因为点的横坐标为，
所以，所以，
所以.
（2）因为点的横坐标为，
所以，所以，
于是得，
又因为，
由图可知，
所以.
22．（本题12分）已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）时，函数，
不等式即为，
即，
解得，
∴不等式的解集为.
（2）设，，
根据题意知，在上恒成立，
①当时，解得，
若，则在上单调递增，
则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
则，不符合题意；
②当，即时，的图像为开口向下的抛物线，
要使在上恒成立，需，
即，解得或，
又∵，∴此时无解；
③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，
（i）当，即时，在上单调递增，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
（ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，此时无解；
（iii）当，即时，在上单调递减，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数.
