房山区2023—2024学年度第一学期期末检测试卷参考答案
九年级数学
第一部分 选择题（共16分，每题2分）
在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C A B D D
第二部分 非选择题（共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9.
10.
11. 或或（答案不唯一）
12.
13.
14.
15. 或
16.（1）；（2）
（注：第15题答对1个给1分，第16题一空1分）
三、解答题（共68分，第17 -22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解：
………….………..……….4分
. ………….………..……….5分
18. 证明： ∵， ………….………..……….2分
又∵， ………….………..……….4分
∴△∽△. ………….………..……….5分
19．（1）二次函数的图象，如图.
………….………..……….2分
抛物线的对称轴为直线. ………….………..……….3分
（2）当时，则的取值范围是. …….………..……….5分
20. 解：在△中，，，，
由勾股定理得：. ………..……….3分
∴. ………….………..……….5分
21. 解：（1）补全的图形如图所示： ………….………..……….2分
（2）在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等； …….………..……….3分
； 直径所对的圆周角是直角. …….………..……….5分
22. （1）证明：∵四边形是矩形，
∴.
∴. ………….………..……….1分
∵，
∴. ………….………..……….2分
∴. ………….………..……….3分
（2）解：在△中，，设，，
则.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在△中，，.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴. ………….………..……….5分
23. 解：（1）∵直线与双曲线相交于点.
∴ . ………….………..……….2分
把点代入得
.
∴. ………….………..……….3分
∴.
∴
∴
∴点的坐标为. ………….………..……….4分
（2）的取值范围是或. ………….………..……….6分
24.（1）证明：连接.
∵，
∴.
又∵，
∴. .……….1分
∵是⊙的直径，
∴.
∴. ………….………..……….2分
又∵是半径，经过⊙的半径外端.
∴是⊙的切线. ………….………..……….3分（2）解：在△中，
∵，，，
∴. ………….………..……….4分
∴.
∵是⊙的切线，切点为，
∴. ………….………..……….5分
在△中，
∵，，，
∴. ………….………..……….6分25. （1）. ………….………..……….2分
解：由题意可知.
∵当时，，
∴，解得，
∴函数关系为. ……….………..……….5分
（2）. ……….………..……….6分
26.（1）解：当时，.
∴抛物线与轴交点的坐标为.……….………..……….1分
∵点，在抛物线上，且，
∴，解得. ………….………..……….3分
（2）解：由，，
∵，
∴.
∴.
∵，
∴，即.
∵，
∴.
∴.
∴,即.
综上所述，. ………….………..……….5分
∵点在抛物线上，
∴，关于抛物线的对称轴对称，且.
∴,解得.
∴.
∴. ………….………..……….6分
27.（1）； ………….………..……….2分
（2）① 依题意补全图形，如图.
………….………..……….4分
② 用等式表示线段，与的数量关系：.
………….………..……….5分
证明：作，在截取，连接，.
∵ ,,
∴.
∵ △是等边三角形，
∴,.
又∵,
∴ .
∵ ∥，
∴.
∴.
∵,
∴ .
∴ △≌△（SAS）.
∴ ，.
∵ ，
∴ .
∴.
过点作于点，
在△中，
∵，，
∴.
∴.
又∵，
∴. ………….………..……….7分
28.（1）①，； ………….………..……….2分
②解：∵当时，，
∴一次函数的图象过点.
如图，当一次函数的图象与半径为的⊙相切时，
,得：.
如图，当一次函数的图象与轴的交点也是⊙与轴的交点时，,得：.
∴； ………….………..……….5分
图1 图2
（2） 或. ………….………..……….7分
16．若点 A(1，y1)， B(2 y
2
， 2 )在反比例函数 y 的图象上，则 y1，y2 的大小关系是x
（A） y1 y2 （B） y1 y2
（C） y1≥y2 （D） y1≤ y2
本试卷共 8 页，共 100 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在 7．如图，建筑物CD和旗杆 AB的水平距离 BD为9m，
试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
在建筑物的顶端C测得旗杆顶部 A的仰角 为30 ，
旗杆底部 B 的俯角 为 45 ，则旗杆 AB的高度为
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. （A） 3 2m （B） 3 3m
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （C） (3 2 9)m （D） (3 3 9)m
8．如图， AB是半圆O的直径，半径OC AB，点D是 B C的中点，连接 BD，OD，
AC， AD， AD与OC 交于点 E，给出下面三个结论：
① AD平分 CAB；② AC∥OD；③ AE 2DE .
（A） （B） （C） （D） 上述结论中，所有正确结论的序号是
x 5 x y （A）①② （B）①③
2．如果 ，那么 的值是
y 3 y （C）②③ （D）①②③
5 2 2 5
（A） （B） （C） （D） 二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
2 3 3 2
1
3．抛物线 y (x 1)2 2的顶点坐标是 9．函数 y 的自变量 x的取值范围是 ．x 1
（A） ( 1，2) （B） (1，2) 10．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 C 130 ，则 A ．
（C） ( 1， 2) （D） (1， 2) 11．请写出一个图象过点 (1，2)的函数表达式： ．
BAC 25 BOC 12．如图，在△ ABC中，点D， E分别在 AB， AC 上， DE∥ BC，O DE 3， BC 9 ，4．如图，在⊙ 中，若 ，则 的度数是
AE 2，则 EC的长为 ．
（A）15 （B） 25
（C）50 （D） 75
5．将二次函数 y x2的图象向上平移 5 个单位，得到的函数图象的表达式是
（A） y x2 5 （B） y x2 5
（C） y (x 5)2 （D） y (x 5)2
（第 10题图） （第 12题图）
九年级数学试卷第 1页（共 8页） 九年级数学试卷第 2页（共 8页）
学校________________ 班级________________ 姓名_________________
13．如图， A， B，D三点在半径为 5 的⊙O上， AB是⊙O的一条弦，且OD AB 于 19．已知二次函数 y x2 2x 3 .
点C，若 AB 8，则OC的长为 ． （1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；
（2）结合图象直接写出当 1 x 1时， y 的取值范围.
（第 13 题图） （第 14 题图）
14．如图，在 3 3的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O， A， B分别
是小正方形的顶点，点C在OB上，则 AC 的长为 ．
15．在△ ABC中， BC 2， AC 2 3， A 30 ，则△ ABC的面积为 ．
16．在平面直角坐标系 xOy中， A为 y 轴正半轴上一点. 已知点 B(1，0) ，C (5，0)，
⊙ P 是△ ABC的外接圆.
（1）点 P 的横坐标为 ；
（2）若 BAC最大时，则点 A的坐标为 ．
三、解答题（共 68 分，第 17-22 题，每题 5 分，第 23-26 题，每题 6 分，第 27-28 题，
每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算： 4sin 45 ( 3 1)0 5 8 .
20．如图，在 Rt△ ABC中， C 90 ， BC 5， AB 13．求 cos A的值．
18．如图，D， E分别是△ ABC的边 AB， AC上的点， ADE C．
求证：△ ADE ∽△ ACB．
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21．已知：如图⊙O． 24．如图， AB是⊙O的直径， AC ， BC是弦，点 D在 AB的延长线上，
求作：⊙O的内接正方形． 且 DCB DAC，⊙O的切线 AE与 DC的延长线交于点 E．
作法：①作⊙O的直径 AB； （1）求证：CD是⊙O的切线；
②作直径 AB的垂直平分线MN 交⊙O于点C，D； （2）若⊙O的半径为 2， D 30 ，求 AE的长.
③连接 AC ， BC， AD， BD．
所以四边形 ACBD就是所求作的正方形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN 是 AB的垂直平分线，
∴MN 过点O． 25. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球
∴ AOC COB BOD DOA 90 ． 被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系.
∴ AC BC BD AD ．（ ）（填推理的依据） 实心球从出手（点 A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度 y（单位：m）与水平
∴四边形 ACBD是菱形．
距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y a(x h)2 k (a 0) .
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ACB °．（ ）（填推理的依据）
∴菱形 ACBD是正方形．
22．如图，在矩形 ABCD中， AC 为对角线，DE AC， 九年级一名男生进行了两次训练.
垂足为点 E . （1）第一次训练时，实心球的水平距离 x与竖直高度 y 的几组数据如下：
（1）求证： DAE EDC；
水平距离 x / m 0 3 5 6 7 9
（2）若 BC 8， tan EDC 3 ，求DE的长.
4
y / m 17 59 59 17竖直高度 2 5
23．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x
k
与双曲线 y 相交于点 P(2，m)和 4 12 12 4
x
点Q . 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
（1）求m的值及点Q的坐标； y a(x h)2 k (a 0)；
（2）已知点 N (0，n) , 过点 N 作平行于 x轴的直线交直线 y x 与双曲线 （2）第二次训练时，实心球的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系
y k 分别为点 A(x1 ，y1 )和 B(x ，y 1 2 49x 2 2
) . 当 x1 x2 时，直接写出 n的取值范围 y (x 5) . 记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为 d1，第二次12 12
是 ． 训练实心球落地的水平距离为 d2 ，则 d1 d2（填“ ”“ ”或“ ”）.
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26．在平面直角坐标系 xOy中，点 (1，m)， (3，n)在抛物线 y ax2 bx 4 (a 0)上, 28．定义：在平面直角坐标系 xOy中，对于⊙M 内的一点 P ，若在⊙M 外存在点 P' ，
设抛物线的对称轴为 x t .
使得MP' 2MP ，则称点 P 为⊙M 的“内二分点”.
（1）当m n时，求抛物线与 y轴交点的坐标及 t的值；
（1）当⊙O的半径为 2 时，
（2）点 (x0 ，n) (x0 3)在抛物线上，若m n 4，求 t的取值范围及 x0 的取值范围. 3
① 在 P1 1，0 ， P2 (1， )， P3 ( 2， 1)， P4 ( 3， 1)四个点中，是⊙O的2
“内二分点”的是 ；
② 已知一次函数 y kx 2k 在第一象限的图象上的所有点都是⊙O的“内二
分点”，求 k的取值范围；
（2）已知点M (m，0)， B(0， 1)，C(1， 1)，⊙M 的半径为 4，若线段 BC上存在
⊙M 的“内二分点”，直接写出m的取值范围.
27．如图，在等边三角形 ABC中，E，F 分别是 BC， AC 上的点，且 BE CF，
AE， BF 交于点G .
（1） AGF °；
（2）过点 A作 AD∥ BC（点D在 AE 的右侧），且 AD BC ，连接 DG .
① 依题意补全图形；
② 用等式表示线段 AG， BG 与DG的数量关系，并证明.
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