数学人教A版（2019)必修第二册7.2.2复数的乘、除运算（共17张ppt）

(共17张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
1.掌握复数乘除的运算法则，能够进行复数的乘除运算
2.掌握在复数范围内一元二次方程的解法
导入
问题1：设a,b,c,d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
问题2：复数z1=a+bi, z2=c+di其中a,b,c,d∈R，则z1·z2=(a+bi)(c+di),按照上述运算法则将其展开,z1·z2等于什么？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
z1·z2 = (a+bi)(c+di)
= (ac-bd)+(ad+bc)i
= ac+adi+bci-bd
= ac+adi+bci+bdi2
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积
两个复数的积仍然是一个确定的复数
知识点1：复数的乘法运算
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
当z1 , z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.
问题：复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗
设 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i,其中a1,a2,b1,b2∈R,
因为 z1·z2=(a1+b1i)(a2+b2i)
z2·z1= (a2+b2i) (a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i,
又a1a2-b1b2 =a2a1-b2b1，b1a2+a1b2 =b2a1+a2b1,
所以 z1z2=z2z1（交换律）
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)
同理易得：
归纳总结
对任意z1，z2，z3∈C，都有
z1z2 = z2z1
(z1z2)z3 = z1(z2z3)
z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3
解：(1) (2+3i)(2-3i)
例1：计算 (1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2.
(2) (1+i)2
=4-(-9) =13
=22-(3i)
=1+2i-1 = 2i
=1+2i+i2
思考：若z1, z2是共轭复数，则z1z2是一个怎样的数？
归纳总结
常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(1±i)2＝±2i；
③(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
知识点2：复数的除法法则
思考：类比实数的除法是乘法的逆运算.复数的除法应该满足怎样的运算法则？
我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或
利用(c+di)(c－di)＝c2＋d2.于是将 的分母实数化得：
复数的除法法则：
两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数
根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.
复数除法: 分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
类比
例2：计算(1+2i)÷(3-4i).
解：
归纳总结
①先把(a+bi)÷(c+di)写成 的形式；
②把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di;
③再化简即可.
进行复数除法运算的方法：
例3：在复数范围内解下列方程：
(1) x2+2=0
(2) ax2+bx+c=0.其中a,b,c∈R,且a≠0. =b2-4ac<0
解：（1）因为
所以方程x2+2=0的根为
(2)将方程ax2+bx+c=0的二次项系数化为1得
配方，得
即
例3：在复数范围内解下列方程：
(2) ax2+bx+c=0.其中a,b,c∈R,且a≠0. =b2-4ac<0
所以原方程的根为
由 <0知
类似（1），可得
归纳总结
对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求解问题，当 <0时，此时方程两根满足：
(1)根与系数关系仍然成立，即
(2)两个根互为共轭复数
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为：
①当 ≥0时，
②当 <0时，
要点概括整合
运算律
复数的乘法
复数的除法
共轭复数积的特点
运算法则
定义
运算法则
定义