2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八校高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市大丰区八校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
3.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成个圆环，解开九连环共需要步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第个圆环最少需要移动的次数为( )
A. B. C. D.
4.与圆以及圆都外切的动圆的圆心轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 圆
5.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点如图，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.已知圆：与圆：的公共弦所在直线经过定点，且点在直线上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且轴，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知圆：，，是直线：上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，，使得，则线段长度的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是( )
A. 当且时，曲线是椭圆
B. 当或时，曲线是双曲线
C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
10.台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线：的准线为：，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与轴相交
C. 最小值为
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有条
12.双曲线的左、右焦点分别、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则( )
A. 到轴的距离为
B. 点的轨迹是双曲线
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线：的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为______ ．
14.已知函数，则函数的最小值为______ ．
15.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______ ．
16.已知动点在抛物线上，过点引圆：的切线，切点分别为，，则的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：及点．
证明直线过某定点，并求该定点的坐标；
当点到直线的距离最大时，求直线的方程．
18.本小题分
已知是等差数列的前项和，且，．
求数列的通项公式与前项和；
若且数列的前项和为，求．
19.本小题分
已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于．
求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
记中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．
20.本小题分
双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为．
求的方程；
是否存在直线，经过点且与双曲线于，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，椭圆的上顶点为，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于、两点．
求椭圆的方程；
求的取值范围；
若点关于轴的对称点为点，证明：直线与轴相交于定点．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为．
求抛物线的方程；
若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹方程；
过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为直线与轴平行，
所以直线的倾斜角为．
故选：．
根据直线的倾斜角的定义，直接求出直线的倾斜角．
本题主要考查直线的倾斜角的定义及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由可得，
，可得，
故准线方程为．
故选：．
将抛物线方程化为标准方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
由解下第个圆环可得，
又，
则，
所以．
故选：．
题意即为求出，根据数列的递推关系，和，，即可得出答案．
本题考查数列的应用及数列的递推关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：易知圆的圆心，半径，
圆，
圆心为，半径为，
易知，
所以上述两圆相内切，切点为，
故若有动圆与上述两圆均外切，则切点必为，则、、三点共线，
不妨设该动圆圆心为，半径为，
则有，且或，
当时，上式化为恒成立，
当时，上式化为，恒不成立，
综上为动圆圆心的轨迹．
故选：．
把条件转化为动圆圆心到圆和的圆心距离的差为定值，即可判断．
本题考查动点轨迹问题，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：不妨设椭圆的方程为，双曲线方程为，
由图知，，
其中，
上面两式相减得，
由图知，
所以，
此时，
即，
则，
解得，
所以的长轴长与的实轴长之比为．
故选：．
由题意，设出椭圆方程和双曲线方程，利用椭圆的定义和双曲线的定义得到相关方程，求出的周长和的周长，根据题意列出方程，求出，进而即可求解．
本题考查椭圆和双曲线的定义，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：已知：，：，
将两圆作差得：，
即两圆公共弦所在直线方程为：，
易知直线恒过，即点坐标为，
将点坐标代入中得：，
，
故的取值范围是．
故选：．
首先将两个圆直接作差即可求出公共弦所在直线方程，然后求出定点的坐标，代入直线方程中，根据二次函数进行求解取值范围即可．
本题考查圆与圆的位置关系，考查公共弦问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，可将点坐标代入椭圆方程得
，解得．
如图所示，过点作轴，垂足为点，设，
根据题意及图可知，∽，
，，
，
．
又．
点坐标为
将点坐标代入椭圆方程，得．
结合，解得，
故选：．
本题根据题意可得，然后过点作轴，垂足为点，设，根据两个直角三角形相似可计算出点坐标，再将点坐标代入椭圆方程，结合，可解出的值．
本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，圆心到直线：的距离为，所以直线与圆相交，
当点在圆内部时，显然成立，
当点在圆外部时，从直线上的点与圆上的点的连线所处的角，
当且仅当两条线均为切线时，才是最大角，如图所示，
不妨设切线分别为，，
由，可得，且，
又由，解得，
可得，
所以长度的最大值为．
故选：．
根据题意，当点在圆内部时，显然成立；当点在圆外部时，转化为才是最大角，由，得到，结合，求得，利用圆的性质，即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若方程表示的曲线为椭圆，
此时，
解得且，故选项A正确；
当，
即时，该椭圆的焦点在轴上，故选项C错误；
若方程表示的曲线为双曲线，
此时，
解得或，故选项B正确；
当，
即时，该双曲线的焦点在轴上，故选项D错误．
故选：．
由题意，根据椭圆和双曲线的性质，列出不等式组，再进行求解即可．
本题考查椭圆和双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，
如图：关于的对称点为，关于的对称点为；
根据直线的对称性可得：；
如图：关于的对称点为，关于的对称点为，
根据直线的对称性可得：．
故选：．
结合题意分别画出两种情况的图形，结合图形解三角形即可．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：易知抛物线的准线的方程为，
所以，
则抛物线的方程为，焦点，
过点作于，作于，
易知，故选项A正确；
因为，
所以以为直径的圆的半径，线段的中点坐标为，
而线段的中点到轴的距离，
所以以为直径的圆与轴相切，故选项B错误；
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故选项C正确；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个公共点；
当直线的斜率存在时，
不妨设直线方程为，
联立，消去并整理得，
因为直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以，
解得或，
综上，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线共有条，故选项D不正确．
故选：．
由题意，根据焦点弦公式即可判断选项A；先求出线段的中点坐标及圆的半径，进而可判断选项B；根据抛物线的定义得到，结合以及基本不等式即可判断选项C；对直线斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用判别式为零，进而可判断选项D．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设圆与三边，，的切点为，，，
则
，即，
又，
联立式得，故，显然，横坐标相等，故I到轴的距离为，选项A正确；
过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，
，则为中点且，连接，
由中位线定理可知，
故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B项错误；
若，则等价于，即，故C项正确；
若，设椭圆的长半轴为，由可知，
为直角三角形，，
由双曲线性质可知，由椭圆性质可知，
由勾股定理可得，式联立可解得，
即，故D选项正确．
故选：．
作出基本图形，结合内切圆性质和切线长定理，双曲线第一定义可证，判断项；结合内切圆性质和垂线性质可判断为中点，，连接，易得，由双曲线第一定义可证，判断项；由内切圆性质易得，判断项；由，易得为直角三角形，结合双曲线第一定义，椭圆第一定义，勾股定理可判断项．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：易知双曲线的右焦点，
取一条渐近线方程为，
此时，
因为，
所以是以为底的等腰直角三角形，
可得，
则．
故答案为：．
由题意，根据双曲线方程得到焦点坐标和渐近线方程，进而推出为等腰直角三角形，再代入三角形面积公式中即可求解．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
当时，函数在上单调递增，
所以；
当时，函数，，
所以函数在上单调递减，所以；
综上所述，函数的最小值为．
故答案为：．
将函数去绝对值，转化为分段函数形式，分别判断单调性即可求出最小值．
本题考查利用函数的单调性求最值，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：设双曲线的右焦点，连接，．
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得．
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
利用中位线结合双曲线的性质，解得，解得，然后转化成，求得离心率．
本题考查了双曲线的离心率，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由圆：，可得圆心为，半径为，
则四边形的面积为，
所以，
在直角中，可得，
所以，
设，则，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为．
故答案为：．
根据题意，利用四边形的面积等于和圆的切线长公式，得到，设，得到，结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：直线方程整理为，
由，解得，所以直线过定点．
记定点为，易知点到直线的距离，
当时，，，，
直线方程为，即．
【解析】直线方程整理为关于，的方程，然后由，的系数为求得定点坐标；记定点为，由直线可得．
本题考查直线方程的性质，考查动点问题，属于基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，则，解得．
所以数列的通项公式为，
数列的前项和．
由得，所以当时，，；
由得，所以当时，，．
所以，当时，；
当时，
．
所以，．
【解析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解；
根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想、方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可知，，整理，得，
故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆．
由题意可知
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，解得，
所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
【解析】根据题意直接列方程化简求解即可，
分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果．
本题考查了与圆有关的轨迹方程，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想和方程思想，属中档题．
20.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以，
解得，
因为焦点到该渐近线的距离为，
所以，
解得，
又，
联立，解得，
则双曲线的方程为；
假设存在，
易知直线的斜率存在，
不妨设，，直线的斜率为，
易知，，
所以，，
两式相减得，
即
此时，
所以，
解得，
所以直线的方程为，
即，
经检验直线：与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为．
【解析】由题意，根据双曲线的性质以及点到直线的距离公式进行求解即可；
设出，两点的坐标和直线的斜率，利用点差法进行求解即可．
本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】由题可得，解得，
则椭圆的方程为；
由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
将直线方程代入椭圆方程可得：，
由得：，解得，
设，，
则，
，
，
，所以，
所以，所以，
的取值范围是；
、两点关于轴对称，，，
因为
，
，
直线的方程为：，
令得：
．
直线与轴交于定点．
【解析】根据椭圆的离心率与过一点，即可得椭圆方程；
联立直线与椭圆得交点坐标关系，根据坐标运算即可得的取值范围；
利用直线方程可得，确定直线方程，即可得轴交点，即可得结论．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，以及直线过定点问题，考查了数学运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：抛物线：的焦点为，可得，即，
则抛物线的方程为；
设线段的中点，，
则，，即，，
由动点在抛物线上，可得，
即为，化为；
由题意知：直线，的斜率均存在，
不妨设：，，，，，
则，
由得：，
则，即；，，
，；
同理可得：，
，，
，
当且仅当，即时取等号，
面积的最小值为．
【解析】由抛物线的焦点坐标可得，进而得到抛物线的方程；
由中点坐标公式和抛物线的方程，可得所求轨迹方程；
由题意可得直线，的斜率均存在，不妨设：，，，，，则，将、的方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三角形的面积公式和基本不等式，计算可得所求最小值．
本题考查抛物线的方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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