2023-2024学年山东省烟台市招远市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省烟台市招远市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下面四个几何体中，其左视图不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若反比例函数的图象位于第二、四象限内，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定
4.一个不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“”、“”，除数外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录上面的数后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录上面的数，那么两次记录的数之和为的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直径，，点为的中点，交于点，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，把一块含的直角三角板的一个锐角顶点放在半径为的上，边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为，点，，，都在格点上，与相交于点，则的正弦值是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，分别过、两点作的垂线，，垂足为，，连接平分；；若，，则的长为；若，，则，其中结论正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图是两棵小树在同一时刻的影子，请问它们的影子是在______ 光线下形成的填“灯光”或“太阳”．
12.某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数
优等品的频数
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是______ 精确到
13.如图，正五边形内接于，点为上一点点与点，点不重合，连接、，，垂足为，等于 度．
14.如图，抛物线过点、、，平行于轴的直线交抛物线于、，以为直径的圆交直线于点、，则的值是______．
15.如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点若，则点的坐标为______ ．
16.如图所示，在扇形中，，半径，点位于弧的处且靠近点的位置，点、分别在线段、上，，为的中点，连接，在滑动过程中长度始终保持不变，当取最小值时，阴影部分的周长为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，已知弓形的弦长，弓高，，并经过圆心．
请利用尺规作图的方法找到圆心；保留作图痕迹，不必写作法
求弓形所在的半径的长．
19.本小题分
小南发现操场中有一个不规则的封闭图形如图，为了计算它的面积，他在封闭图形内画了一个半径为的圆，在不远处向封闭图形内掷石子，若石子落在封闭图形外部，则重掷记录结果如下：
石子落在圆内含圆上的次数
石子落在阴影部分的次数
根据以上数据，小南得到了封闭图形的面积．
请根据以上信息，回答下列问题：
估计石子落在阴影部分的概率______ ；
估计封闭图形的面积，并写出推理过程．
20.本小题分
某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
本次调查中，选项对应的扇形圆心角是______度；
请补全条形统计图；
若该校九年级共有学生人，则估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是______；
若甲、乙两名学生放学时从、、、、五种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率．
21.本小题分
一家水果超市以每斤元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．
若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是______ 斤用含的代数式表示；
销售这批橘子要想每天盈利元，且保证每天至少售出斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？
22.本小题分
如图，在矩形中，，，点在对角线上，以点为圆心，以的长为半径作交于点，连接．
当的半径为时，此时与直线的位置关系是怎样的？请说明理由；
若当是的切线时，请求出线段的长．
23.本小题分
“日照间距系数”反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数：，其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度，如图，山坡朝北，长为，其坡度为：，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部到点的距离为欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为，要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处至少多远？
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点为轴负半轴上的一个动点，画的外接圆，圆心为，连结并延长交于点，连结．
当点位置如图所示，求证：．
当直径为时，求点的坐标．
如图，连结，请直接写出的最小值．
25.本小题分
如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点．
求抛物线的表达式；
在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意知，选项左视图为正方形，是中心对称图形，故选A不符合题意；
选项左视图为圆，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
选项左视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故C选项符合题意；
选项左视图为矩形，是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：．
根据三视图的知识及中心对称的概念得出结论即可．
本题主要考查左视图和中心对称的知识，熟练掌握三视图和中心对称的知识是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限内，
，
．
故选：．
由反比例函数的系数，图象经过二、四象限求解．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握时，反比例函数图象经过一、三象限，时，图象经过二、四象限．
3.【答案】
【解析】解：的半径等于，圆心到直线的距离为，，
直线与相交．
故选：．
根据“若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离”即可得到结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相交是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次记录的数之和为的结果有：，，共种，
两次记录的数之和为的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次记录的数之和为的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接．
是中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
连接，证明，，求出，可得结论．
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】
【解析】解：抛物线与直线交于点，抛物线与轴交于点，
当时，．
故选：．
结合函数图象，写出两函数图象都在轴上方且正比例函数图象在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，，
在中，，半径为，
，
位于三角板内部的弧的长度为：，
故选：．
连接，，根据题意和圆周角定理得，根据弧长公式进行计算即可得．
本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
8.【答案】
【解析】解：过作轴于，
四边形是正方形，
，
，
，
设，则，
，
解得，，
的值为，
故选：．
过作轴于，根据正方形的性质得到，得到，利用待定系数法求得、的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：把平移到，过作于，
，
由勾股定理得：，，
的面积，
，
，
，
．
故选：．
把平移到，过作于，得到，由勾股定理求出，，由三角形面积公式得到，求出，即可求出，于是得到．
本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出的长，求出．
10.【答案】
【解析】解：设交于点，连接、、，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，
故正确；
是的直径，
，
，
∽，
，
，
故正确；
，，
，，
，
，
的长不等于，
故错误；
，，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故正确，
故选：．
设交于点，连接、、，由切线的性质得，而，所以，则，而，则，可判断正确；再证明∽，得，则，可判断正确；由，，得，，则，即可由弧长公式求得，可判断错误；由，得，则，由，得，则≌，得，再证明∽，得，求得，所以，则，所以，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、弧长公式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11.【答案】灯光
【解析】解：树的顶点和影子的顶点的连线会相交于一点，所以是中心投影，即它们的影子是在灯光光线下形成的．故填：灯光．
可由树的顶点和影子的顶点的连线会相交还是平行，从而确定是中心投影还是平行投影，再由“太阳”和“灯光”的特点确定．
本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．可运用投影的知识或直接联系生活实际解答．
12.【答案】
【解析】解：从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是，
故答案为：．
由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】【分析】
连接，求出的度数，再根据圆周角定理得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理，属于中考常考题型．
【解答】
解：连接、，如图所示：
是正五边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：
点坐标为，
如图，为直径的中点，连接，过点作于．
则，，
则
．
故答案是：．
根据题意，为直径的中点，连接，过点作于知，分别求出，即可．
考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，此题首先要正确分析出各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
15.【答案】
【解析】解：过点分别作轴于点、轴于点，连接，如图，
轴，轴，
四边形为矩形，
，，
与轴相切，
为的半径，
点坐标为，
，，
是切线，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
点在轴上，
点坐标为．
故答案为：．
连接，过点分别作轴、轴，利用根据圆的切线性质可知、为直角三角形，，利用直角三角形中角的性质和勾股定理分别求出、、的长度，进而求出、的长度即可求得答案．
本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，取的中点，连接．
，，
，
的长，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，
此时，
，，
是等边三角形，
，
，
，
此时阴影部分的周长为．
故答案为：．
如图，连接，，，取的中点，连接证明是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出，，推出当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，求出，，的长即可．
本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为，那么的圆心角所对的弧的长度为．
17.【答案】解：．
．
【解析】将特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握是实数的运算法则是解题关键．
18.【答案】解：如图，点即为所求；
连接，设，
，
，
在中，，
，
解得，
，即的半径为．
【解析】作线段的垂直平分线交的延长线于点，点即为所求；
连接，设，利用勾股定理求解即可．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】
【解析】解：观察表格得：随着投掷次数的增大，故石子落在阴影内的频率为，
故答案为：；
设封闭图形的面积为，小石子落在圆内含圆上的频率值稳定在，
根据题意得：，
解得：，
则封闭图形的面积为．
大量试验时，频率可估计概率；
利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】 人
【解析】解：本次调查的学生人数为：人，
则选项对应的扇形圆心角是，
故答案为：；
选项的人数为：人，
补全条形统计图如下：
人，
即估计该校学生放学选择乘坐学校定制公交车的人数是人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的结果有种，
甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的概率为．
由的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题；
求出选项的人数，补全条形统计图即可；
由该校九年级共有学生人数乘以选择乘坐学校定制公交车的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】
【解析】解：将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是斤；
根据题意得：，
解得：，，
当时，销售量是；
当时，销售量是斤．
每天至少售出斤，
．
答：水果店需将每斤的售价降低元．
设每斤的售价降低元，每天获利为元，
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值为元，
售价为元，
答：当每斤橘子售价为元时，才能在一天内获得最大，最大利润是元．
销售量原来销售量下降销售量，据此列式即可；
根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可；
根据销售量每斤利润总利润列出函数解析式求解即可；
本题主要考查的是二次函数的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．
22.【答案】解：与直线相切．理由如下：
四边形是矩形，
，，，
在中，
，
的半径为，
，
，
过点作于，
，
∽，
，
，
，
与直线相切；
连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
【解析】根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到根据相似三角形的判定和性质定理得到，根据切线的判定定理得到与直线相切；
连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质和判定，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
23.【答案】解：山坡坡度为：，
，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
由题意得：，，，
日照间距系数：，
该楼的日照间距系数不低于，
，
解得：，
答：要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处至少远．
【解析】根据坡度的概念和勾股定理计算得到，根据日照间距系数的概念、根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
；
解：，，
，，
，
，，
∽，
，
，
点的坐标为；
解：如图，记直线与轴的交点为，
，
，
当最小时，，
此时，．
的最小值为．
【解析】如图，连接，由圆周角定理得到：，，所以等角的余角相等：；
根据勾股定理求得，；由“两角法”证得∽，则该相似三角形的对应边成比例，由此求得线段的长度，结合平面直角坐标系可得到点的坐标；
如图，记直线与轴的交点为，由题意知，当最小时，，此时，通过解直角三角形求得线段的长度．
此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理，相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
能，理由：
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为，
设点，则点，
则，
直线和轴的夹角为，
则，
解得：，
即点的坐标为：；
存在，理由：
设点，而点，
则，，，
当时，
则，
解得：；
当或时，
同理可得：或，
解得：舍去或或或，
即点的坐标为：或或
【解析】由待定系数法即可求解；
，而直线和轴的夹角为，则，即可求解；
当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键．
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