山东省济南市莱芜区一中2023-2024学年高二上学期第三次核心素养测试数学试题（含答案）

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莱芜一中六十三级高二上学期核心素养测评
数学试题
2024年1月
本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A. B.1 C.2 D.3
3.等比数列中，若，，则（ ）
A.9 B. C. D.27
4.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
5.如右图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.1 B. C. D.
6.已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（ ）
A. B. C. D.
7.一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
8.若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A.28 B.29 C.30 D.31
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线：，则（ ）
A.若，则曲线是圆 B.若，，则曲线是椭圆
C.若，则曲线是双曲线 D.若，，则曲线是一条直线
10.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A.是等差数列
B.当或时，取得最大值
C.数列的前10项和是30
D.，，成等差数列，公差为
11.已知点在圆：上，点，，则（ ）
A.点到直线的距离的取值范围是
B.存在2个点，使得
C.当最小时，
D.当最大时，
12.已知正方体的棱长为1，为线段上任意一点，下列说法正确的是（ ）
A.
B.动点到线段的距离可以是
C.是中点时，直线与平面所成的角的正弦值是
D.三棱锥体积最大时，若点满足，其中，则的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线：与：平行，则它们之间的距离为______.
14.如右图，平行六面体各条棱长均为2，，，则线段的长度为______.
15.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，这是一种分形图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体做法是：取一个实心等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四小三角形，去掉中间的那一个小三角形，对其余三个小三角形重复上述步骤……已知最初等边三角形的面积为1，则经过5次操作之后得到的图形中的阴影部分面积为______.
16.已知双曲线的两个焦点分别为，，，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若直线与圆：相切，则双曲线的离心率是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
18.（12分）
已知方程，.
（1）若此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于，两点，且（为圆心），求的值.
19.（12分）
已知数列满足，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
20.（12分）
如图，在直三棱柱中，，，点在线段上.
（1）当时，求线段的中点到平面的距离；
（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由
21.（12分）
已知抛物线：.
（1）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
（2）直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别做抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.
22.（12分）
已知椭圆：过点，且的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，是椭圆的左焦点，求的内切圆半径的取值范围；
（3）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且中点恰在抛物线：上.记的横坐标为，求的最大值.
莱芜一中六十三级高二上学期核心素养测评
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D D A C A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ACD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.1； 14.； 15. 16..
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解答】（1）设等差数列的公差为，由题意得，
解得，
所以，.
（2）由（1）得，.
所以.
注：第（1）问中没写的，不扣分.19题（1）也是；
第（2）问中的“”没有单独写出，但在后面的求和过程中体现，不扣分.
18.【解答】（1）题中方程可化为，
此方程若表示圆，只需要，即，
则的取值范围是.
（3）在中，取中点，连接，
因为，，所以，
又因为为圆心到直线的距离，
所以，解得.
注：第（1）问用“”求解的取值范围也正确；
第（2）问求利用勾股定理或者韦达定理求弦长，再求的值也可以.
19.【解答】（1）证明：，
（或者由题意）
所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，.
（2）由（1）可得，
所以
20.【解答】以为原点，，，所在直线分别问轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，，.
（1）因为，所以，
设平面的法向量，则，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
（2）由题意，平面，设平面的法向量，
则，则，取，则，
所以是平面的一个法向量.
设，
则，
设平面的法向量，则，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量，
则，
解得，即当点为中点时，平面与平面的夹角为.
21.【解答】（1）设，，由题意可得直线：，
联立，得，所以，
所以.
（2）由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为，
则过点且与抛物线相切的直线方程为，①
联立，得，
所以，代入，得，
解得，带入①式即得，
即过点且与抛物线相切的直线方程为，
同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为，
（法一）
联立，可得，
由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为，
设，
联立，得，所以，即得，
所以点在定直线上.
（法二）点是两条切线的交点，所以，
所以，是方程的解，
即直线的方程为，
因为直线过点，所以，即得，
所以点在定直线上.
注：第（2）问中直接写出过点且与抛物线相切的直线方程为的扣1分.
22.【解答】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线斜率存在且不为0，可设的直线方程为，
设点，，则，
联立得，
则，，
因为点，，三点共线且斜率一定存在，所以，
所以，
将，代入，化简可得，
故，解得，
满足，所以直线过定点，且为椭圆右焦点.
设所求内切圆半径为，因为，
所以，
令，
所以，当且仅当即时等号成立，从而.
所以内切圆半径的范围为.
（3）设，，，代入得，
作差整理得，
即，又因，
整理得，即，即.
因为，点在抛物线上，所以，即，即得，
由题中得，即得
由，当时，上式为正；
当时，上式为负.
即.
联立，得到其交点的横坐标为，所以，
因为且.
所以的最大值为.