15。4。1 因式分解与提公因式法

课件30张PPT。15.4.1 因式分解与提公因式法南门学校八年（1）（2）班每一堂课都是一次知识的累积；
每一次举手都是一次勇气的锻炼；
让我们用勇气做翅膀，在知识的天空自由翱翔。探究1、请把下列多项式写成整式和乘积的形式：
（1）x2+x= ；
（2）x2-1= ；x（x+1）（x+1）（x-1）把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。练习一 理解概念判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程几个整式的积
m(a+b+c)一个多项式
ma+mb+mc　整式乘法因式分解练习二.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么？
1）x 2 –y 2+1=(x +y )(x -y )+1
2）6x2y3=3xy·2xy2
3） (不是）(不是）(不是）例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。系数：最大
公约数。3字母：相同的字母x 所以，公因式是3x。指数：相同字母的最低次幂1这个多项式有什么特点？相同因式m 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2 指出下列各多项式中各项的公因式

⑴ax+ay-a （ ）
⑵5x2y3-10x2y （ ）
⑶24abc-9a2b2 （ ）
⑷m2n+mn2 （ ）
⑸x(x-y)2-y(x-y) ( )独立练习 巩固新知a5x2y3abmnx-y由m (a+b+c)=ma+mb+mc 可得ma+mb+mc= m (a+b+c)提公因式法：
ma+mb+mc= m(a+b+c)这样把一个多项式ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m另一个因式(a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法．(1) 8a3b2 + 12ab3c例1: 把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，
也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。小明解的有误吗？
注意：公因式要提尽。诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。注意：某项提出莫漏1。正确解：原式=3x.x-6y.x+1.x
=x(3x-6y+1)小华解的有误吗？
提出负号时括号里的项没变号诊断注意：首项有负常提负。正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)如何检查因式
分解是否正确？想一想在分解完因式后，按照整式乘法把因式再乘回去看结果是否与原式相等，如果相同就说明正确，否则就错了．(1) 2x2+3x3+x=x(2x+3x2)
(2) 3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)
(3) 3x2+6x-3=3x(x+2)-3
1.下面的因式分解对吗?如果不对,应怎样改正?练一练不对. 2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1)不对.3a2c-6a3c=3a2c(1-2a)不对. 3x2+6x-3=3(x2+2x-1)下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？选择题 下列分解因式正确的个数为 ( )
(1) 5y3+20y2 = 5y(y2+4y) (2) a2b-2ab2+ab = ab (a-2b) (3) –a2+3ab-2ac = -a (a+3b-2c) (4) -2x2-12xy2+8xy3 = - 2x(x+6y2-4y3)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：(1) 2-a= ___ (a-2)(2) b+a=___ (a+b)(3) (b-a)2=___(a-b)2(4) -m-n=___ (m+n)(5) -s2+t2=___ (s2-t2)_++__

n 为偶数:
(a-b)n =(b-a)n
n 为奇数:
(a-b)n=-(b-a)n
自我小测例4 把2a(b+c)-3(b+c)分解因式例5、把6(x-2)+x(2-x)分解因式。(1) a(x-y)+b(y-x)(2) 6(m-n)3-12(n-m)2练习:把下列各式分解因式：(3) 2(a-b)2 - a+b (4) 2(a-b)2 - (b-a)3 2.利用因式分解进行计算 25×28 - 25×12 - 25×6
32006 - 5×32005 + 6×32004练习: 1、把-4x2+8ax+2x 分解因式
2、把-3ab + 6abx - 9aby分解因式4、分解因式
（y-x）（a-b+c）+（x-y）（b-a-c）5、把5（x-y）3+10（y-x）2分解因式。6、把2(a－b) 2－a+b分解因式。 7、下列各多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）
A x2-y B x2+2x C x2+y2 D x2-xy+y28、先因式分解，再求值：
5x（a-2）+4x（2-a），其中x=0.4,a=102.9.将下列各式分解因式：(1)、3x+6
(2)、7x2-21x
(3)、8a3b2c-12ab3c+abc
(4)、-24x3-12x2+28x试一试 拓展应用 1. 20042+2004能被2005整除吗? 3. 计算: 765×172－2352 ×172 4.若x=-3,求20x2-60x的值想一想(1) 能被100整除吗？能被哪些正整数整除啊?(2)2101+299能被5整除吗,为什么?转化为有一因式为5的倍数(3)224-1能被63和65整除吗?(5)若x2+mx－n能分解成(x－2)(x－5)，你能求出m，n的值吗？ 1+x+x(1+x)=(1+x)+x(1+x）
=(1+x)(1+x)=(1+x)2从而1+x+x(1+x)+x (1+x)2= (1+x)2 +x (1+ x)2
= (1+x)2 (1+x)= (1+x)3 请仔细观察：从上面的因式分解中，你发现什么规律了吗？由此你能分解下列多项式吗？猜一猜，试一试！1） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 +x (1+x)3+x (1+x)42） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 +…+ x (1+x)n 提高题下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式,哪些不是，为什么？(不是）(不是）(不是）(不是）（是）(是） (1) (m+n)(m－n) x2－2xy+y2
(2) (x－y)2 x2+5x+6
(3) (x+2)(x+3) xy-y2
(4)y(x-y) m2－n2用心连一连因式分解与整式的乘法是恒等变形, 且互为逆过程.归纳小结 同学们，今天这节课你学会了什么？
在学习过程中你有哪些收获？ 一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解 , 这种分解因式的方法叫做提取公因式法再见