四川省雅安市名山区中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省雅安市名山区中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 609.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-12 15:27:36 | ||
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文档简介
名山区中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（每小题5分，共40分，每题只有一个选项符合题意）
1．已知全集是自然数集，集合，.则图中阴影部分表示的集合为（ ）
B．
C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．己知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．若函数在存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
5．已知，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
8．若实数满足，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多项选择题（每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．我国著名数学家化罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知定义在上的函数是奇函数，且时，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时
B．
C．在区间上单调递减
D．函数在区间上的最小值为
12．已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A．函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是
B．函数不是回旋函数
C．若函数为回旋函数，则
D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .
14．已知函数，则单调递增区间为 ．
15．已知，则 ．
16．已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 .
四、解答题（本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合，．
(1)若时，求；
(2)若，求m的取值范围．
18．（12分）计算：
(1) ；
(2)已知，求的值.
19．（12分）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围.
20．（12分）已知关于，的方程组其中.
(1)当时，求该方程组的解；
(2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值？若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
21．（12分）已知函数（其中），且.
(1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)解不等式：.
22．（12分）已知函数，.
(1)证明：对任意，，都有.
(2)已知，设是函数的零点，证明：.
12月月考参考答案：
单选题
1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A
二．多选题
9．AB 10．CD 11．BCD 12．ABD
10【详解】函数（）的定义域为，对于任意的，，因此该函数为偶函数，故只需讨论时，函数图像的变化趋势．
若，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在时，函数取得最小值，图像为D；
若，在在区间上单调递增，图像为C．
11．【详解】由题知，是奇函数，令，则，所以，
故此时，A错；因为是上的奇函数，所以，B正确；
由上述可知时，，，则
，因为，所以，，，
所以，即，所以在区间上单调递减，C正确；
当时，，当且仅当，即时取等，D正确.
12．【详解】函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，
且，当时，对于任意的实数恒成立，若对任意实数恒成立，则，解得：，
故函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是，故A正确；
若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，
令，则必有0，令，则，显然不是方程的解，
故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B正确；
在上为连续函数，且，
要想函数为回旋函数，则有解，则，故C错误；
由题意得：，令得：，
所以与异号，或，
当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，
同理可得：在区间，上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，
当时，有，此时在上有1012个零点，
综上所以在上至少有1011个零点，故D正确.
三．填空题
13．3 14． 15． 16．
16.【详解】因为函数的定义域为，满足，
当时，，
当时，，则
，
当时，，则
，
当时，，则
，
因为对任意，都有，
当时，令，解得或，如下图所示：
由图可知，，故实数的最大值为.
17．【详解】（1），，
；
（2），，
①当是空集时，，解得，
②当不是空集时，则，，
综上所述：或.
18．【详解】（1）
；
（2）
，故.
19．【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，即可得，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为对于恒成立，
即可得对于恒成立，易知函数在上单调递增，
所以，因此只需即可，得；
即的取值范围是.
20．【详解】（1）当时，消去得，
解得，，因此，方程组的解为和.
（2）消去整理得，
显然，且，
因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.
（3）由韦达定理得，，所以，
，所以，
因此，是定值，且定值为4.
21．【详解】（1）结合题意：因为函数（其中），且
所以，解得：，故.
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
，
因为，且，所以，,易得：,
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）因为的定义域为，定义域关于原点对称.
所以，所以为奇函数.
因为，所以，
因为，，
结合（1）知，函数在上单调递增，
所以，整理可得：，即，
解得：.
22．【详解】（1）因为，所以；
（2），则是R上的增函数，
是函数的零点，即，，，则，
设（），设，则，，，
所以，即单调递增，
，而，所以，∴，
综上，，，又，，
，
而，所以，即．
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（每小题5分，共40分，每题只有一个选项符合题意）
1．已知全集是自然数集，集合，.则图中阴影部分表示的集合为（ ）
B．
C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．己知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．若函数在存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
5．已知，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
8．若实数满足，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多项选择题（每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．我国著名数学家化罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知定义在上的函数是奇函数，且时，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时
B．
C．在区间上单调递减
D．函数在区间上的最小值为
12．已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A．函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是
B．函数不是回旋函数
C．若函数为回旋函数，则
D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .
14．已知函数，则单调递增区间为 ．
15．已知，则 ．
16．已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 .
四、解答题（本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设集合，．
(1)若时，求；
(2)若，求m的取值范围．
18．（12分）计算：
(1) ；
(2)已知，求的值.
19．（12分）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围.
20．（12分）已知关于，的方程组其中.
(1)当时，求该方程组的解；
(2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值？若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
21．（12分）已知函数（其中），且.
(1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)解不等式：.
22．（12分）已知函数，.
(1)证明：对任意，，都有.
(2)已知，设是函数的零点，证明：.
12月月考参考答案：
单选题
1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A
二．多选题
9．AB 10．CD 11．BCD 12．ABD
10【详解】函数（）的定义域为，对于任意的，，因此该函数为偶函数，故只需讨论时，函数图像的变化趋势．
若，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在时，函数取得最小值，图像为D；
若，在在区间上单调递增，图像为C．
11．【详解】由题知，是奇函数，令，则，所以，
故此时，A错；因为是上的奇函数，所以，B正确；
由上述可知时，，，则
，因为，所以，，，
所以，即，所以在区间上单调递减，C正确；
当时，，当且仅当，即时取等，D正确.
12．【详解】函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，
且，当时，对于任意的实数恒成立，若对任意实数恒成立，则，解得：，
故函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是，故A正确；
若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，
令，则必有0，令，则，显然不是方程的解，
故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B正确；
在上为连续函数，且，
要想函数为回旋函数，则有解，则，故C错误；
由题意得：，令得：，
所以与异号，或，
当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，
同理可得：在区间，上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，
当时，有，此时在上有1012个零点，
综上所以在上至少有1011个零点，故D正确.
三．填空题
13．3 14． 15． 16．
16.【详解】因为函数的定义域为，满足，
当时，，
当时，，则
，
当时，，则
，
当时，，则
，
因为对任意，都有，
当时，令，解得或，如下图所示：
由图可知，，故实数的最大值为.
17．【详解】（1），，
；
（2），，
①当是空集时，，解得，
②当不是空集时，则，，
综上所述：或.
18．【详解】（1）
；
（2）
，故.
19．【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，，
令，即可得，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
（2）当时，可得，
原不等式可化为对于恒成立，
即可得对于恒成立，易知函数在上单调递增，
所以，因此只需即可，得；
即的取值范围是.
20．【详解】（1）当时，消去得，
解得，，因此，方程组的解为和.
（2）消去整理得，
显然，且，
因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.
（3）由韦达定理得，，所以，
，所以，
因此，是定值，且定值为4.
21．【详解】（1）结合题意：因为函数（其中），且
所以，解得：，故.
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
，
因为，且，所以，,易得：,
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）因为的定义域为，定义域关于原点对称.
所以，所以为奇函数.
因为，所以，
因为，，
结合（1）知，函数在上单调递增，
所以，整理可得：，即，
解得：.
22．【详解】（1）因为，所以；
（2），则是R上的增函数，
是函数的零点，即，，，则，
设（），设，则，，，
所以，即单调递增，
，而，所以，∴，
综上，，，又，，
，
而，所以，即．
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