河北省沧州市吴桥县中学2023-2024学年高二上学期1月月考试数学试题（含解析）

吴桥中学高二月考数学试卷（选择性必修一，选择性必修二）
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．直线与直线平行，则为（ ）
A．或 B． C．2 D．
2．已知，若四点共面，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
3．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
4．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
5．设，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．向量，则下列说法错误的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．，使得 D．当时，与夹角为
7．当是函数的极小值点，则的值为（ ）
A．0 B． C．0或4 D．0或
8．如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选2分，错选0分）
9．下列给出的命题正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
B．两个不重合的平面的法向量分别是，则
C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
10．已知数列的前项和，则下列说法正确的选项是（ ）
A． B． C．该数列是公差为3的等差数列 D．该数列是递增数列
11．已知点在圆上，点，则（ ）
A．直线与圆相交 B．直线与圆相离
C．点到直线距离大于0.5 D．点到直线距离小于5
12．已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．不是函数的极值点
C．在上单调递增 D．存在两个零点
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知向量，若与的夹角为针角，则实数的取值范围为__________．
14．已知数列的前项和为，且，则__________．
15．已知是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为__________．
16．定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为__________．
四、答题（共6小题，17题10分，其他均12分，满分70分）
17．已知等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值．
18．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上．
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程．
19．如图，在直三棱柱中，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知数列的首项且满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，记，求数列的前项和．
21．已知椭圆，点分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
（1）若时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，求函数的零点个数；
（3）若对于任意恒成立，求的取值范围．
吴桥中学高二月考数学试卷答案
1：D
2.由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得．故选：C.
3．在等差数列中，因为，所以，
所以. 故选：A.
4．由已知得圆心，半径，圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
“”是“直线与圆相切”的充要条件，故选：C．
5．由题意，，所以椭圆的离心率为故选：B．
6．A：由，则，对；B：，对；
C：要使，则，显然等式不可能成立，故不存在，错；D：由题设，则，而，所以，对.故选：C.
7.对函数求导得：，
又由是函数的极小值点，所以，
即，解得或，当时，，
当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以是的极小值点，故满足题意；当时，，当时，，在区间单调递增，当时，，在区间单调递减，所以是的极大值点，故不满足题意.
综上所述：，故A项正确.
8、虚轴两端点为，两焦点为，所以菱形的面积，
以为直径的圆内切于菱形，切点分别为所以且
在中，用等面积法得：，即，所以，，所以即，解得（负值舍去），设矩形，在中，用等面积法得：，所以，且，即，.
所以矩形的面积，所以.故选：C.
9．对A，，所以或，A错误；对B，，所以，B正确；对C，利用反证法的思想，假设三个向量共面，则，
所以，若，则，则共线，与是空间的一组基底矛盾；若，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾；所以假设不成立，即不共面，所以也是空间的一组基底，C正确；
对D，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面，则由共面定理以及可得，，所以，D正确；故选:BCD.
10.当，时，，则，
当时，，符合上式，故，故AB正确，又，故数列是等差数列，且是递增数列，故C错误，D正确.故选：ABD.
11．由知，圆心为，半径，直线，
则圆心到直线距离.所以直线与圆相离，故A错B对；
由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大最小值分别为，
，故CD正确.故选：BCD.
12.函数的定义域为R，又，，
则，所以不是奇函数，故选项A错误；因为，所以在上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B与C正确；因为，，又在上单调递增，且，所以仅有一个零点0，故选项D错误.故选：BC.
13．由 ；由 .
综上：且.故答案为：.
14．因为，所以，所以，，，，累加可得，化简可得，故答案为：.
15．因为点在直线上，设，又因为点在双曲线上，则，解得，所以，整理得：，解得或（舍去），所以.故答案是：.
16由题意知，故，设，则，即在R上单调递增，由，可得，
故即，即，则，故，即的解集为，
17设等差数列的公差为d，由，，得，，解得，，所以．
方法一：由知是递增数列，当时，；当时，．
所以，所以当时，最小，最小值为．
方法二：，又，所以当时，最小，最小值为-26.
18由已知可设圆心，则，解得或（舍），所以圆的方程为.设圆心到直线的距离为，则，即，解得，
又，所以，解得，所以直线的方程为或
19 证明：取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.
解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，
所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
20证明：由题意，得，所以，
又，所以，所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列．
由（1），得，所以，
由，得，所以，，…，，
当时，；当时，，满足上式，所以，
，
所以，①
，②
①-②得
，
所以．
21（1）由左焦点、左顶点可知：，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，，
则过的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.
（3）若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，则，
令 ，
解得：或，又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上.
22（1）当时，函数，因为，所以切点为，
由，得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）可知，
因为，所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又因为，，
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得.
故函数有且仅有两个零点.
（3）因为，当时，由得，
下面证明：当时，对于任意，恒成立，
即证，即证；
而当时，，
由（2）知，；所以时，恒成立；
综上所述，.