10.3 复数的三角形式及其运算 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
*10.3 复数的三角形式及其运算
新授课
1. 了解复数的三角形式及辐角与辐角主值的概念；
2. 能进行复数三角形式与代数形式的互化；
3. 了解复数乘除运算的三角形式及其几何意义.
复数 z = a + bi
一一对应
一一对应
复平面内的点 Z (a，b)
平面向量
一一对应
a
b
Z：a + bi
O
y
x
回顾：复数的几何意义是什么？
知识点 1：复数的三角形式
如图，若非零复数 z = a + bi (a，b∈R) 在复平面内对应点 Z (a，b)，
且 r 为向量 OZ 的模，θ 是以 x 轴正半轴为始边、射线 OZ 为终边的一个角，
则 r = |z| = .
根据余弦、正弦的定义可知 cos θ = ，sin θ = ，
因此 a = rcos θ，b = rsin θ，
从而 z = a + bi = (rcos θ) + (rsin θ)i = r(cos θ + isin θ).
a
b
Z
O
y
x
r
θ
rsin θ
rcos θ
思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？
z = a + bi = r (cos θ + isin θ)
r = |z| =
cos θ =
sin θ =
复数的三角形式
一般地，任何一个复数 z = a + bi (a，b∈R) 都可以表示成
概念生成
任何一个非零复数 z 的辐角都有无穷多个，且任意两个辐角之间都相差 2π 的整数倍. 其中在 [0，2π) 内的辐角称为 z 的辐角主值，记作 arg z.
代数形式
三角形式
辐角
复数的模
例 1：把下列复数的代数形式改写成三角形式.
（1）1 – i ； （2）2i； （3）–1.
解：z = a + bi = r (cos θ + isin θ)，r = ，cos θ = ，sin θ = ；
（1）1 – i = [ – i] = ( – i) = (cos + isin )；
（2）因为 2i 在复平面内所对应的点在 y 轴正半轴上，
所以易知 |2i| = 2，arg(2i) = ，从而可知 2i = 2(cos + isin )；
（3）因为 –1 在复平面内所对应的点在 x 轴负半轴上，
所以易知 |–1| = 1，arg(–1) = π，从而可知 –1 = cos π + isin π.
典例剖析
归纳总结
把复数 z = a + bi 的代数形式转化成三角形式的基本步骤：
① 求复数的模：|z| = r = ；
② 求复数的辐角主值 arg z：cos θ = ，sin θ = ；
③ 写出复数的三角形式：z = r (cos θ + isin θ).
知识点 2：复数三角形式的乘除法
问题 1：z1 = r1(cos θ1 + isin θ1)，z2 = r2(cos θ2 + isin θ2)，试求出 z1z2.
即
问题 2：如何用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式？
模相乘，辐角相加：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
复数乘法的几何意义
概念生成
把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2，
两个复数 z1，z2 相乘时，
再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量
表示的复数就是积 z1z2．
(如果 θ2 < 0，就要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角 |θ2|)
作出与复数 z1，z2 对应的向量
问题 3：如何解释 i2 = – 1 和 (– 1)2 = 1 的几何意义？
所以 i2 = –1可以改写为
几何意义：将 i 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 得到 –1 对应的向量；
(–1)2 = 1可以改写为
因为 ，
几何意义：将 –1 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 π，得到 1 对应的向量.
归纳总结
[r(cos θ + isin θ)]n = rn[cos (nθ) + isin (nθ)]
两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可推广到有限个复数的三角形式相乘.
特别地，如果 n∈N，则
问题 4：复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，如何推导出复数除法运算的三角表示？
所以根据复数除法的定义，有
因为
设
，且 z1 ≠ z2.
= [cos (θ1 – θ2) + isin (θ1 – θ2)]
模数相除，辐角相减：
两个复数相除，商的模等于被除数模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
= [cos (θ1 – θ2) + isin (θ1 – θ2)]
归纳总结
复数除法的几何意义
概念生成
把向量 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2 (θ2 > 0)，
两个复数 z1，z2 相除时，
再把它的模变为原来的 倍，得到向量
表示的复数就是商 ．
作出与复数 z1，z2 对应的向量
例 2：求 的值.
典例剖析
解：因为 1 + i = (cos + isin )，
- i = 2[cos () + isin ()]，
1 + i = 2(cos + isin )，
所以原式 = [cos(×3 – – ) + isin (×3 – – )]
= 2(cos + isin ) = 2 + 2i.
y
O
x
α
β
γ
例 3：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明
α + β + γ = .
证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图
所示平面直角坐标系，确定复平面；
由平行线的内错角相等可知，α，β，γ 分别等
于复数 3 + i，2 + i，1 + i 的辐角主值，
因此 α + β + γ 应该是 (3 + i)(2 + i)(1 + i) 的一个辐角；
又因为 (3 + i)(2 + i)(1 + i) = (5 + 5i)(1 + i) = 10i，而 arg(10i) = ，
所以存在整数 k，使得 α + β + γ = + 2kπ；
又由 α，β，γ 都是锐角，所以 k = 0，从而 α + β + γ = .
复数三角形式的乘除法
复数除法运算的三角表示及其几何意义
复数乘法运算的三角表示及其几何意义
复数的三角表达式
辐角、辐角主值
表示形式
三角形式
互化
代数形式
要点概括整合