课件30张PPT。二次根式第5章二次根式5.1 因为速度一定大于0，
所以第一宇宙速度
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当
被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义． 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数
叫作被开方数.
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，
一个记作 ，称为a的算术平方根；另一个是举
例例1 当x是怎样的实数时，二次根式
在实数范围内有意义？ 解 由 x-1≥0，解得 x ≥ 1.因此，当x≥1时， 在实数范围内有意义. 在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字. 对于非负实数a，由于 是a的一个平方根，
因此举
例例2 计算： 解填空：… = ； = ； = ；21.2举
例例3 计算： 解一般地，当a<0时， 因此，我们可以得到： 当a<0时， 是否仍然成立？为什么？
1. 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ 答案：x≤1答案：x≥ 2. 计算： 答案：3答案： 3. 计算： 答案：7答案：3答案：0.01 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
一般地，当a≥0，b≥0时，由于由此得出：例4 化简下列二次根式．举
例解 化简二次根式
时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数. 今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.举
例例5 化简下列二次根式．解 化简二次根式时，
最后结果要求被开方
数不含分母.解 从例4、 例5可以看出，这些式子的最后结果，
具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为
最简二次根式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.解解 化简下列二次根式．解结 束5.1 二次根式
5.1.1二次根式的概念及性质
（第1课时）
教学内容： 二次根式的概念及其运用
教学目标： 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键： 1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．
老师点评： 由方差的概念得S= .
二、探索新知
很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？
老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥时，在实数范围内有意义．
三、巩固练习 P157 练习1、
四、应用拓展
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)
五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
六、布置作业 1．P159 习题5.1 A组1 2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x2
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
3．若+有意义，则=_______．
4.使式子有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．（a≥0） 2． 3．没有
三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．
2．依题意得：， ∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．
3.
4． B
5． a=5，b=-4
5.1.2二次根式的化简（1）
（第2课时）
教学内容 1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）．
教学目标
理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学重难点关键
1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．
教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答
1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答） （a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
（a≥0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．
同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，
（）2=0，所以 （）2=a（a≥0）
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（）2 =， （3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=， （）2=．
三、巩固练习 P157 练习 2、
计算下列各式的值：
（）2 ；（）2 ；（）2 ； （）2 ；（4）2 ；
四、应用拓展
例2 计算
1．（）2（x≥0）2．（）2 3．（）2 4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0； （2）a2≥0； （3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
五、归纳小结 本节课应掌握：
1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．
六、布置作业 1．P 159 习题5.1 A组 2、 2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0
二、填空题
1．（-）2=________． 2．已知有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算 （1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2
(5)
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知+=0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数
三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3
（3）（）2=×6= （4）（-3）2=9×=6 (5)-6
2．（1）5=（）2 （2）3.4=（）2 （3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0）
3． xy=34=81 4.（1）x2-2=（x+）（x-）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-） (3)略
5.1.2二次根式的化简（2）
（第3课时）
教学内容： ＝a（a≥0）
教学目标： 理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教学重难点关键 1．重点：＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．
教学过程
一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容；
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数；
3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知 （学生活动）填空：
=_______；=_______；=______；
=________；=________；=_______．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=2；=0.01；=；=；=0；=．
因此，一般地：=a（a≥0）
例1 化简
（1） （2） （3） （4）
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．
解：（1）==3 （2）==4 （3）==5 （4）==3
三、巩固练习 P157 练习 3．
四、应用拓展
例2 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为=a，所以a≥0；（2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3当x>2，化简-．
五、归纳小结 本节课应掌握：
=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．
六、布置作业 1．P159 习题 5.1 A组 3 2．选作课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题
1．的值是（ ）． A．0 B． C．4 D．以上都不对
2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=
二、填空题
1．-=________． 2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5
三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数
2．由已知得a-2000≥0，a≥2000
所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，
所以a-19952=2000． 3. 10-x
5.1.2二次根式的化简（3）
（第4课时）
教学目标
1 进一步加深对积的算式平方根的性质的理解，进一步掌握二次根式的化简。
重点、难点
重难点：积的算式平方根的性质进行二次根式的化简。
教学过程
一 、创设情景，导入新课
1 复习：
二次根式有哪些性质？
，②，若a<0, ，为什么？
积的算式平方根有什么性质？
2 如图，在一块长为米，宽为米的长方形空地上种草皮，如果草皮每平方米a元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（学生独立作）
二、 合作交流，探究新知
上面问题中用到了：= ，这样计算对吗？你是根据什么法则想到这样计算的呢？
P158 例4 化简下列二次根式
（1） （2） （3）
化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外
（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）
P158 例5 化简下列二次根式
（1） （2）
最简二次根式：
被开方数中不含得尽方的因数（或因式）；
被开方数不含分母。
三、课堂练习，巩固提高新 课 标 第 一 网
P159 练习 1、2
四、 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？
五、作业布置
P160 习题 A组 4、5
