第六章 6.2.3 向量的数乘运算 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第六章
6.2平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1理解向量数乘运算的概念及其几何意义. 1.数学抽象素养、运算素养.
2.掌握向量线性运算及其运算律. 2.运算素养.
3.理解两个向量共线的含义及平面向量共线定理. 3.几何直观素养.
温故知新
1.向量加法三角形法则：
首尾相连，首指向尾
适用于所有向量加法
A
C
B
+
2.向量加法平行四边形法则：
起点相同，对角为和
适用于不共线向量
B
A
C
+
3.向量减法法则：
共起点、连终点、方向指被减.
新知探究
1.向量的数乘
已知非零向量,作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？
O
C
A
B
的方向与相同，长度是的3倍
即
P
Q
M
N
的方向与相反，长度是的3倍
即
新知探究
1.向量的数乘
一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘（scalar multiplication of vectors)，记作λ，它的长度与方向规定如下：
⑴____________.
⑵当λ>0时，λ的方向与的方向______；
当λ<0时，λ的方向与的方向______；当λ＝0时，λ＝____.
向量
|λ|＝|λ|||
相同
相反
由⑴⑵可知， .
问：若,则λ＝0，对吗？
新知探究
2.向量数乘的几何意义
如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量之间的关系怎样？
3.5
讨论：对于非零向量,的长度与方向？
新知探究
2.向量数乘的几何意义
即为将沿着相同或相反方向伸长或压缩到原来的|λ|倍.
新知探究
3.向量数乘的运算律
数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？
(1)根据定义，求作向量3(2)和(6)(为非零向量)，并进行比较.
结合律
(2)已知向量,求作向量 (2+3)和2+3，并进行比较.
向量对实数的分配律
新知探究
3.向量数乘的运算律
⑶已知向量,求作向量2（）和，并进行比较.
=
新知探究
3.向量数乘的运算律
向量数乘的运算律：
设，是实数，那么有
(1)结合律：
(2)分配律：①
②
特别地，我们有
(－λ)＝－(λ)＝λ(－)，
λ(－)＝λ－λ.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍为向量.
对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有
注意：实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ+，λ－是没有意义的.
新知讲解
【例1】计算：
⑴； ⑵；
⑶.
解：
⑴原式=.
⑵原式=.
⑶原式=.
注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.
新知讲解
【例2】如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且
，用表示
解：
在 ABCD中，
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
.
A
B
C
M
D
.
.
.
.
新知探究
4.向量共线定理
引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量的位置关系吗？
可以发现，实数与向量的积与原向量共线.
事实上，对于向量,如果存在实数λ，使,那么由向量数乘的定义可知与共线.
反过来，已知向量共线,且向量的长度是向量的倍，即||=,那么当与同方向时，有;当与反方向时，有.
综上，就有平面向量共线定理：
向量≠与共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使.
数学符号表示：时，.
新知探究
4.向量共线定理
平面向量共线定理：
向量≠与共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使.
数学符号表示：时，.
注意：定理有两层含义:①时，；②时，.
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.
a
b
l
也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．
新知探究
【例3】如图，已知任意两个向量，试作,猜想A,B,C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看三点是否共线，为此主要看其中一点是否在另两点所确定的直线上.在本题中，判断是否存在实数，使成立.
如图，分别作向量,过点A,C作直线AC.观察发现，点B在直线AC上.猜想A,B,C三点共线.
.
.
∴.
则A,B,C三点共线.
A
B
C
O
新知探究
注意：，为什么能够判定A,B,C三点共线？
因为和有一个公共点A,同时满足时，可以判定A,B,C三点共线.
变式：若,A,B,C,D四点共线吗？
不一定，因为这两个向量没有公共点.直线AB与CD，可能平行，也可能共线！有多种情况（如下图）.
A
B
C
D
A
B
C
D
新知探究
【例4】已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值.
解：
由不共线，易知向量为非零向量.
.
即.
由不共线，必有.否则，不妨设≠0，则,
由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾.
因此，当向量共线时，.
O
由向量共线，可知存在实数，使得
由解得.
初试身手
1.= .
2.若非零向量满足，则( )
A. B. C.与方向相同 D.与方向相反
3.如图，已知P是AB的中点，试判断向量与的
关系.
1..
3..详细求解过程参照例2，构建平行四边形求解.
.
C
初试身手
4.设是不共线的两个非零向量.
⑴若，，，求证A,B,C三点共线.
⑵若共线，求实数的值
⑵解：∵与共线，∴存在实数，使得,即
.
则实数的值为.
∴A,B,C三点共线.
⑴证明：∵.
.
∵不共线,∴解得,
课堂小结
1.向量的数乘
2.向量数乘的几何意义
3.向量数乘的运算律
实数λ与向量的积是一个向量λ.
注意：实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ+，λ－是没有意义的.
即为将沿着相同或相反方向伸长或压缩到原来的|λ|倍.
(1)结合律：
(2)分配律：① ②
4.平面向量共线定理
向量≠与共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使.
作业布置
作业：P22-23 习题6.2 第8⑴⑶，9，14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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