黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（含解析）

龙东地区五校2023-2024学年高一上学期期末联考
数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合到指数函数占30%，对数函数至三角函数占70%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则集合A的非空真子集的个数为（ ）
A.6 B.7 C.14 D.15
3.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
5.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（ ）
A. B. C. D.
6.2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：，）
A.9560年 B.9550年 C.8370年 D.8230年
7.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数中，同时满足①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为π的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.π是函数的一个周期 B.是函数的图象的一条对称轴
C.函数在上单调递减 D.，恒成立
12.已知函数的定义域为R，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.时，
C. D.在上有675个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则α的取值集合是_____________.
14.若函数（且）在上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
15.已知且，则__________.
16.已知函数，若满足（，，…，互不相等），则的取值范围是_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知角α的终边过点，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
18.（12分）
已知函数（且）的图象经过点和.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数x的值.
19.（12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的单调性及最值.
20.（12分）
已知函数.
（1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.
21.（12分）
对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“保值区间”.
（1）判断函数和函数是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”（直接写出结论，不要求证明）；
（2）如果是函数的一个“保值区间”，求的最大值.
22.（12分）
已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为π.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上有实数解，求实数a的取值范围.
参考答案、提示及评分细则
1.D 与角终边相同的角一定可以写成形式，其中，令可得，与终边相同，其他选项均不合题意.
2.C 由不等式，解得，所以集合，所以集合A的非空真子集的个数为.
3.C 由，所以“”是“”的充要条件.
4.A ，，，所以的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
5.A 如图，设弧的长为，弧的长为.因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以，，即，.因为，所以，又因为，解得，，所以该扇环的内弧长为.
6.B 由题意，，即，所以，所以.
7.D 当时，单调递增，又，故当时，，当时，，因为是定义在R上的奇函数，所以当时，，当时，.若，.故，解集为；若，，故，解集为，综上，解集为.
8.B 因为函数单调递减，，，所以；因为，所以；由，得，因为函数单调递减，所以，所以，.又，所以，所以，所以，所以.
9.AC 为偶函数，在上单调递减，不满足题意，的最小正周期为，不满足题意.
10.BC 由，得.又，，所以，取，则，此时，A错误；
因为，，（当且仅当时取等号），所以，，B正确；
因为，，（当且仅当时取等号），所以成立，故C正确；
因为，，，所以，，当且仅当时取等号，故D错误.
11.ABD 因为，可得.因为，所以，则，又因为，可得，结合图象可得，解得，则.设，则，所以，所以π是的一个周期，A正确；
当时，，此时，所以是图象的对称轴，B正确；
当时，，所以在上单调递增，C错误；
当时，，所以，D正确。
12.ABD ，A正确；
当时，，即，则，即得，则，B正确；
，，C错误；
当时，，此时函数无零点；由于，则，故，则，由于，故在上有675个零点，D正确.
13. 因为幂函数在上单调递减，所以，
当时，，定义域为，又，故为偶函数，满足要求，
当时，，定义域为，又，故为奇函数，舍去；
当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去.
14. 由题意可知且，由于函数在上单调递增，内层函数在上为增函数，则外层函数为增函数，所以，解得.因此，实数a的取值范围是.
15. 由得，即，由于，故，则，故，即，则，即，即.
16. 根据题意，作出函数图象，不妨设，如图，根据三角函数的对称性得，，，，另一方面或，即，所以.
17.解：（1）因为角α的终边过点，，
所以，解得，
则，.
（2）由，，解得，
所以.
18.解：（1）由题知，解得，；
故.
（2）由，解得或3，
所以或，所以或16.
19.解：（1）
，
所以的最小正周期.
（2）由（1）知，
因为，所以.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值为.
20.解：（1）根据题意可得b和2都是方程的根且，
所以，解得，经检验，，符合题意，
故，.
（2）因为，所以，
所以，即，
整理得，
令，则上式可化为，即，
又因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令，则，
因为，
所以当时，即时，，所以，
又因为，所以实数a的取值范围为.
21.解：（1）假设函数存在“保值区间”为，
易知在上单调递增，
则有得或，或，
又即，但，不符合题意，舍去，
故不存在保值区间；
而是增函数，假设其存在“保值区间”为，
则有，，故存在“保值区间”为.
（2）易知在和上都是增函数，
因此保值区间或，
由题意，所以有两个同号的不等实根，，
由，
所以，
解得或，
且，同号，，满足题意，
所以，
因为或，所以当，即时，.
故的最大值是.
22.解：（1）由，得，
又因为当时，的最小值为π，
所以，即，
所以.
（2）方程在上有实数解，
即在上有实数解，
令，所以，
由，所以，
所以，则，
同时，所以，
所以在上有实数解，
等价于在上有解，即在上有解，
①时，方程无解；
②时，有解，即在有解
令，，则，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的值域为，
所以，在有解等价于.
综上：实数a的取值范围为.