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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列事件是必然事件的是
A．三角形内角和等于 B．同旁内角互补
C．打开电视正在播新闻 D．乘坐公共汽车恰好有空座
【答案】
【解答】解：．三角形内角和等于是必然事件，此选项符合题意；
．同旁内角互补是随机事件，此选项不符合题意；
．打开电视正在播新闻是随机事件，此选项不符合题意；
．乘坐公共汽车恰好有空座是随机事件，此选项不符合题意；
故选：．
2．（3分）所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，从正面看，所看到的图形是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
3．（3分）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，
顶点为，
顶点在第二象限，
，，
，
故选：．
4．（3分）如图，若的直径为6，点到某条直线的距离为6，则这条直线可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：若的直径为6，
圆的半径为3，
点到某条直线的距离为6，
这条直线与圆相离，
故选：．
5．（3分）已知，那么下列结论中不正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．因为，所以，所以选项不符合题意；
．因为，则，所以，所以选项不符合题意；
．因为，则，所以，所以选项符合题意；
．因为，所以，则，所以选项不符合题意；
故选：．
6．（3分）如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是
A． B． C．8 D．10
【答案】
【解答】解：作于，延长交于，连接，，设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：．
7．（3分）如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若，，则
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
8．（3分）如图，四边形中，平行，，，，以为直径的半切于点，为弧上一动点，过点的直线为半的切线，交于，交于，则的周长为
A．9 B．10 C． D．
【答案】
【解答】解：作于，如图，
四边形中，平行，，
，，
为直径，
和为 切线，
和为 切线，
，，，，
四边形为矩形，
，，
设，则，，
在中，，
，解得，
，
的周长
．
故选：．
9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：把向上平移一个单位到，连接，如图．
则，
．
在中，有，，，
，
故为直角三角形，．
．
故选：．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】
【解答】解：抛物线的解析式为①．
观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件，可得；
当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件，
，
直线的解析式为②，
联立①②并整理得：，
△，
，
满足条件，
综上所述，满足条件的的值为或，
故选：．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：二次函数中时，抛物线开口向下，
时，抛物线与轴交点坐标为．，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（4分）小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得：圆锥的底面周长．
圆锥的底面周长即是扇形的弧长，
则扇形面积．
故答案为：．
13．（4分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【解答】解：二次函数的对称轴为：，
由对称性得，关于对称轴对称的点的坐标为，
，
在对称轴的右侧，即时，随的增大而减小，
，，，
，
故答案为：．
14．（4分）如图，矩形的边长，，为的中点，分别与，相交于点，，则的长为 ．
【解答】解：矩形的边长，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．（4分）如图，在菱形中，，是，上的点，，，连结，与过，，三点的相切于点，已知，则 15 ．
【答案】．
【解答】解：连接，，如图，
，
，
为的直径，
经过点．
四边形为菱形，
，．
，
，
，
四边形为平行四边形，
，．
为的切线，
，
，
，
，
，
．
四边形为菱形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（4分）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．
（1）若点是弧的中点，则 ；
（2）若，则 ．（用关于的代数式表示）
【答案】（1），
（2）．
【解答】解：（1）连结AC，CD，DE，如图：
∠ABC所对的圆弧有，，，
∴AC=CD=DE
又∵点是弧的中点，
∴DE=BE
设∠ABC=x，则∠EDB=x，∠DEC=∠DCE=2x，∠CDA=∠CAD=3x，
∵AB为直径，故∠ACB=90°，3x+x=90°
∴∠ABC=x=22.5°
（2）设CE=1，则EB=n，
过点D作DF⊥CE于点F，由（1）得，CD=DE=AC，故，设CD=DE=AC=a
易得AC∥DF，
故，，
即，两边平方可得：，
化简得：；
在Rt△ABC中，；
．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 295 480 601
摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的 0.59 ， ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 （精确到；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【解答】解：（1），．
故答案为：0.59，116
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6
（3）（个．
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
19．（6分）如图，在矩形中，，，点在边上，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，，
；
（2）解：在中，
，
，
，即，
解得，
．
20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线过点，求二次函数的表达式；
（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求的值．
【解答】解：（1）对称轴，
抛物线的对称轴为；
（2）把点，代入得，
，
二次函数的表达式为；
（3）抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线与y轴有交点，
抛物线与轴只有一个交点，即△，
，
解得或（舍去），
．
21．（8分）如图，为的直径，为上的一点，连接，作垂直于交于点，交过点的切线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【解答】（1）证明：连接，
切圆于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
．
22．（10分）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
（1）求的长度；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，当取什么值时，直线与抛物线有唯一的公共点？
（3）定点在射线上，动点在线段上，若的最小值为，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）当时，直线与抛物线有唯一的公共点；
（3）或．
【解答】解：（1）对于抛物线，
令，则，
令，则或，
，，，
；
（2）设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：；
直线，
令，
整理得，，
由题意可知，△，
解得；
当时，直线与抛物线有唯一的公共点；
（3）如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，
，
由上可知，，
，
为等腰直角三角形，
点是的中点，
，
，
过点作轴于点，
，即点与点重合，
，
设点的坐标为，连接，交于点，此时点满足使的值最小；
，
则在中，，
，
解得或，
或．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
问题提出：如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
素材1 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．
素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩．
素材3 如图③，在两个桥墩上搭一 个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在横杆．上方设置一个面积为18 的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 建立适当平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
任务2 确定桥墩位置 求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）；
任务3 拟定设计方案 给出一种广告牌的设计方案，并根据你所建立的坐标系，求出矩形广告牌左上方顶点的坐标．
【答案】任务；
任务2：两个桥墩之间的距离是 ；
任务3：方案一；矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是；
方案二：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是，．
【解答】解：任务1：如解图：以的中点为原点建立平面直角坐标系（不唯一），
则桥拱最高点 的坐标为，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
则，
解得，
抛物线的函数表达式为；
任务2：令，则，
解得，，
两个桥墩之间的距离是 ；
任务矩形广告牌的面积为且长、宽均为整数，
矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在 上）
①：②；③；④；⑤；⑥，
拱桥的最高点到的距离为，方案①，②，③不符合题意，
，
方案⑥不符合题意，
对于方案④：
当时，，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为，
，
方案④可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是；
对于方案⑤：当时，
，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为，
，方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是，，
综上所述，共有两种设计方案：
方案一；矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是；
方案二：矩形广告牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是，．
24．（12分）在中，，，．
（1）如图1，点为上一点，交边于点，若，求及的长；
（2）如图2，折叠，使点落在边上的点处，折痕分别交、于点、，且．
①求证：四边形是菱形；
②求菱形的边长；
（3）在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）①见解析；②；（3）存在，．
【解答】解：（1），
，
，
，
，；
（2）①由翻折不变性可知：
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
②，
，
，
又，，，
，
设，则，，
，
，
，
即菱形的边长为；
（3）在点使得，理由如下：
，
，
，
，
，
．
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满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）下列事件是必然事件的是
A．三角形内角和等于 B．同旁内角互补
C．打开电视正在播新闻 D．乘坐公共汽车恰好有空座
2．（3分）所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，从正面看，所看到的图形是
A． B．
C． D．
3．（3分）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．（3分）如图，若的直径为6，点到某条直线的距离为6，则这条直线可能是
A． B． C． D．
5．（3分）已知，那么下列结论中不正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是
A． B． C．8 D．10
7．（3分）如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若，，则
A．6 B．9 C．10 D．12
8．（3分）如图，四边形中，平行，，，，以为直径的半切于点，为弧上一动点，过点的直线为半的切线，交于，交于，则的周长为
A．9 B．10 C． D．
9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为
A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
A．或 B．或
C．或 D．或
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是__________．
12．（4分）小聪用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是__________．
13．（4分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．
14．（4分）如图，矩形的边长，，为的中点，分别与，相交于点，，则的长为__________．
15．（4分）如图，在菱形中，，是，上的点，，，连结，与过，，三点的相切于点，已知，则__________．
16．（4分）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．
（1）若点是弧的中点，则__________．
（2）若，则__________．（用关于的代数式表示）
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）． （2）．
18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 295 480 601
摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的__________，__________．
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是__________（精确到；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
19．（6分）如图，在矩形中，，，点在边上，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线过点，求二次函数的表达式；
（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求的值．
21．（8分）如图，为的直径，为上的一点，连接，作垂直于交于点，交过点的切线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（10分）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
（1）求的长度；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，当取什么值时，直线与抛物线有唯一的公共点？
（3）定点在射线上，动点在线段上，若的最小值为，求点的坐标．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
问题提出：如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
素材1 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．
素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩．
素材3 如图③，在两个桥墩上搭一 个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在横杆．上方设置一个面积为18 的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 建立适当平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
任务2 确定桥墩位置 求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）；
任务3 拟定设计方案 给出一种广告牌的设计方案，并根据你所建立的坐标系，求出矩形广告牌左上方顶点的坐标．
24．（12分）在中，，，．
（1）如图1，点为上一点，交边于点，若，求及的长；
（2）如图2，折叠，使点落在边上的点处，折痕分别交、于点、，且．
①求证：四边形是菱形；
②求菱形的边长；
（3）在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
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满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．__________ 2．__________ 3．__________ 4．__________ 5．__________
6．__________ 7．__________ 8．__________ 9．__________ 10．__________
第4题 第6题 第7题
第8题 第9题
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．_______________ 12．_______________ 13．_______________
14．_______________ 15．_______________ 16．_______________
第14题 第15题
第16题
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）
18．（6分）
19．（6分）
20．（8分）
21．（8分）
22．（10分）
23．（10分）
24．（12分）
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