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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）如图，在中，，，，以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如果，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球和黑球，在不允许将球倒出来的情况下，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计摸到白球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.6
5．（3分）若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，在延长线上，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，，为四边形的对角线，，，．若．则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在中，，，点是边上的动点，将线段绕点旋转至，连结，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位．某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为__________．
12．（4分）如图所示，网格中相似的两个三角形是__________．（填序号）
13．（4分）如图，正五边形的边长为2，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则的长为__________．
14．（4分）二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为__________．
15．（4分）如图，的两条弦，交于点，平分．若，，则的值为__________．
16．（4分）已知自变量为的二次函数的图象经过，两点，若方程的一个根为，则其另一个根为__________．
三．解答题（共8小题，共66分，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）已知线段，，求线段，的比例中项．
18．（6分）在的方格纸中，点，，，，，分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从，，，四个点中任意取一点，以所取的这一点及点，为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是__________；
（2）从，，，四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表法求解）．
19．（6分）如图1是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，，且，，三点共线时，求点到地面的距离．
20．（8分）如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，连结，，，分别与，交于点，．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
21．（8分）已知，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）如图1，求证：是圆的直径；
（2）如图2，点为圆的圆心，过点作，使，交的延长线于点，若，，求的半径．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽20 m，拱顶离水面最大距离为10 m，抛物线拱形最高点与轴的距离为5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1 m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1 m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4 m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，连接．
（1）该抛物线的函数表达式为____________________，其对称轴为直线__________；
（2）若是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，试求线段的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段最大时，在轴上有一点（不与点，重合），且，在轴上是否存在点，使得与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．（12分）（1）如图1，正方形和正方形（其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷答题卡
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．__________ 2．__________ 3．__________ 4．__________ 5．__________
6．__________ 7．__________ 8．__________ 9．__________ 10．__________
第3题 第6题 第7题
第8题 第9题
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．_______________ 12．_______________ 13．_______________
14．_______________ 15．_______________ 16．_______________
第12题 第13题 第15题
三．解答题（共8小题，共66分，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分）
17．（6分）
18．（6分）
19．（6分）
20．（8分）
21．（8分）
22．（10分）
23．（10分）
24．（12分）
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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）如图，在中，，，，以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理，得，
，
故选项不符合题意；
，
故选项不符合题意；
，
故选项符合题意；
，
故选项不符合题意，
故选：．
2．（3分）如果，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：，
，
．当，时，，故此选项错误；
．，故本选项正确；
．，故本选项正确；
．，故本选项正确；
故选：．
3．（3分）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
．
故选：．
4．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球和黑球，在不允许将球倒出来的情况下，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计摸到白球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】解：共摸球400次，其中80次摸到黑球，
次摸到白球，
从中随机摸出一个球是白球的概率为；
故选：．
5．（3分）若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，，是抛物线上的三个点，
点关于直线的对称点是，
，
故选：．
6．（3分）如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，在延长线上，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意，扇形的半径，，
扇形的面积．
故选：．
7．（3分）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据作图可知，，，
设，则，
根据勾股定理可得：，
，
，
以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，故正确．
故选：．
8．（3分）如图，，为四边形的对角线，，，．若．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
为等边三角形，
过点作，交于点，设与交于点，如图，
则有：，，
设，则，
，，
，
，
，
，
解得：，
．
故选：．
9．（3分）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图示，连接，交于，连接，
是的中点，
，，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，即，
在中，，
．
故选：．
10．（3分）在中，，，点是边上的动点，将线段绕点旋转至，连结，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，，
，，
当绕点顺时针旋转得到△，点落在上，如图1，
线段绕点旋转至，
点在线段上，
当在点时，有最小值，
，，
为等边三角形，
，
的最小值为；
当绕点逆时针旋转得到△，点落在的延长线上，如图2，
线段绕点旋转至，
点在线段上，
过点作于点，如图2，
当在点时，有最小值，
，，
，
的最小值为；
综上所述，的最小值为．
故选：．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位．某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为__________．
【答案】
【解析】解：动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位，
小刘的座位是靠窗的概率为，
故答案为：．
12．（4分）如图所示，网格中相似的两个三角形是__________．（填序号）
【答案】①③
【解析】解：图形①的三边为：2，，；
图形②的三边为：3，，；
图形③的三边为：2，，；
图形④的三边为：3，，，
，，
①与③相似，
故答案为：①③．
13．（4分）如图，正五边形的边长为2，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则的长为__________．
【答案】
【解析】解：连接，，
则是等边三角形，
，
在正五边形中，，
，
的长，
故答案为：．
14．（4分）二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为__________．
【答案】或
【解析】解：二次函数表达式为，
该函数的对称轴为直线，
图象上任意二点连线不与轴平行，
或，
，
或，
解得：或．
故答案为：或．
15．（4分）如图，的两条弦，交于点，平分．若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】解：过点作、的垂线，垂足为、，如图．
平分，且，，
，
，
．
在与中，
，
，
，
，即，
．
，平分，
，
．
在中，由勾股定理得：，
．
故答案为：．
16．（4分）已知自变量为的二次函数的图象经过，两点，若方程的一个根为，则其另一个根为__________．
【答案】3或
【解析】解：二次函数，
当时，，
二次函数必经过定点，
二次函数经过，两点或经过，两点，
对称轴为：或，
方程的一个根为，
另一个根为3或，
故答案为3或．
三．解答题（共8小题，共66分，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）已知线段，，求线段，的比例中项．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）原式，
（2）设比例中项为，则，
解得：．
18．（6分）在的方格纸中，点，，，，，分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从，，，四个点中任意取一点，以所取的这一点及点，为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是__________；
（2）从，，，四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表法求解）．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）从、、、四个点中任意取一点，再与、两点画三角形，所有可能的情况如下：
，，，，其中只有是等腰三角形，
所画三角形是等腰三角形的概率是，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结构情况如下：
共有12种等可能出现的结果数，其中只有以、、、为顶点或以、、、为顶点的四边形为平行四边形，即有4种，
所画四边形是平行四边形的概率为．
19．（6分）如图1是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，，且，，三点共线时，求点到地面的距离．
【答案】详见解析
【解析】解：如图2，过作于，
，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
点到地面的距离为．
20．（8分）如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，连结，，，分别与，交于点，．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
【答案】详见解析
【解析】（1）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
．
，
．
，
，
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
即．
21．（8分）已知，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）如图1，求证：是圆的直径；
（2）如图2，点为圆的圆心，过点作，使，交的延长线于点，若，，求的半径．
【答案】详见解析
【解析】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
是半圆，
是的直径；
（2）解：连接，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
即的半径是4．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽20 m，拱顶离水面最大距离为10 m，抛物线拱形最高点与轴的距离为5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1 m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1 m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4 m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
【答案】详见解析
【解析】解：（1）如图，已知抛物线关于轴对称，
设表达式为，抛物线经过，，
得，解得，
；
（2）抛物线，令，，
解得：（不合题意，舍去）或10，
点，
如图，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于轴成轴对称，
，
左侧可挂3个，右侧也可挂3个，
一共可挂6个，最右侧位于点上方处，即点；
（3）如图，
当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
当时，，，，
在中，，
故至少需约．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，连接．
（1）该抛物线的函数表达式为____________________，其对称轴为直线__________；
（2）若是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，试求线段的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段最大时，在轴上有一点（不与点，重合），且，在轴上是否存在点，使得与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）把，代入中，
得：，解得：，
；
抛物线的函数表达式为：，其对称轴为：直线；
故答案为：；；
（2），，
直线的表达式为：；
设，则，
，
是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
，
当时，的最大值为3；
（3）分两种情况：
①当在线段上时，如图1，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
②当在点的左侧时，如图2，，
，
，
，
，
．
综上所述，当与相似时，点的坐标为或．
24．（12分）（1）如图1，正方形和正方形（其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）如图1，设与交于点，
在正方形和正方形中，，
，
即，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：相等，垂直；
（2）设与交于点，
不成立，，，理由如下：
如图2，由（1）知，，
，，，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）①当点在线段上时，如图3，
在中，，，则，
过点作于点，
，，
，
，即，
，，
则，
则；
②当点在线段上时，如图4，
过点作于点，
，，
同理得：，，
由勾股定理得：，
则；
综上，的长为．
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