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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷答题卡
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．__________ 2．__________ 3．__________ 4．__________ 5．__________
6．__________ 7．__________ 8．__________ 9．__________ 10．__________
第5题 第7题 第9题
第10题
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．_______________ 12．_______________ 13．_______________
14．_______________ 15．_______________ 16．_______________
第14题 第15题
三．解答题（共8小题，共66分，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分）
17．（6分）
18．（6分）
19．（6分）
20．（8分）
21．（8分）
22．（10分）
23．（10分）
24．（12分）
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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，
，
．
故选：．
2．（3分）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象与轴有两个交点
C．随的增大而增大 D．顶点坐标是
【答案】C
【解析】解：由抛物线，
、因为，开口向上，故本选项说法正确；
、当时，，△，此方程有2个不相等的实数解，所以抛物线与轴有2个交点，故本选项说法正确；
、当时，随的增大而增大，故本选项说法错误；
、因为顶点坐标是，故本选项说法正确．
故选：．
3．（3分）一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中可能性最大的是（ ）
A．朝上的面的数字是2 B．朝上的面的数字是3的倍数
C．朝上的面的数字不小于3 D．朝上的面的数字是偶数
【答案】C
【解析】解：朝上的面的数字是2的概率是，
朝上的面的数字是3的倍数的概率是；
朝上的面的数字不小于3的概率是，
朝上的面的数字是偶数的概率是，
，
可能性最大的是朝上的面的数字不小于3；
故选：．
4．（3分）已知，与的周长比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，且与的周长比为，
与的相似比为，
与的面积比．
故选：．
5．（3分）如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图，作弧所对的圆周角，
，
，
．
故选：．
6．（3分）已知抛物线．当时，；当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可知，
对称轴，且，
，
当时，随的增大而减小，
，
，
．
故选：．
7．（3分）如图，的直径弦于，若，，则的长为（ ）
A． B．10 C．12 D．5
【答案】B
【解析】解：，，，
，
，
连结，
设，则，
在中，
，即，解得，
．
故选：．
8．（3分）已知的三边长分别是，2，，有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】解：和△相似，
当和1是对应边时，
设2和的对应边分别是和，
，
，，
当2和1是对应边时．
设和的对应边分别是和，
，
，．
当和1是对应边时，
设和2的对应边分别是和，
，
，．
故选：．
9．（3分）如图，等边三角形是的内接三角形，点，分别为，边上的中点，延长交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，连结，交于点，延长交于点，连结，，
等边是的内接三角形，
平分，平分，，，
，，，
，，
，
，，
点，分别为，边上的中点，
，
，
，，
，，
，
，
．
故选：．
10．（3分）如图，点是矩形的边上的一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
沿折叠为，
，
，
又，
，
，
，
设，，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为__________．
【答案】12
【解析】解：正六边形的外接圆半径等于正六边形的边长，
正六边形的边长，
正六边形的周长，
故答案为：12．
12．（4分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有__________个．
【答案】12
【解析】解：设袋中红球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以袋中红球有12个，
故答案为：12．
13．（4分）已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积是__________．
【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，它所对应的弧长为，
，解得，
．
故答案为：．
14．（4分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为__________．
【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转到△，当点落在边上，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（4分）如图，在中，点，分别在，上，，，交于点，则__________，__________．
【答案】，
【解析】解：如图所示，连结，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
16．（4分）已知关于的一元二次方程有实数根，，且，现有下列说法：①当时，，；②当时，；③；④二次函数的图象与轴的交点坐标为和．其中正确的有__________（填序号）．
【答案】①③
【解析】解：①当时，一元二次方程为，
，，故①正确；
②当时，
将方程转化为二次函数与直线的交点问题，
此时大致图象如下：
易得，故②错误；
③转化为，有实根，，且，
△，即，
，故③正确；
④方程有实数根，，且，
，
，
二次函数的图象与轴的交点坐标为和，
只有在时，④才成立，故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
三．解答题（共8小题，共66分，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分）
17．（6分）已知抛物线经过点，，且有最大值4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若，求函数值的取值范围．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
函数有最大值4，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线表达式为，
把代入得，解得，
抛物线表达式为，即．
（2），
抛物线开口向下，函数有最大值为4，
当时，，
当时，函数值的取值范围是．
18．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点，，均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
（1）在图1中以线段为边画一个，使其与相似，但不全等．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）如图1，即为所求；
（2）如图2，即为所求．
19．（6分）江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另外在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试．例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案．
（1）每位考生有__________种测试方案；
（2）用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的概率．
（友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程）
【答案】详见解析
【解析】解：（1）由题意可得，
每个考生的测试方案为：米，跳绳和50米）、米，跳绳和立定跳远）、米，跳绳和俯卧撑），米，50米，立定跳远）、米，50米，俯卧撑）、米，立定跳远和俯卧撑）．
故答案为：6；
（2）设小明的四种方案为，小刚的三种方案也为，
则树状图如下所示，
班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率是．
20．（8分）如图，内接于，为的直径，，，连结，弦分别交，于点，，其中点是的中点．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】详见解析
【解析】（1）证明：，是半径，
，
．
（2）解：是直径，
，
，
，
，，
在中，，
在中，，
，解得．
．
21．（8分）如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，连结，，，分别与，交于点，．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
【答案】详见解析
【解析】（1）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
．
，
．
，
，
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
即．
22．（10分）如图，对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点的坐标．
（2）已知，为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标．
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】详见解析
【解析】解：（1）对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
（2）时，
抛物线的对称轴为直线，
，解得．
将代入，
得，解得．
则二次函数的表达式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，．
①设点坐标为，
，
，
，．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
②设直线的表达式为，
将，代入，
得，解得，
即直线的表达式为．
设点坐标为（），则点坐标为，
，
当时，有最大值．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽20 m，拱顶离水面最大距离为10 m，抛物线拱形最高点与轴的距离为5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1 m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1 m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4 m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
【答案】详见解析
【解析】解：（1）如图，已知抛物线关于轴对称，
设表达式为，抛物线经过，，
得，解得，
；
（2）抛物线，令，，
解得：（不合题意，舍去）或10，
点，
如图，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于轴成轴对称，
，
左侧可挂3个，右侧也可挂3个，
一共可挂6个，最右侧位于点上方处，即点；
（3）如图，
当水位达到最高时，水位线为，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
当时，，，，
在中，，
故至少需约．
24．（12分）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
（1）求证：．
（2）当为等腰三角形时，求的长．
（3）当时，求的值．
【答案】详见解析
【解析】（1）证明：，
，，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）得，
是等腰三角形，
是等腰三角形，
如图1，
当时，连接，
是的直径，
，
，
如图2，
当时，连接，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
综上所述：或或4；
（3）解：如图，
连接，，
是的直径，
，，
，
，，
，
，
，
由（1）知，
，；
，，
，
，，
，
，
，
．
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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象与轴有两个交点
C．随的增大而增大 D．顶点坐标是
3．（3分）一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中可能性最大的是（ ）
A．朝上的面的数字是2 B．朝上的面的数字是3的倍数
C．朝上的面的数字不小于3 D．朝上的面的数字是偶数
4．（3分）已知，与的周长比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知抛物线．当时，；当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，的直径弦于，若，，则的长为（ ）
A． B．10 C．12 D．5
8．（3分）已知的三边长分别是，2，，有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．（3分）如图，等边三角形是的内接三角形，点，分别为，边上的中点，延长交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，点是矩形的边上的一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为__________．
12．（4分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有__________个．
13．（4分）已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积是__________．
14．（4分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为__________．
15．（4分）如图，在中，点，分别在，上，，，交于点，则__________，__________．
16．（4分）已知关于的一元二次方程有实数根，，且，现有下列说法：①当时，，；②当时，；③；④二次函数的图象与轴的交点坐标为和．其中正确的有__________（填序号）．
三．解答题（共8小题，共66分，第17～19题每题6分，第20～21题8分，第22～23题每题10分，第24题12分）
17．（6分）已知抛物线经过点，，且有最大值4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若，求函数值的取值范围．
18．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点，，均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
（1）在图1中以线段为边画一个，使其与相似，但不全等．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
19．（6分）江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另外在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试．例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案．
（1）每位考生有__________种测试方案；
（2）用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的概率．
（友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程）
20．（8分）如图，内接于，为的直径，，，连结，弦分别交，于点，，其中点是的中点．
（1）求证：．
（2）求的长．
21．（8分）如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，连结，，，分别与，交于点，．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
22．（10分）如图，对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
（1）求点的坐标．
（2）已知，为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标．
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为轴，过抛物线离地面的最高点的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽20 m，拱顶离水面最大距离为10 m，抛物线拱形最高点与轴的距离为5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1 m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1 m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4 m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
24．（12分）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
（1）求证：．
（2）当为等腰三角形时，求的长．
（3）当时，求的值．
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