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2023—2024学年九年级（上）期末模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
2．（3分）下列命题中，正确的是
A．相似三角形的角平分线的比等于相似比
B．所有的菱形都相似
C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D．对应边成比例的多边形是相似多边形
【解答】解：、相似三角形对应边上的角平分线的比等于相似比，原说法错误，不符合题意；
、菱形不一定都相似，原说法错误，不符合题意；
、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，原说法正确，符合题意；
、对应边成比例的多边形不一定是相似多边形，原说法错误，不符合题意．
故选：．
3．（3分）如图，将绕顶点顺时针旋转得到，且点刚好落在线段上，若，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
，
．
故选：．
4．（3分）如图，是的边上的点，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：，
，选项结论错误，不符合题意；
，
，选项结论错误，不符合题意；
，
，选项结论错误，不符合题意；
，
，选项结论正确，符合题意；
故选：．
5．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是延长线上一点．若，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
6．（3分）把二次函数的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，所得的函数图象顶点为
A． B． C． D．
【解答】解：，
把二次函数的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，所得的函数解析式为，即，
所得的函数图象顶点为，
故选：．
7．（3分）如图，两个螺栓上有、、三个螺母，每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，则“最后拧下螺母”的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：一共3种情况，，，，其中“最后拧下螺母”的有2种情况，
故“最后拧下螺母”的概率是．
故选：．
8．（3分）如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：作交于，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
9．（3分）已知二次函数（）的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线二次函数（），
对称轴，开口向上，
当，，时，，
故选：．
10．（3分）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为
A． B． C．5 D．
【解答】解：连接，，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
即的半径为，
故选：．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则的值是 ．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
12．（4分）已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为 3或 ．
【解答】解：点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．
当点在圆内时，直径是，因而半径是；
当点在圆外时，直径是，因而半径是．
故答案为：3或．
13．（4分）利用电脑程序模拟频率估计概率，在如图所示的同心圆中，大圆的半径为3，向大圆中（不含边界）随机投射300个点，并统计落在小圆中不含边界）的点数，经历大量试验，发现随机点落在小圆中的点数稳定在100粒左右，则可估计小圆的面积为 ．
【解答】解：根据题意，估计小圆的面积约为，
故答案为：．
14．（4分）如图，扇形的圆心角为，，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
15．（4分）已知抛物线在上的最小值是，则的值为 3或 ．
【解答】解：，
二次函数的对称轴为直线，
①时，即时，函数有最小值，
此时，，
解得；
②时，函数有最小值，
此时，，
解得（舍去），，
③时，函数有最小值，
此时，，
解得（舍去），
综上所述，的值为3或．
故答案为：3或．
16．（4分）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是 ②④ （写出所有正确结论的序号）．
【解答】解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
不成立，
故①错误；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
是等边三角形，
，
，
设，，则，
，
，
整理得：，
解得：，
则，
故③错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：②④．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）如图，是四边形的外接圆，为的直径．连结，若．
（1）求证：．
（2）当，时，求的面积．
【解答】（1）证明：，
，即，
；
（2）解：过点作于点，连接，
，
在中，，
，
，
．
18．（6分）2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） _____ 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 ____ 0.898 0.896 0.902
（1）请你帮助计算并填写好表格中所缺数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率．（结果精确到0.1）
（2）若某林业部门今年在该地区共移植这种幼树10万棵，则该地区成活的这种幼树约有多少棵？．
【解答】解：（1），，
幼树移植数20000棵时，成活的频率为0.902，
估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：87，0.903，0.9；
（2）由（1）可知，这批幼树的成活率约为0.9，
万（棵．
故答案为：9万．
19．（6分）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段上找一个点，使；
（2）在图2中作一个格点，使与相似，且面积比为．
【解答】解：（1）如图1，取格点，，使，，且，
连接，交于点，
则，
，
，
，
即，
则点即为所求．
（2）由如图2可得，，，，
，
，，
与相似，且面积比为，
的面积为8，
取格点，，使，，，
连接，，，
则即为所求．
20．（8分）已知抛物线的图象与轴相交于点和点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，、的面积分别记为和，若，求点的坐标；
【解答】解：（1）由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解如图，过点作轴，交于，交轴于，
由题意得：，，
，
，
；
设直线解析式为，则有
，
解得：，
直线解析式为；
设点的横坐标为，则有：
，，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
点坐标为或．
21．（8分）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求线段的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
则，
，
，
．
；
（2）解：如图，，
为的直径，
．
，
，
，
，，
．
，
，，
连接，则，，
，
．
22．（10分）已知二次函数．
（1）当，时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
【解答】解：（1）①， 时，
，
顶点坐标为．
②中含有顶点，
当 时，有最大值7，
，
当 时，有最小值为：，
当时，．
（2）时，的最大值为2；时，的最大值为3，
抛物线的对称轴 在轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，的最大值为2，
，
又，
，
，
．
二次函数的表达式为．
23．（10分）
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 （1）在图2中以为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 ， ，点坐标 ， ，并求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 （2）当米，求的长度．
任务3 拟定最优方案 （3）只考虑经费情况下，求出的最大值．
【解答】解：（1）如图，以为原点，建立如图所示的坐标系，
由题意，可知则点坐标，点坐标，
故答案为：4，3.4，6，3.4；
，，
可设抛物线解析式为，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为：；
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
，
为，
改造后对称轴不变，
设改造后抛物线解析式为：，
将代入解析式，
得，
解得，
，
当时，，
’ ，
为，为，
，
答：的长度为；
（3）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
的坐标为，的坐标为，
，
由题意可列不等式，，
解得，
，
要使最大，需最小，
当时，的值最大，为1.6米．
答：的值最大值为1.6米．
24．（12分）如图，在平行四边形中，过点分别作、的垂线，交边、的延长线于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连结，如果，求证：．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
，
；
（2）；
，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
（3）连接，
，，
，
又，
，
，
与等高，
，
．
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满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．__________ 2．__________ 3．__________ 4．__________ 5．__________
6．__________ 7．__________ 8．__________ 9．__________ 10．__________
第3题 第4题 第5题
第8题 第10题
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．_______________ 12．_______________ 13．_______________
14．_______________ 15．_______________ 16．_______________
第14题 第16题
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）
18．（6分）
19．（6分）
20．（8分）
21．（8分）
22．（10分）
23．（10分）
24．（12分）
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满分：120分 时间：120分钟
一．选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
2．（3分）下列命题中，正确的是
A．相似三角形的角平分线的比等于相似比
B．所有的菱形都相似
C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D．对应边成比例的多边形是相似多边形
3．（3分）如图，将绕顶点顺时针旋转得到，且点刚好落在线段上，若，则的度数是
A． B． C． D．
4．（3分）如图，是的边上的点，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是延长线上一点．若，则的度数是
A． B． C． D．
6．（3分）把二次函数的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，所得的函数图象顶点为
A． B． C． D．
7．（3分）如图，两个螺栓上有、、三个螺母，每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，则“最后拧下螺母”的概率是
A． B． C． D．
8．（3分）如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为
A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函数（）的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为
A． B． C．5 D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则的值是__________．
12．（4分）已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为__________．
13．（4分）利用电脑程序模拟频率估计概率，在如图所示的同心圆中，大圆的半径为3，向大圆中（不含边界）随机投射300个点，并统计落在小圆中不含边界）的点数，经历大量试验，发现随机点落在小圆中的点数稳定在100粒左右，则可估计小圆的面积为__________．
14．（4分）如图，扇形的圆心角为，，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是__________．
15．（4分）已知抛物线在上的最小值是，则的值为__________．
16．（4分）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）如图，是四边形的外接圆，为的直径．连结，若．
（1）求证：．
（2）当，时，求的面积．
18．（6分）2023年3月12日是我国第45个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） _____ 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 ____ 0.898 0.896 0.902
（1）请你帮助计算并填写好表格中所缺数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率．（结果精确到0.1）
（2）若某林业部门今年在该地区共移植这种幼树10万棵，则该地区成活的这种幼树约有多少棵？．
19．（6分）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段上找一个点，使；
（2）在图2中作一个格点，使与相似，且面积比为．
20．（8分）已知抛物线的图象与轴相交于点和点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，、的面积分别记为和，若，求点的坐标；
21．（8分）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求线段的长．
22．（10分）已知二次函数．
（1）当，时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
23．（10分）
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．
素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 （1）在图2中以为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 ， ，点坐标 ， ，并求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 （2）当米，求的长度．
任务3 拟定最优方案 （3）只考虑经费情况下，求出的最大值．
24．（12分）如图，在平行四边形中，过点分别作、的垂线，交边、的延长线于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连结，如果，求证：．
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