18.2 特殊的平行四边形 导学案
文档属性
| 名称 | 18.2 特殊的平行四边形 导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 62.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-06-18 08:40:41 | ||
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文档简介
18.2.1 矩形的性质
【学习目标】
1、理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理和直角三角形的性质定理
2、能熟练应用矩形的性质进行有关的证明与计算；
3、 养成规范的思维方式和推理意识.
【重点】矩形的概念、性质.
【难点】灵活运用矩形的概念和性质进行推理和计算
预 习 案
预习自学
1、给出一个□ABCD，固定它的四条边的长度，如果改变其中一个内角（如∠B）的大小，它还是平行四边形吗？为什么？
2、当∠B的大小变化时，其他三个内角与∠B的数量关系是什么？如果当∠B成为直角时，得到什么样的图形？
归纳：矩形的定义： 。
1. 如图，已知四边形ABCD是矩形，它具有平行四边形的所有性质，此外，矩形还具有哪些特殊的性质？请找出来，并给出证明。
归纳总结：矩形的性质定理：
2.矩形ABCD的两条对角线交于点O，沿对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线AC将矩形剪开，得到Rt△ABC（如图）.通过这个图形你发现了直角三角形的一个怎样的性质？请给出证明.
归纳总结：直角三角形的性质定理2：
探 究 案
探究点一：矩形性质定理的应用（培养分析问题的能力）
例1.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15°.
（1）求证：△AOB为等边三角形；
（2）求证：BO=BE；
（3）求∠BOE度数．
【针对性练习】
1. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm，则短边的边长为 cm．
2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积
为 cm2．
探究点二：直角三角形性质定理的应用（培养分析问题的能力）
例2．如图所示，四边形ABCD由一个∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点.（1）求证：BE=DE； （2）求∠BDE的大小．
【针对性练习】如图，直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，若∠C=40°，则∠DAE= °.
【拓展提升】如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.
求证：（1）△ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分线.
【课堂小结】
1知识方面：_________________________________ _______.
2.数学思想方法：________________________________________________________________.
18.2.2 矩形的判定
【学习目标】
理解并掌握矩形的判定定理。
使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
3. 自主学习，合作探究，体验数学命题探究和发现的过程.
【重点】矩形判定定理的探究及应用.
【难点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行推理论证
预 习 案
预习自学
根据矩形的定义，我们研究了矩形的性质，那么如何来判定一个四边形是矩形呢？除了定义外，还有什么方法吗？
1.我们知道矩形的对角线相等，反过来对角线相等的平行四边形是举行吗？这个命题是否为真命题？如果是，写出证明过程.（写出已知、求证及证明）
归纳总结：矩形的判定定理1：
2.如图，四边形ABCD中，∠A，∠B和∠C都是直角，你能证明四边形ABCD是矩形吗？如果能，写出证明过程.
归纳总结：矩形的判定定理2：
思考：如果上面定理只从对角线之间的关系上来说的话，还可以如何叙述？
3.目前为止我们知道的判定矩形的方法有哪些？
探 究 案
探究点一：矩形判定定理的应用
例1.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD,∠OAD=50°,
求∠OAB的度数。
例2.直线MN上和直线MN外分别任取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN,分别 与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D.
求证：四边形ACBD是矩形.
探究点二：直角三角形的性质定理和矩形判定定理的综合应用
例2.已知：如图，□ABCD中，以AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD为直角.
求证：四边形ABCD是矩形.
小结：判定一个四边形是矩形的基本思路：
.
【针对性练习】已知点A、B、C、D在同一平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD，⑤AC=不断、，⑥∠A=90°.从这6个条件中选出_______3个，能使四边形ABCD是矩形.（答案不唯一，请尽可能多的写出）
【拓展提升】
如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论.
【课堂小结】
1知识方面：_________________________________ _______.
2.数学思想方法：___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________________________________________________________.
18.2.2 菱形第1课时
一、学习目标：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质
2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
预习自学
1．什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，教师演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
( http: / / www.21cnjy.com )
菱形定义： .
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
1. 如图，已知四边形ABCD是菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形，它具有平行四边形的所有性质，此外，菱形还具有哪些特殊的性质？请找出来，并给出证明。(自己画图并证明)
归纳总结：菱形的性质定理：
.
用几何符号表示 ：
例2（补充）【菱形的面积公式】思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积公式吗
证明：
自学（教材P56例3）
五、随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
六、课后练习
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．已知，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
18.2.2 菱形的判定（二）
学习目标：
1.理解并掌握菱形两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
一、复习：菱形有哪些特殊性质？
边：__________________________;______________________________
角：__________________________;______________________________
对角线：_____________________________;___________________________________
二、合作探究
（菱形的判定方法1）菱形的定义：
有 的 叫做菱形.
.用符号语言可以表示为：
∵四边形ABCD是 四边形 ∵ ___ ＝____， ∴□ ABCD是菱形
2.探究菱形的判定方法2
思考:我们知道,菱形的四条边相等.反过来,四条边相等的四边形是菱形吗
结论: .
证明结论：
已知：如上图，在四边形_______中，____=____=____=____
求证：四边形ABCD是_____.
证明：
总结菱形的判定方法2:_______ .
利用上图用符号语言表示为：在四边形ABCD中，
∵ ____=____=____=____ ∴四边形ABCD是 形
3.探究菱形的判定方法3
思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直,反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗
结论: .
请利用下图证明你的猜想：
已知：如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.
( http: / / www.21cnjy.com )
总结菱形判定方法3:
利用上图用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC___BD，∴□ABCD是菱形
归纳菱形的判定定理:
1. ;
2. ;
3. .
三巩固练习
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2).对角线垂直的平行四边形是菱形（ ）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
3.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
( http: / / www.21cnjy.com )
4.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点, 过D作DF∥AB交AC于F点.
求证：四边形AEDF是菱形
( http: / / www.21cnjy.com )
课后反思:
A
D
M
B
A
B
C
D
O
A
B
C
D
【学习目标】
1、理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理和直角三角形的性质定理
2、能熟练应用矩形的性质进行有关的证明与计算；
3、 养成规范的思维方式和推理意识.
【重点】矩形的概念、性质.
【难点】灵活运用矩形的概念和性质进行推理和计算
预 习 案
预习自学
1、给出一个□ABCD，固定它的四条边的长度，如果改变其中一个内角（如∠B）的大小，它还是平行四边形吗？为什么？
2、当∠B的大小变化时，其他三个内角与∠B的数量关系是什么？如果当∠B成为直角时，得到什么样的图形？
归纳：矩形的定义： 。
1. 如图，已知四边形ABCD是矩形，它具有平行四边形的所有性质，此外，矩形还具有哪些特殊的性质？请找出来，并给出证明。
归纳总结：矩形的性质定理：
2.矩形ABCD的两条对角线交于点O，沿对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线AC将矩形剪开，得到Rt△ABC（如图）.通过这个图形你发现了直角三角形的一个怎样的性质？请给出证明.
归纳总结：直角三角形的性质定理2：
探 究 案
探究点一：矩形性质定理的应用（培养分析问题的能力）
例1.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15°.
（1）求证：△AOB为等边三角形；
（2）求证：BO=BE；
（3）求∠BOE度数．
【针对性练习】
1. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm，则短边的边长为 cm．
2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积
为 cm2．
探究点二：直角三角形性质定理的应用（培养分析问题的能力）
例2．如图所示，四边形ABCD由一个∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点.（1）求证：BE=DE； （2）求∠BDE的大小．
【针对性练习】如图，直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，若∠C=40°，则∠DAE= °.
【拓展提升】如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.
求证：（1）△ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分线.
【课堂小结】
1知识方面：_________________________________ _______.
2.数学思想方法：________________________________________________________________.
18.2.2 矩形的判定
【学习目标】
理解并掌握矩形的判定定理。
使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
3. 自主学习，合作探究，体验数学命题探究和发现的过程.
【重点】矩形判定定理的探究及应用.
【难点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行推理论证
预 习 案
预习自学
根据矩形的定义，我们研究了矩形的性质，那么如何来判定一个四边形是矩形呢？除了定义外，还有什么方法吗？
1.我们知道矩形的对角线相等，反过来对角线相等的平行四边形是举行吗？这个命题是否为真命题？如果是，写出证明过程.（写出已知、求证及证明）
归纳总结：矩形的判定定理1：
2.如图，四边形ABCD中，∠A，∠B和∠C都是直角，你能证明四边形ABCD是矩形吗？如果能，写出证明过程.
归纳总结：矩形的判定定理2：
思考：如果上面定理只从对角线之间的关系上来说的话，还可以如何叙述？
3.目前为止我们知道的判定矩形的方法有哪些？
探 究 案
探究点一：矩形判定定理的应用
例1.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD,∠OAD=50°,
求∠OAB的度数。
例2.直线MN上和直线MN外分别任取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN,分别 与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D.
求证：四边形ACBD是矩形.
探究点二：直角三角形的性质定理和矩形判定定理的综合应用
例2.已知：如图，□ABCD中，以AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD为直角.
求证：四边形ABCD是矩形.
小结：判定一个四边形是矩形的基本思路：
.
【针对性练习】已知点A、B、C、D在同一平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内，有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD，⑤AC=不断、，⑥∠A=90°.从这6个条件中选出_______3个，能使四边形ABCD是矩形.（答案不唯一，请尽可能多的写出）
【拓展提升】
如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论.
【课堂小结】
1知识方面：_________________________________ _______.
2.数学思想方法：___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________________________________________________________.
18.2.2 菱形第1课时
一、学习目标：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质
2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
预习自学
1．什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，教师演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
( http: / / www.21cnjy.com )
菱形定义： .
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
1. 如图，已知四边形ABCD是菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形，它具有平行四边形的所有性质，此外，菱形还具有哪些特殊的性质？请找出来，并给出证明。(自己画图并证明)
归纳总结：菱形的性质定理：
.
用几何符号表示 ：
例2（补充）【菱形的面积公式】思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积公式吗
证明：
自学（教材P56例3）
五、随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
六、课后练习
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．已知，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
18.2.2 菱形的判定（二）
学习目标：
1.理解并掌握菱形两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
一、复习：菱形有哪些特殊性质？
边：__________________________;______________________________
角：__________________________;______________________________
对角线：_____________________________;___________________________________
二、合作探究
（菱形的判定方法1）菱形的定义：
有 的 叫做菱形.
.用符号语言可以表示为：
∵四边形ABCD是 四边形 ∵ ___ ＝____， ∴□ ABCD是菱形
2.探究菱形的判定方法2
思考:我们知道,菱形的四条边相等.反过来,四条边相等的四边形是菱形吗
结论: .
证明结论：
已知：如上图，在四边形_______中，____=____=____=____
求证：四边形ABCD是_____.
证明：
总结菱形的判定方法2:_______ .
利用上图用符号语言表示为：在四边形ABCD中，
∵ ____=____=____=____ ∴四边形ABCD是 形
3.探究菱形的判定方法3
思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直,反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗
结论: .
请利用下图证明你的猜想：
已知：如图，在□ABCD中，AC和BD是对角线，并且AC⊥BD于点O,求证：□ABCD是菱形.
( http: / / www.21cnjy.com )
总结菱形判定方法3:
利用上图用符号语言可以表示为：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC___BD，∴□ABCD是菱形
归纳菱形的判定定理:
1. ;
2. ;
3. .
三巩固练习
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2).对角线垂直的平行四边形是菱形（ ）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
3.已知：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
( http: / / www.21cnjy.com )
4.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点, 过D作DF∥AB交AC于F点.
求证：四边形AEDF是菱形
( http: / / www.21cnjy.com )
课后反思:
A
D
M
B
A
B
C
D
O
A
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