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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第28章
课标要求 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cos A、 tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆、、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化 与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。．
内容分析 本章"锐角三角函数"属于三角学，是《数学课程标准》中"空间与图形"领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章"锐角三角函数"。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后 一部分的重要基础，掌握锐角三角函数 的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。．
学情分析 教科书先研究了正弦函数，' 正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对运求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利下一篇直角三角形中，角所对的边是斜边的一半"这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到"无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数"，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。．
单元目标 （一）教学目标 1、正确理解锐角三角函数的定义； 2、熟练应用特殊角的三角函数值解决相关问题； 3、能根据所给条件解直角三角形； 4、能应用锐角三角函数和勾股定理的知识解决生活中的实际问题，达到学以致用。. （二）教学重点、难点 教学重点:锐角三角函数的概念和直角三角形的解法；特殊角的三角函数值. 教学难点:经历探索30度、45度、60度角的三角函数值的过程，学会三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.本章安排了两个数学活动.这两个活动都是测量实物的高度.从数学角度看，都用到锐角三角函数或解直角三角形的知识. 2.“活动1”是制作测角仪，并用它测量树的高度.这个活动可以分解为两个小活动，一是制作测角仪，二是利用测角仪测量树的高度.利用半圆形量角器制作测角仪比较简单，关键是让学生明白测角仪的工作原理. 按照教科书中给出的测量步骤，利用测角仪测量树高时，可以从测角仪上读出∠ABC的度数，进而可以计算出角a的数，再测量出测量者距离树根的距离，I 及测量者的眼睛距离地面的高度，就可以求出树的高度． 3.“活动2"是利用“活动1"中制作的测角仪测量塔高。从本质上讲，“活动2"与“活动1”是同一类活动，都是利用测角仪测量一 个实物的高度，只是活动中采用的测量方法有所不同."活动2"提供了一种利用测角仪测量“底部不可及”物体高度的方法. 2.本章教学建议： (-)注意加强知识间的纵向联系 第27章"相似"为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用"相似三角形的对应边成比例"可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了"在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半"，得出了"在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于"。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形(的对边分别是70和50)归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。． (二)注意数形结合，自然体现数与形之间的联系 数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识(在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形)以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。 3.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数28.1锐角三角函数(1) 128.1锐角三角函数(2)128.1锐角三角函数(3) 128.1锐角三角函数(4) 128.2解直角三角形（1）128.2解直角三角形（2）128.2解直角三角形（3）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务28.1锐角三角函数(1) 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.锐角三角函数的概念． 2.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．活动一：学生自主探索出锐角三角函数的概念． 活动二：能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比.28.1锐角三角函数(2)1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cos，tan表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.掌握锐角三角函数的概念． 2.熟练锐角三角函数概念的理解. 活动一：学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论． 活动二：探究巩固例题． 28.1锐角三角函数(3) 1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 1.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 2．掌握与特殊角的三角函数值有关的计算．活动一：经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性． 活动二：探究巩固例题．28.1锐角三角函数(4) 1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值. 2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小. 3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题． 1.利用计算器求锐角三角函数的值． 2.计算器的按键顺序． 活动一：会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（1）1.理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 1.运用直角三角形的边角关系解直角三角形. 2.灵活运用锐角三角函数解直角三角形.活动一：灵活运用锐角三角函数解直角三角形. 活动二：共同探究综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形. 活动三：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（2）1.使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题． 让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．1.将实际问题转化为解直角三角形问题. 2.将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.活动一：学生可相互交流，认真思考问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（3）1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题。 2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题。 3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法．1.理解方位角、坡度和坡角的概念． 2.利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．活动一：先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法。 活动二：让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺．活动三：完成例题学习巩固知识点．
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28.2解直角三角形（1）
人教版 九年级 下册
教材分析
能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学目标
教学目标：1. 了解并掌握解直角三角形的概念；
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
3. 学会解直角三角形.
教学重点:运用直角三角形的边角关系解直角三角形．
教学难点:灵活运用锐角三角函数解直角三角形．
新知导入
情境引入
看一看：观察下图中的图形，试着发现解决问题的规律.
比萨斜塔从地基到塔顶高58.36m，从地面到塔顶高55m，钟楼墙体在地面上的宽度是4.09m，倾斜角度3.99°，偏离地基外沿2.5m，顶层突出4.5m。
A
B
C
如何求出塔的倾斜角度？
sinA=
AB
BC
将实际问题抽象成熟悉的数学问题
新知讲解
合作学习
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠A＋∠B＝90 ；
(3)边角之间的关系:
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
锐角三角函数
问题
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
在 Rt△ABC 中， ∠C= 90°
(1) 根据∠A= 60°， AB=30，你能求出这个三角形的其他元素吗
想 一 想
C
A
B
解： ∵∠A +∠B = 90°， ∠A = 60°
∴ ∠B = 90°- ∠A= 30°
∵
∴
∵
∴
(2) 根据 AC= ，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗
在 Rt△ABC 中， ∠C= 90°
想 一 想
C
A
B
解：∵
∴
∵
∴ ∠B=30°
∴ ∠A= 30°-∠B= 60°
在 Rt△ABC 中， ∠C= 90°
(3) 根据∠A= 60°，∠B= 30°，你能求出这个三角形的其他元素吗
想 一 想
C
A
B
不能
在直角三角形的六个元素中，除直角外，至少需要几个元素，才可以求出其余的元素？
问题
思考：在直角三角形中，知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
①一个：一角或一边
②两个：两个角、两条边、一边一角
√
×
×
√
归纳：一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
提炼概念
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系：a2+b2=_____；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3) 边角之间的关系：sinA=_____，
cosA=_____，
tanA=_____.
c2
90°
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
典例精讲
A
B
C
解：
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.
A
B
C
b=20
c
a
35°
例2、如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
你还有其他方法求出c吗？
知识点拨：若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正 弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．
归纳概念
※已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A：
① ∠B=90 °- ∠ A；②c=
※若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
已知一边及一锐角解直角三角形
课堂练习
必做题
1.在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A.计算tanA的值求出
B.计算sinA的值求出
C.计算cosA的值求出
D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
C
2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝( )
A. B.
C. D.
D
选做题
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）∠B=45°，c=14；
（2）b=15，∠B=60°.
解：（1）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，
∴∠A=45°，
解：（2）∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°.
∵b=15，
∴c= = = ，
sinB
sin60°
15
b
a= = =
tanB
tan60°
15
b
综合拓展题
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，
D
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，
∴BD=CD=2.
4. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
作业布置
必做题
1.如图，河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）
解：∵∠ACB=30°∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，AD=CD=60m.
∴AB=AD·sin∠ADB=60×
选做题
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC
的平分线 ，解这个直角三角形.
解：
∵ AD平分∠BAC，
D
A
B
C
6
综合拓展题
图①
解：∵cosB = ，∴∠B=45°.
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5.
∴BC=BD-CD=12-5=7；
3、在△ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求BC的长.
图②
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
∴ BC的长为7或17.
课堂总结
解直角三角形
概念
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
应用
已知两边解直角三角形
已知一边和一锐角解直角三角形
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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分课时教学设计
第4课时《 28.2解直角三角形（1） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
学习者分析 理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，掌握直角三角形的解法．渗透数形结合思想，在解决问题过程中，感受成功的快乐，树立良好的学习习惯．
教学目标 1、在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点 运用直角三角形的边角关系解直角三角形．
教学难点 灵活运用锐角三角函数解直角三角形．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 问题 如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图（2），在Rt△ABC 中，ZC =90，BC =5.2m，AB= 54.5m，你能根据上述条件求出图（2）中∠A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流. 学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发， 理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函数可求出它的锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，求出另一个锐角度数，也可以利用勾股定理得到另一条直角边. 一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三形 思考 （1）直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？ （2）知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有如下关系： 三边之间的关系：a2+b2=c2 两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； 边角之间的关系： 通过它们之间的关系，可以发现，知道其中的2个元素（至少有一条是边），就可以求出其他所有元素.学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 学生自主探究，得出结论. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，灵活运用锐角三角函数解直角三角形.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且，解这个直角三角形. 【分析】由首先联想到勾股定理可得，再利用知∠A=30°，从而∠B=60°.这是一例除直角外的两个已知元素都是边的情形，在求它的锐角度数时，有时必须借助计算器才行. 例 2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，且b=20，解这个直角三角形（结果保留一位小数). 【分析】本例是已知一条边和一个锐角，求这个直角三角形的另两边长和另一个锐角.首先可轻松得到∠A=50°，再利用可求出a，c的值，也可由，则 求c的值，再利用勾股定理，或利用锐角的正切函数求出a的值. 注意：由于40°，50°均不是特殊角，它的三角函数值可利用计算器获得.学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题．先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. . 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，能用所学知识解决问题，灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求∠A的值，最适宜的做法是( ) A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出 2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝( ) A. B. C. D. 选做题： 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）∠B=45°，c=14；（2）b=15，∠B=60°. 【综合拓展类作业】 4. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号） 选做题： 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形. 【综合拓展类作业】 3、在△ABC中，AB= ，AC=13，cosB= ，求BC的长.
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