选修一 第3章圆锥曲线基础题（含解析）

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选修一 第三章圆锥曲线基础题
一、椭圆
1．过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为　 　．
2．已知F1，F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝　 　.
3．椭圆的右焦点到直线的距离是　 　．
4． 已知焦点在轴上的椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为　 　.
5．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是　 　．
6．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　 　.
7．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点P为C的上顶点，且，．则C的方程是　 　．
8．若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为　 　．
9．已知A，B分别是椭圆M：的左、右顶点，P是M的上顶点，若，则的面积为　 　.
10． 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为　 　．
二、双曲线
11． 若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为　 　.
12． 与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是　 　.
13．若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则　 　.
14．点到双曲线的一条渐近线的距离为　 　．
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则m＝　 　．
16．双曲线4x2﹣y2＝1的一条渐近线与直线tx+y+1＝0垂直，则t＝　 　．
17．已知双曲线的渐近线与圆相切，则　 　.
18．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是　 　．
19．已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为2，则C的离心率为　 　．
20．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为　 　．
三、抛物线
21．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为　 　.
22．设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则　 　.
23．抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是　 　．
24．抛物线上的点到焦点的距离为　 　.
25．抛物线：的焦点坐标为　 　，若抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为　 　.
26．若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为　 　.
27．若抛物线的准线与圆相切，则　 　.
28．抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A、B两点，则
29．已知为抛物线，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是　 　．
30．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是　 　.
31．如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为　 　．
32．为抛物线上一点，其中为抛物线焦点，直线方程为为垂足，则　 　．
四、圆锥曲线解答题
33．
（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．
34．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹方程.
（2）若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积.
35．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求.
36．
（1）求以椭圆
的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；
（2）已知
为抛物线
的焦点，点
在抛物线
上，且
，求抛物线
的方程.
37．在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
38．已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.
（1）求抛物线的方程；
（2）求点的纵坐标的最小值.
答案解析部分
1．【答案】3
2．【答案】8
【解析】【解答】由椭圆的定义得 ，
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，
即|AB|+12=20，
∴|AB|=8．
故答案为：8.
【分析】根据椭圆的定义，结合等式的性质，即可求出AB的长.
3．【答案】
【解析】【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，，则；
则右焦点坐标为，
直线化为一般式方程为：，
所以右焦点到直线的距离是．
故答案为：.
【分析】先求出椭圆的右焦点，再由点到直线距离公式计算即可得出结论.
4．【答案】6
【解析】【解答】解：因为 焦点在轴上，所以a2=m，b2=8，，
因为焦距为2，所以2c=2即c=1，所以m=9，a=3，故长轴长2a=6.
故答案为：6.
【分析】根据焦点以及焦距即可根据a，b，c的关系求解.
5．【答案】且
【解析】【解答】解： 由题意得，解得，即且
故答案为：且.
【分析】根据椭圆的定义列出方程组，求解可得实数k的取值范围.
6．【答案】
【解析】【解答】因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列不等式组求解即可.
7．【答案】
【解析】【解答】解： ，． ，故 ，
又a2=b2+c2 ，即 ，解得：c2=1 ，故a2=4，b2=3 ，
所以C的方程是 ，
故答案为： .
【分析】根据椭圆的性质，即可求解.
8．【答案】
【解析】【解答】依题意，由图象的性质可知，
点到焦点距离的最大值为，最小值为，
所以，化简得，即离心率，
故答案为：.
【分析】根据椭圆的几何性质，得到点到焦点距离的最大值为，最小值为，得到，结合离心率的公式，即可求解.
9．【答案】
【解析】【解答】解：
设为坐标原点.由题意得，，则，得，
又，所以，
所以的面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.设为坐标原点，由题意可得，，解出值，再利用的面积为，求解即可.
10．【答案】
【解析】【解答】解：因为点F为椭圆 的左焦点，所以F(-1，0)，
设椭圆的右焦点F'(1，0)，因为点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，所以|PQ|+|PF| =|PQ|+-|PF'|=+|PQ|-|PF'|，
又因为|PQ|-|PF'|≤|QF'|=，所以|PQ|+|PF|≤ ，即|PQ|+|PF|的最大值为，此时Q、F、P共线.
故答案为：.
【分析】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键，这个题应用
到了椭圆中焦半径的性质和焦三角形的性质，一般和焦三角形有关的题，经常和椭圆的定义联系起来，或者焦三角形的周长为定值.
11．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，
，解得，
故答案为：.
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
12．【答案】 - =1
13．【答案】
【解析】【解答】解：双曲线方程化为标准方程得，故，
依题意可知，即，解得.
故答案为：.
【分析】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.化双曲线方程为标准方程，求得的值，依题意列方程，解方程求得的值.
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以点到双曲线的一条渐近线的距离为
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程得出渐近线方程，再结合点到直线的距离公式，进而得出点到双曲线的一条渐近线的距离。
15．【答案】3
【解析】【解答】解：已知双曲线的标准方程为：，则，.
又双曲线的渐近线方程为：，结合已知得：
解得：.
故答案为：3.
【分析】由双曲线的方程求得渐近线方程，在结合已知条件即可得出答案。
16．【答案】
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，斜率为，直线斜率为，则，求得.
故答案为： .
【分析】 先求出渐近线方程斜率，结合两直线垂直求t的值.
17．【答案】
【解析】【解答】由得，所以圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为双曲线的渐近线与圆相切，
所以，化简得，解得或（舍去）.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合双曲线的渐近线求解方法得出双曲线的渐近线方程，再结合直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式得出实数a的值。
18．【答案】(0，16]
【解析】【解答】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，
故，解得，即.
故答案为：(0，16].
.
【分析】求得双曲线的渐近线方程为，根据与直线无交点，结合直线应在两条渐近线上下两部分之间，列出不等式，即可求解.
19．【答案】3
【解析】【解答】解：设双曲线焦距为2c，则，，，因为AB的斜率为2，所以，整理得，解得，所以．
故答案为：3.
【分析】首先由双曲线的简单性质计算出直线的斜率，结合斜率公式计算出a与c的关系，利用离心率弦公式由整体思想，整理化简计算出结果即可。
20．【答案】9
21．【答案】
【解析】【解答】由题意得，求得，抛物线上点到准线距离.
故答案为：
【分析】直接代入点坐标求抛物线方程，利用，求抛物线上点到准线距离。
22．【答案】±4
23．【答案】2
【解析】【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)
因为抛物线 ，则其焦点坐标为，准线方程为：
由抛物线定义可得，
所以A，B中点横坐标为2，即A，B中点到y轴距离为2，
故答案为：2.
【分析】利用抛物线定义可求出A，B中点横坐标，即可求出A，B中点到y轴距离.
24．【答案】3
【解析】【解答】点代入抛物线求得，由抛物线定义知点到焦点的距离为.
故答案为：3
【分析】点代入抛物线求出，再抛物线定义知点到焦点的距离为.
25．【答案】；3
【解析】【解答】抛物线：中，所以的焦点坐标为；
由抛物线的定义可得.
故答案为：；.
【分析】 根据抛物线标准方程可得焦点坐标；利用抛物线定义可得点M到抛物线焦点的距离.
26．【答案】5
【解析】【解答】设点，由题意可知：，
解得：，所以，
故答案为：5.
【分析】由题意求得点坐标，所以.
27．【答案】或0
【解析】【解答】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为，半径，
由于圆与准线相切，
所以，
解得或a=0。
故答案为：或0。
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程求出准线方程，再结合直线与圆相切位置关系判断方法，进而求出实数a的值。
28．【答案】16
29．【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，
延长PM交准线于N，连PF，由抛物线定义知：
，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，根据两点间的距离公式可得，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】求出抛物线的焦点，准线方程为，再利用抛物线定义得，结合两点间的距离公式计算求解即可.
30．【答案】4
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线 的焦点为，准线方程为，
则 点P到直线的距离 即为，
因为圆 的圆心为，半径为，
则
当且仅当当P，C，F三点共线时，等号成立，
所以 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 4.
故答案为：4.
【分析】根据抛物线的定义可知 点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和为，根据圆的性质结合图象分析求解.
31．【答案】
32．【答案】5
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式知，准线方程为因为点P是抛物线上一点，所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以等于点H到准线的距离，因为直线l的方程为所以
故答案为：5.
【分析】本题考查抛物线的定义，由定义知所以点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，所以等于点H到准线的距离。
33．【答案】（1）解：设椭圆方程为：且a > b > 0，
，，
，
，
故椭圆方程为：；
（2）解：的焦点为：，
根据题意得到：，则，解得：，
故，
故双曲线的方程为：.
【解析】【分析】（1） 根据椭圆的几何性质，结合题设条件，求得和，求得的值，再由，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，求得双曲线的焦点为，再由渐近线方程，得到，进而求得的值，即可求解.
34．【答案】（1）解：设，
则，整理得，
所以动点M的轨迹方程为；
（2）解：由（1）可知动点M的轨迹为椭圆，且为其焦点，
则，
由余弦定理得，
则，
即，解得，
所以 三角形的面积 .
35．【答案】（1）解：由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍.
得，且，又，
解得，
所以，
所以双曲线方程为.
（2）解：由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，
设，
由，得，
所以，
所以.
36．【答案】（1）解：椭圆的长轴端点为 ，焦点为 ，
设所求双曲线方程为 ，则 ，所以
所以所求双曲线方程为 ；
（2）由抛物线定义知 ，所以
所以抛物线的方程为
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出端点以及焦点的坐标，结合双曲线的简单性质即可求出a与c的值，然后由双曲线里的 a、b 、c 三者的关系，计算出b的值，从而得出双曲线的方程。
(2)由抛物线的定义即可求解出P的值，从而得出抛物线的方程。
37．【答案】（1）解：由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
【解析】【分析】 (1) 根据抛物线的定义分析求解；
(2) 联立方程，根据题意利用弦长公式结合韦达定理分析求解.
38．【答案】（1）解：由题意可知：，所以抛物线的方程为：
（2）解：由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.
设，，.则：，
联立方程：得：.
所以，.
又知：，
得，
∴
当且仅当，即时取等号，
则点的纵坐标的最小值为.
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件首先求出P的取值，由此即可得出抛物线的方程。
(2)根据题意由奢而不求法设出点的坐标，再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入整理化简结合基本不等式即可求出点M的最小值。
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