北京市丰台区怡海中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟练习（含解析）

丰台区2023-2024学年度第一学期期末模拟练习高一数学
考试时间：120分钟 考试分值：150分
第I卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．必存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
8．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A．300年 B．255年 C．175年 D．125年
9．已知角终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．命题“，有”的否定为 .
12．函数的定义域为 .
13．已知幂函数的图像经过点，则 ．
14．已知函数，且该函数图像的对称轴与对称中心的最小距离为，则可得 ；若当时，的最大值为，则该函数的解析式为 .
15．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有
①．为奇函数
②．函数的图象关于点对称
③．在上单调递增
④．若函数在上没有零点，则
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．设集合，；
(1)当时，求，
(2)若，求的取值范围.
17．已知不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
18．如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求的值.
19．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求出当时，的解析式；
(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
(3)结合函数图象，求当时，函数的值域．
20．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期.
(2)若当时，关于的不等式__________，求实数的取值范围.请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.
注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分.
21．已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．
(1)求证：；
(2)求；
(3)解不等式．试卷第1页，共3页
参考答案及解析
1．C
【详解】∵，∴.故选：C.
2．A
【详解】
.故选：A.
3．A
【详解】，且，，，故，故选：A.
4．B
【详解】因为由能推出；由不能推出；
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
5．B
【详解】是定义在上的奇函数，当时，，
则．故选：B．
6．C
【详解】令，可得，
可知的零点即为与的交点横坐标，
在同一坐标系内作出与的图象，
又，
可知与在内有交点，在，和内无交点，
所以在内必存在零点，其它区间无零点.故选：C.
7．C
【详解】∵，，，
∴（当且仅当即，时取“=”）.故选：C
8．A
【详解】依题意可得，
即，
所以．
故选：A．
9．A
【详解】由三角函数的定义得，，
又由诱导公式得，.故选：A.
10．A
【详解】设，则，，
令，则，所以，函数在上为增函数，
对任意的，，
所以，函数为上的偶函数，且，
由可得，即，
即，所以，，即，解得.故选：A
11．，有
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，有”的否定为：，有.
故答案为：，有
12．
【详解】依题意，，解得，所以原函数的定义域为.故答案为：
13．
【详解】设幂函数的解析式为，将点代入函数解析式得，
即，解得，所以幂函数的解析式为，
所以，
故答案为：.
14． 3
【详解】因为函数图像的对称轴与对称中心的最小距离为，
所以，即，所以.
由得，
所以时，取得最大值，
所以，解得，
所以.
故答案为：3，
15．②④
【详解】依题意，可得，又，则，所以，
结合五点法作图，可得，则，所以，
对于①，，显然是偶函数，故①错误；
对于②，，故函数的图象关于点对称，故②正确；
对于③，当时，，函数取得最大值，
所以在上不是单调增函数，故③错误；
对于④，因为，则，
因为，当时，，
因为在上没有零点，
可得，解得，故④正确，
故选：②④.
16．(1)，(2)
【详解】（1）当时，，；
.
（2）因为，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，的取值范围是.
17．(1) (2)
【详解】（1）因为的解集为，
所以和为方程的两个实根，二次项系数a不为0，
根据韦达定理，则有，解得.
当时，的解集为，符合题意.
综上，.
（2）由（1）可知，，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
18．(1)A，B两点坐标分别为 (2)
【详解】（1）因为，所以，，所以点坐标为，
因为，所以，，所以点坐标为，
所以A，B两点坐标分别为.
（2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，则，
所以点的坐标为，即，，所以，
所以.
19．(1)
(2)函数图象见解析，的单调递减区间为： (3)
【详解】（1）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为
20．(1)，
(2)选择①，；选择②，
【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期.
因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，所以函数的单调递增区间为.
（2）若选择①：由题意可知，不等式有解，即.
因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以.
若选择②：由题意可知，不等式恒成立，即.
因为，所以.故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以.
21．(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）令可得：.
（2）令可得：.
另令可得：，所以.
（3）设，则，所以.
所以.
所以在上为增函数.
又得：，解得：.
故所求不等式的解集为：